章末總結(jié)網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)知識辨析判斷下列說法是否正確.(請在括號中填“√”或“×”)1.1+i2是虛數(shù).(　×　)2.若z=a+bi(b≠0,a,b∈R),則z+為實數(shù),z-為純虛數(shù).(　√　)3.若(a2-1)+(a2+3a+2)i(a∈R)是純虛數(shù),則實數(shù)a=±1.(　×　)4.已知復數(shù)z=a+bi(a,b∈R),當a=0時,復平面內(nèi)與z對應(yīng)的點Z的軌跡是虛軸.(　√　)5.-3-i的共軛復數(shù)是3+i.(　×　)6.i是虛數(shù)單位,則i3∈S={-1,0,1}.(　×　)7.兩個復數(shù)一定不能比較大小.(　×　)8.-3-i對應(yīng)的點在第三象限.(　√　)9.復數(shù)的除法運算中,需要分子分母同乘分子的共軛復數(shù).(　×　)10.滿足條件0≤θ<2π的輻角叫做輻角的主值.(　√　)11.復數(shù)三角形式的除法運算實質(zhì)是模數(shù)相除,輻角相除.(　×　)題型一　復數(shù)的有關(guān)概念[例1](1)(多選題)已知復數(shù)z=,則下列結(jié)論中正確的是(　　)(A)z的虛部為i(B)=2-i(C)|z|=(D)z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限(2)若復數(shù)z=m2-1+(m2-m-2)i為純虛數(shù),則實數(shù)m的值為　　　　. 解析:(1)z====2+i,對于A,z的虛部為1,故錯誤;對于B,=2-i,正確;對于C,|z|==,正確;對于 D, z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點(2,1)位于第一象限,錯誤. 故選BC.(2)因為復數(shù)(m2-1)+(m2-m-2)i為純虛數(shù),所以解得m=1.答案:(1)BC　(2)1復數(shù)相關(guān)概念的應(yīng)用技巧(1)正確確定復數(shù)的實部、虛部是準確理解復數(shù)的有關(guān)概念(如實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)、相等復數(shù)、共軛復數(shù)、復數(shù)的模)的前提.(2)兩復數(shù)相等的充要條件是復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題的依據(jù).跟蹤訓練1: (1)若復數(shù)z=1+i(i為虛數(shù)單位),是z的共軛復數(shù),則z2+的虛部為(　　)(A)0 (B)-1 (C)1 (D)-2(2)若復數(shù)是純虛數(shù),則實數(shù)a的值為(　　)(A)2 (B)- (C) (D)-解析:(1)因為z=1+i,所以=1-i,所以z2+=(1+i)2+(1-i)2=2i+(-2i)=0.故選A.(2)因為==是純虛數(shù),所以a=2.故選A.題型二　復數(shù)的四則運算[例2] (1)已知=2+i,則復數(shù)z等于(　　)(A)-1+3i (B)1-3i(C)3+i (D)3-i(2)(多選題)數(shù)學家發(fā)現(xiàn)一元n次方程有n個復數(shù)根(重根按重數(shù)計),下列選項中屬于方程z3-1=0的根的是(　　)(A)+i (B)-+i(C)--i (D)1解析:(1)因為=2+i,所以=(2+i)(1+i)=2+3i-1=1+3i,所以z=1-3i.故選B.(2)對A,當z=+i時,z3-1=(+i) 3-1=(+i)2·(+i)-1=(+i+i2)·(+i)-1=(-+i)·(+i)-1=-+(i)2-1=---1=-2,故z3-1=-2≠0,A錯誤;對B,當z=-+i時,z3-1=(-+i)3-1=(-+i)2·(-+i)-1=(-i+i2)·(-+i)-1=(--i)·(-+i)-1=-(i)2-1=+-1=0,故z3-1=0,B正確;對C,當z=--i時,z3-1=(--i)3-1=(--i)2·(--i)-1=(+i+i2)·(--i)-1=(-+i)·(--i)-1=-(i)2-1=+-1=0,故z3-1=0,C正確;對D,顯然z=1時,滿足z3=1,故D正確.故選BCD.進行復數(shù)代數(shù)運算的策略(1)復數(shù)代數(shù)形式的運算的基本思路就是應(yīng)用運算法則進行計算.①復數(shù)的加減運算類似于實數(shù)中的多項式加減運算(合并同類項).②復數(shù)的乘除運算是復數(shù)運算的難點,在乘法運算中要注意i的冪的性質(zhì),區(qū)分(a+bi)2=a2+2abi-b2與(a+b)2=a2+2ab+b2;在除法運算中,關(guān)鍵是“分母實數(shù)化”(分子、分母同乘分母的共軛復數(shù)),此時要注意區(qū)分(a+bi)(a-bi)=a2+b2與(a+b)(a-b)=a2-b2.(2)復數(shù)的四則運算中含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項,不含i的看作另一類同類項,分別合并即可,但要注意把i的冪寫成最簡單的形式.(3)利用復數(shù)相等,可實現(xiàn)復數(shù)問題的實數(shù)化.跟蹤訓練2:(1)復數(shù)z=|(-i)i|+i5(i為虛數(shù)單位),則復數(shù)z的共軛復數(shù)為　　　　; (2)設(shè)z=+i,則|z|=　　　　. 解析:(1)因為(-i)i=i+1,所以|(-i)i|=|i+1|=2,所以z=2+i5=2+i,所以復數(shù)z的共軛復數(shù)為2-i.(2)z=+i=+i=+i,則|z|==.答案:(1)2-i　(2)題型三　復數(shù)的幾何意義[例3] 復數(shù)z滿足|z+3-i|=,求|z|的最大值和最小值.解:|z+3-i|=表示以-3+i對應(yīng)的點P為圓心,以為半徑的圓,如圖所示,則|OP|=|-3+i|==2,顯然|z|max=|OA|=|OP|+=3,|z|min=|OB|=|OP|-=.(1)復數(shù)的幾何意義復數(shù)z、復平面上的點Z及向量相互聯(lián)系,即z=a+bi(a,b∈R)?Z(a,b)?.(2)復數(shù)的模的幾何意義.(3)復數(shù)加減運算的幾何意義.跟蹤訓練3:已知z∈C且|z|=1,求|z2-z+1|的最值.解:因為|z|=1,所以z·=1,所以z2-z+1=z2-z+z=z(z+-1),所以|z2-z+1|=|z(z+-1)|=|z|·|z+-1|=|z+-1|.設(shè)z=x+yi(x,y∈R),那么|z+-1|=|2x-1|,又因為|z|=1,所以x2+y2=1.所以-1≤x≤1,所以-3≤2x-1≤1,則0≤|2x-1|≤3.所以|z2-z+1|的最小值為0,最大值為3.題型四　復數(shù)的綜合應(yīng)用[例4] 設(shè)存在復數(shù)z同時滿足下列兩個條件:(1)復數(shù)z在復平面內(nèi)的對應(yīng)點位于第二象限;(2)z·+2iz=8+ai(a∈R).求a的取值范圍.解:設(shè)z=x+yi(x,y∈R),由(1)得x<0,y>0.由(2)得x2+y2+2i(x+yi)=8+ai,即x2+y2-2y+2xi=8+ai,由復數(shù)相等的充要條件,得即因為x2+(y-1)2=9表示以(0,1)為圓心,3為半徑的圓,且x<0,所以-3≤x<0,所以-6≤2x<0,即-6≤a<0,所以a的取值范圍是[-6,0).復數(shù)具有代數(shù)形式,且復數(shù)z=a+bi(a,b∈R)與復平面內(nèi)的點Z(a,b)之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系,復數(shù)又是數(shù)形結(jié)合的橋梁,要注意復數(shù)與向量、方程、函數(shù)等知識的交匯.跟蹤訓練4: 四邊形ABCD是復平面內(nèi)的平行四邊形,A,B,C,D四點對應(yīng)的復數(shù)分別為1+3i,2i,2+i,z.(1)求復數(shù)z;(2)z是關(guān)于x的方程2x2-px+q=0的一個根,求實數(shù)p,q的值.解:(1)復平面內(nèi)A,B,C對應(yīng)的點坐標分別為(1,3),(0,2),(2,1),設(shè)D的坐標為(x,y),由于=,所以(x-1,y-3)=(2,-1),所以x-1=2,y-3=-1,解得x=3,y=2,故D(3,2),則點D對應(yīng)的復數(shù)z=3+2i.(2)因為3+2i是關(guān)于x的方程2x2-px+q=0的一個根,所以3-2i是關(guān)于x的方程2x2-px+q=0的另一個根,則3+2i+3-2i=,(3+2i)·(3-2i)=,即p=12,q=26.第七章　檢測試題選題明細表知識點、方法題號復數(shù)的概念2,3,5,9,10,13復數(shù)的四則運算1,7,8,14,15,17,20復數(shù)的幾何意義4,6,19復數(shù)知識綜合應(yīng)用11,12,16,18,21,22一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.如果復數(shù)(b∈R)的實部與虛部相等,那么b等于(　A　)(A)-2   (B)1    (C)2    (D)4解析:==b-2i,所以實部為b,虛部為-2,所以b=-2.故選A.2.設(shè)x∈R,i是虛數(shù)單位,則“x=-3”是“復數(shù)z=(x2+2x-3)+(x-1)i為純虛數(shù)”的(　C　)(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件解析:復數(shù)z=(x2+2x-3)+(x-1)i為純虛數(shù),則x2+2x-3=0且x-1≠0,解得x=-3,故x=-3?復數(shù)z為純虛數(shù).故選C.3.若z=,則|z|等于(　A　)(A)      (B)    (C)    (D)解析:z===,所以|z|==.故選A.4.A,B分別是復數(shù)z1,z2在復平面內(nèi)對應(yīng)的點,O是原點,若|z1+z2|=|z1-z2|,則△AOB一定是(　B　)(A)等腰三角形 (B)直角三角形(C)等邊三角形 (D)等腰直角三角形解析:根據(jù)復數(shù)加(減)法的幾何意義知,以,為鄰邊所作的平行四邊形的對角線相等,則此平行四邊形為矩形,故△AOB為直角三角形.故選B.5.已知i為虛數(shù)單位,復數(shù)z=(a∈R)是純虛數(shù),則|-ai|等于(　C　)(A)       (B)4     (C)3     (D)2解析:由z==為純虛數(shù),所以解得a=-2,所以|+2i|==3.故選C.6.△ABC的三個頂點所對應(yīng)的復數(shù)分別為z1,z2,z3,復數(shù)z滿足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,則z對應(yīng)的點是△ABC的(　A　)(A)外心 (B)內(nèi)心 (C)重心 (D)垂心解析:設(shè)復數(shù)z與復平面內(nèi)的點Z相對應(yīng),由△ABC的三個頂點所對應(yīng)的復數(shù)分別為z1,z2,z3,及由|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|可知點Z到△ABC的三個頂點的距離相等,由三角形外心的定義可知,點Z即為△ABC的外心.故選A.7.已知復數(shù)z1=3-bi,z2=1-2i,若是實數(shù),則實數(shù)b等于(　A　)(A)6      (B)-6    (C)0     (D)解析:因為===是實數(shù),所以6-b=0,所以實數(shù)b的值為6.故選A.8.計算+的值等于(　C　)(A)0 (B)1 (C)2i (D)i解析:原式=+=+=+i=+i=+i=2i.故選C.二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個選項中,有多項是符合題目要求的.全部選對的得5分,選對但不全的得2分,有選錯的得0分)9.若復數(shù)z=-i,則(　AC　)(A)|z|=2               (B)|z|=4(C)z的共軛復數(shù) =+i (D)z2=4-2i解析:依題意|z|==2,故A選項正確,B選項錯誤.=+i,C選項正確.z2=(-i)2=3-2i+i2=2-2i,D選項錯誤.故選AC.10.設(shè)z=(-t2+4t-5)+(t2+2t+2)i,t∈R,則以下結(jié)論正確的是(　ABC　)(A)z對應(yīng)的點在第二象限(B)z一定不為純虛數(shù)(C) 對應(yīng)的點在實軸的下方(D)z可以為實數(shù)解析:因為-t2+4t-5=-(t-2)2-1<0, t2+2t+2=(t+1)2+1>0,所以z對應(yīng)的點在第二象限.故A正確;因為-t2+4t-5=0無解,所以z一定不為純虛數(shù),故B正確;因為z與對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱,所以對應(yīng)的點在第三象限,滿足在實軸的下方,故C正確;因為t2+2t+2=0無解,所以z一定不是實數(shù),故D錯誤.故選ABC.11.已知i為虛數(shù)單位,在復平面內(nèi),復數(shù)z=,以下說法正確的是(　CD　)(A)復數(shù)z的虛部是i(B)|z|=1(C)復數(shù)z的共軛復數(shù)是 =-i(D)復數(shù)z的共軛復數(shù)對應(yīng)的點位于第四象限解析:z====+i,對于A,復數(shù)z的虛部是,故A錯誤;對于B,|z|==,故B錯誤;對于C,復數(shù)z的共軛復數(shù)是 =-i,故C正確;對于D,=-i,在復平面內(nèi),對應(yīng)點的坐標為(,-),復數(shù)z的共軛復數(shù)對應(yīng)的點位于第四象限,故D正確.故選CD.12.已知z1與z2是共軛虛數(shù),以下4個命題一定正確的是(　BC　)(A)<|z2|2 (B)z1z2=|z1z2|(C)z1+z2∈R (D)∈R解析:z1與z2是共軛虛數(shù),設(shè)z1=a+bi,則z2=a-bi(a,b∈R).=a2-b2+2abi,虛數(shù)不能比較大小,選項A不正確; z1z2=|z1z2|=a2+b2,選項B正確;z1+z2=2a∈R,選項C正確;===+i不一定是實數(shù),選項D不一定正確.故選BC.三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.將答案填在題中的橫線上)13.設(shè)復數(shù)a+bi(a,b∈R)的模為,則(a+bi)(a-bi)=　　　　. 解析:設(shè)z=a+bi,則(a+bi)(a-bi)=z=|z|2=3.答案:314.已知復數(shù)z1=cos 15°+isin 15°和復數(shù)z2=cos 45°+isin 45°,則z1·z2=　　　　. 解析:z1·z2=(cos 15°+isin 15°)(cos 45°+isin 45°)=(cos 15°cos 45°-sin 15°sin 45°)+(sin 15°cos 45°+cos 15°sin 45°)i=cos 60°+isin 60°=+i.答案:+i15.已知a∈R,若為實數(shù),則a=　　　　,||=　　　　. 解析:===+i.因為為實數(shù),所以=0,所以a=-.所以||=.答案:-　16.已知關(guān)于x的方程x2+(1+2i)x-(3m-1)i=0有實根,則純虛數(shù)m的值是　　　　. 解析:方程有實根,不妨設(shè)其一根為x0,設(shè)m=ai代入方程得+(1+2i)x0-(3ai-1)i=0,化簡得,(2x0+1)i++x0+3a=0,所以解得a=,所以m=i.答案:i四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)已知復數(shù)z滿足(1+2i)z=4+3i,求z及.解:因為(1+2i)z=4+3i,所以z===2-i,故=2+i.所以====-i.18.(本小題滿分12分)已知復數(shù)z=a-i(a∈R),且z(1+i)是純虛數(shù).(1)求復數(shù)z及|z|;(2)在復平面內(nèi),若復數(shù)(z-mi)2(m∈R)對應(yīng)點在第二象限,求實數(shù)m的取值范圍.解:(1)因為z=a-i(a∈R),且z(1+i)是純虛數(shù),所以(a-i)(1+i)=(a+1)+(a-1)i是純虛數(shù),則即a=-1.所以z=-1-i,|z|==.(2)(z-mi)2=[-1-(m+1)i]2=1-(m+1)2+2(m+1)i,由題意可得解得m>0.所以實數(shù)m的取值范圍是(0,+∞).19.(本小題滿分12分)已知平行四邊形ABCD中,與對應(yīng)的復數(shù)分別是3+2i與1+4i,兩對角線AC與BD相交于P點.(1)求對應(yīng)的復數(shù);(2)求對應(yīng)的復數(shù);(3)求△APB的面積.解:(1)由于四邊形ABCD是平行四邊形,所以=+,于是=-,而(1+4i)-(3+2i)=-2+2i,故對應(yīng)的復數(shù)是-2+2i.(2)由于=-,而(3+2i)-(-2+2i)=5,故對應(yīng)的復數(shù)是5.(3)由于==-=(-,-2),==(,0),于是·=-,而||=,||=,所以×cos∠APB=-,因此cos∠APB=-,故sin∠APB=,故S△APB=||||sin∠APB=×××=.故△APB的面積為.20.(本小題滿分12分)已知復數(shù)z滿足|z|=,z2的虛部為2.(1)求復數(shù)z;(2)設(shè)z,z2,z-z2在復平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為A,B,C,求△ABC的面積.解:(1)設(shè)z=a+bi(a,b∈R),由已知條件得a2+b2=2,z2=a2-b2+2abi,所以2ab=2.所以a=b=1或a=b=-1,即z=1+i或z=-1-i.(2)當z=1+i時,z2=(1+i)2=2i,z-z2=1-i,所以點A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所以S△ABC=|AC|·1=×2×1=1;當z=-1-i時,z2=(-1-i)2=2i,z-z2=-1-3i.所以點A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),所以S△ABC=|AC|·1=×2×1=1.故△ABC的面積為1.21.(本小題滿分12分)設(shè)復數(shù)z1=(a2-4sin2θ)+(1+2cos θ)i,a∈R,θ∈(0,π),z2在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限,且=-3+4i.(1)求z2及|z2|;(2)若z1=z2,求θ與a2的值.解:(1)設(shè)z2=x+yi(x,y∈R),則=(x+yi)2=x2-y2+2xyi,因此x2-y2+2xyi=-3+4i.所以解得或所以z2=1+2i或z2=-1-2i.又因為z2在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限,則z2=-1-2i應(yīng)舍去,故z2=1+2i,|z2|=.(2)由(1)知(a2-4sin2θ)+(1+2cos θ)i=1+2i,即解得cos θ=,因為θ∈(0,π),所以θ=,所以a2=1+4sin2θ=1+4×=4.綜上可知,θ=,a2=4.22.(本小題滿分12分)設(shè)z是虛數(shù),ω=z+是實數(shù),且-1<ω<2.(1)求|z|的值及z的實部的取值范圍.(2)設(shè)μ=,求證:μ為純虛數(shù).(1)解:因為z是虛數(shù),所以可設(shè)z=x+yi(x,y∈R,且y≠0),則ω=z+=(x+yi)+=x+yi+=(x+)+(y-)i.因為ω是實數(shù),且y≠0,所以y-=0,即x2+y2=1.所以|z|=1,此時ω=2x.又-1<ω<2,所以-1<2x<2.所以-<x<1,即z的實部的取值范圍是(-,1).(2)證明:μ====. 又x2+y2=1,所以μ=-i.因為y≠0,所以μ為純虛數(shù).

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