7.1.2　復數(shù)的幾何意義 19世紀末20世紀初，著名的德國數(shù)學家高斯在證明代數(shù)基本定理時，首次引進“復數(shù)”這個名詞，他把復數(shù)與平面內(nèi)的點一一對應起來，創(chuàng)立了復平面，依賴平面內(nèi)的點或有向線段(向量)建立了復數(shù)的幾何基礎．復數(shù)的幾何意義，從形的角度表明了復數(shù)的“存在性”，為進一步研究復數(shù)奠定了基礎． 問題：實數(shù)可用數(shù)軸上的點來表示，類比一下，復數(shù)該怎樣來表示呢？ 知識點1　復數(shù)的幾何意義 1．復平面 (1)復平面：建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面； (2)實軸：坐標系中的x軸叫做實軸，實軸上的點都表示實數(shù)； (3)虛軸：坐標系中的y軸叫做虛軸，除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)． 2．復數(shù)的幾何意義 (1)復數(shù)集C中的數(shù)與復平面內(nèi)的點一一對應： 復數(shù)z＝a＋bieq \a\vs4\al\co1()復平面內(nèi)的點Z(a，b)； (2)復數(shù)集C中的數(shù)與復平面內(nèi)以原點為起點的向量一一對應： 復數(shù)z＝a＋bieq \a\vs4\al\co1()平面向量eq \o(OZ,\s\up7(→))． 實軸上的點表示實數(shù)，虛軸上的點表示虛數(shù)，這句話對嗎？ [提示]　不正確．實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)，原點對應的有序?qū)崝?shù)對為(0,0)，它所確定的復數(shù)是z＝0＋0i＝0，表示的是實數(shù)． 1．復數(shù)z＝3－5i在復平面內(nèi)對應的點的坐標是(　　) A．(3，－5)　　　　　　 B．(3,5) C．(3，－5i) D．(3,5i) A　[復數(shù)z＝3－5i在復平面內(nèi)對應的點的坐標是(3，－5)．] 2．若eq \o(OZ,\s\up7(→))＝(0，－3)，則eq \o(OZ,\s\up7(→))對應的復數(shù)(　　) A．等于0 B．等于－3 C．在虛軸上 D．既不在實軸上，也不在虛軸上 C　[向量eq \o(OZ,\s\up7(→))對應的復數(shù)為－3i，在虛軸上．] 知識點2　復數(shù)的模 1．定義：向量eq \o(OZ,\s\up7(→))的模叫做復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的?；蚪^對值，記作|z|或|a＋bi|(a，b∈R)． 2．求法：|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)，其中a，b∈R． 3．模的幾何意義：復數(shù)z的模就是復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)所對應的點Z(a，b)到原點(0,0)的距離． 3．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”) (1)復數(shù)的模一定是正實數(shù)． (　　) (2)兩個復數(shù)相等，它們的模一定相等，反之也成立． (　　) [答案]　(1)×　(2)× 4．已知復數(shù)z＝1＋2i(i是虛數(shù)單位)，則|z|＝________． eq \r(5)　[∵z＝1＋2i，∴|z|＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5)．] 知識點3　共軛復數(shù) 一般地，當兩個復數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù)．虛部不等于0的兩個共軛復數(shù)也叫做共軛虛數(shù)．復數(shù)z的共軛復數(shù)用 eq \o(z,\s\up6(－))表示，即如果z＝a＋bi，那么eq \o(z,\s\up6(－))＝a－bi． 5．復數(shù)z＝－3－2i的共軛復數(shù)eq \o(z,\s\up6(－))＝________，|eq \o(z,\s\up6(－))|＝________． －3＋2i　eq \r(13)　[z＝－3－2i的共軛復數(shù)eq \o(z,\s\up6(－))＝－3＋2i，|eq \o(z,\s\up6(－))|＝eq \r(?－3?2＋22)＝eq \r(13)．] 類型1　復數(shù)與復平面內(nèi)的點的關(guān)系 【例1】　求實數(shù)a分別取何值時，復數(shù)z＝eq \f(a2－a－6,a＋3)＋(a2－2a－15)i(a∈R)對應的點Z滿足下列條件： (1)在復平面的第二象限內(nèi)； (2)在復平面內(nèi)的x軸上方． [解]　(1)點Z在復平面的第二象限內(nèi)， 則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(a2－a－6,a＋3)0，)) 解得a＜－3． (2)點Z在x軸上方， 則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2－2a－15>0，,a＋3≠0，)) 解得a＞5或a＜－3． 即當a＞5或a＜－3時，點Z在x軸上方． 1．本例中題設條件不變，求復數(shù)z表示的點在x軸上時，實數(shù)a的值． [解]　點Z在x軸上，所以a2－2a－15＝0且a＋3≠0，所以a＝5． 故a＝5時，點Z在x軸上． 2．本例中條件不變，如果點Z在直線x＋y＋7＝0上，求實數(shù)a的值． [解]　因為點Z在直線x＋y＋7＝0上， 所以eq \f(a2－a－6,a＋3)＋a2－2a－15＋7＝0， 即a3＋2a2－15a－30＝0， 所以(a＋2)(a2－15)＝0，故a＝－2或a＝±eq \r(15)． 所以a＝－2或a＝±eq \r(15)時，點Z在直線x＋y＋7＝0上． 利用復數(shù)與點的對應解題的步驟 (1)首先確定復數(shù)的實部與虛部，從而確定復數(shù)對應點的橫、縱坐標． (2)根據(jù)已知條件，確定實部與虛部滿足的關(guān)系． eq \o([跟進訓練]) 1．若關(guān)于實數(shù)x的不等式mx2－nx＋p＞0(m，n，p∈R)的解集為(－1,2)，則復數(shù)m＋pi在復平面內(nèi)所對應的點位于第________象限． 二　[因為mx2－nx＋p＞0(m，n，p∈R)的解集為(－1,2)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＜0，,－1×2＝\f(p,m)，))所以m＜0，p＞0，故復數(shù)m＋pi在復平面內(nèi)所對應的點位于第二象限．] 類型2　復數(shù)與復平面內(nèi)向量的對應 【例2】　(對接教材P71例2)在復平面內(nèi)，點A，B，C對應的復數(shù)分別為1＋4i，－3i,2，O為復平面的坐標原點． (1)求向量eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \o(OB,\s\up7(→))和eq \o(AC,\s\up7(→))對應的復數(shù)； (2)求平行四邊形ABCD的頂點D對應的復數(shù)． [解]　(1)由已知得eq \o(OA,\s\up7(→))，eq \o(OB,\s\up7(→))，eq \o(OC,\s\up7(→))所對應的復數(shù)分別為1＋4i，－3i,2，則eq \o(OA,\s\up7(→))＝(1,4)，eq \o(OB,\s\up7(→))＝(0，－3)，eq \o(OC,\s\up7(→))＝(2,0)， 因此eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \o(OB,\s\up7(→))＝(1,1)，eq \o(AC,\s\up7(→))＝eq \o(OC,\s\up7(→))－eq \o(OA,\s\up7(→))＝(1，－4)， 故eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \o(OB,\s\up7(→))對應的復數(shù)為1＋i， eq \o(AC,\s\up7(→))對應的復數(shù)為1－4i． (2)法一：由已知得點A，B，C的坐標分別為(1,4)，(0，－3)，(2,0)，則AC的中點為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))，由平行四邊形的性質(zhì)知BD的中點也是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))， 若設D(x0，y0)， 則有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(0＋x0,2)＝\f(3,2)，,\f(－3＋y0,2)＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝3，,y0＝7，))故D(3,7)． 即頂點D對應的復數(shù)為3＋7i． 法二：由已知得eq \o(OA,\s\up7(→))＝(1,4)，eq \o(OB,\s\up7(→))＝(0，－3)，eq \o(OC,\s\up7(→))＝(2,0)，所以eq \o(BA,\s\up7(→))＝(1,7)，eq \o(BC,\s\up7(→))＝(2,3)， 由平行四邊形的性質(zhì)得eq \o(BD,\s\up7(→))＝eq \o(BA,\s\up7(→))＋eq \o(BC,\s\up7(→))＝(3,10)， 所以eq \o(OD,\s\up7(→))＝eq \o(OB,\s\up7(→))＋eq \o(BD,\s\up7(→))＝(3,7)，于是D(3,7)． 即頂點D對應的復數(shù)為3＋7i． 復數(shù)與向量的對應和轉(zhuǎn)化 對應：復數(shù)z與向量eq \o(OZ,\s\up7(→))是一一對應關(guān)系． 轉(zhuǎn)化：復數(shù)的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為向量問題求解． 解決復數(shù)問題的主要思想方法有：(1)轉(zhuǎn)化思想：復數(shù)問題實數(shù)化；(2)數(shù)形結(jié)合思想：利用復數(shù)的幾何意義數(shù)形結(jié)合解決；(3)整體化思想：利用復數(shù)的特征整體處理． eq \o([跟進訓練]) 2．(1)在復平面內(nèi)，O為原點，向量eq \o(OA,\s\up7(→))表示的復數(shù)為－1＋2i，若點A關(guān)于直線y＝－x的對稱點為B，則向量eq \o(OB,\s\up7(→))表示的復數(shù)為(　　) A．－2－i　　B．1＋2i　　C．－2＋i　　D．－1＋2i (2)在復平面內(nèi)，把復數(shù)3－eq \r(3)i對應的向量按順時針方向旋轉(zhuǎn)eq \f(π,3)，所得向量對應的復數(shù)是(　　) A．2eq \r(3) B．－2eq \r(3)i C．eq \r(3)－3i D．3＋eq \r(3)i (1)C　(2)B　[(1)由題意得A(－1,2)，則B(－2,1)，所以向量eq \o(OB,\s\up7(→))表示的復數(shù)為－2＋i． (2)復數(shù)3－eq \r(3)i對應的向量的坐標為(3，－eq \r(3))，按順時針方向旋轉(zhuǎn)eq \f(π,3)后得到新向量的坐標為(0，－2eq \r(3))，所得向量對應的復數(shù)為－2eq \r(3)i．] 類型3　復數(shù)的模及其應用 【例3】　(1)設(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實數(shù)，則|x＋yi|＝(　　) A．1 B．eq \r(2) C．eq \r(3) D．2 (2)若復數(shù)z滿足z＋|z|＝2＋8i，則復數(shù)z＝________． 1．設復數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)，則|z|等于多少？其幾何意義是什么？ [提示]　|z|＝eq \r(x2＋y2)，其表示復平面內(nèi)的點(x，y)到原點(0,0)的距離． 2．復數(shù)z滿足|z－i|＝1，其幾何意義是什么？ [提示]　由|z－i|＝1可知點z到點(0,1)的距離為1． (1)B　(2)－15＋8i　[(1)因為x，y∈R，(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以x＝y(tǒng)＝1， |x＋yi|＝|1＋i|＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，故選B． (2)設z＝a＋bi(a，b∈R)， 則|z|＝eq \r(a2＋b2)， 代入方程得a＋bi＋eq \r(a2＋b2)＝2＋8i， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋\r(a2＋b2)＝2，,b＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－15，,b＝8.)) ∴z＝－15＋8i．] 1．復數(shù)z＝a＋bi模的計算：|z|＝eq \r(a2＋b2)． 2．復數(shù)的模的幾何意義：復數(shù)的模的幾何意義是復數(shù)所對應的點到原點的距離． 3．轉(zhuǎn)化思想：利用模的定義將復數(shù)模的條件轉(zhuǎn)化為其實虛部滿足的條件，是一種復數(shù)問題實數(shù)化思想． eq \o([跟進訓練]) 3．若復數(shù)z＝eq \f(2a－1,a＋2)＋(a2－a－6)i是實數(shù)，則z1＝(a－1)＋(1－2a)i的模為________． eq \r(29)　[∵z為實數(shù)，∴a2－a－6＝0， ∴a＝－2或3．∵a＝－2時，z無意義，∴a＝3， ∴z1＝2－5i，∴|z1|＝eq \r(29)．] 4．已知復數(shù)z＝3＋ai，且|z|

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