TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc3096" 【題型1 復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算】 PAGEREF _Tc3096 \h 3
\l "_Tc18949" 【題型2 復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc18949 \h 3
\l "_Tc9654" 【題型3 復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算】 PAGEREF _Tc9654 \h 4
\l "_Tc32237" 【題型4 根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)】 PAGEREF _Tc32237 \h 5
\l "_Tc28759" 【題型5 根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算結(jié)果求復(fù)數(shù)特征】 PAGEREF _Tc28759 \h 5
\l "_Tc12568" 【題型6 復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式】 PAGEREF _Tc12568 \h 6
\l "_Tc19274" 【題型7 復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根】 PAGEREF _Tc19274 \h 7
【知識(shí)點(diǎn)1 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算】
1．復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算及其幾何意義
(1)復(fù)數(shù)的加法法則
設(shè)=a+bi，=c+di(a,b,c,dR)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么+=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
(2)復(fù)數(shù)的加法滿足的運(yùn)算律
對(duì)任意,,∈C，有
①交換律：+=+；
②結(jié)合律：(+)+=+(+).
(3)復(fù)數(shù)加法的幾何意義
在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)對(duì)應(yīng)的向量分別為，，則=(a,b)，=(c,d).以，對(duì)應(yīng)的線段為鄰邊作平行四邊形 (如圖所示)，則由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可得=+=(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)，即z=(a+c)+(b+d)i，即對(duì)角線OZ對(duì)應(yīng)的向量就是與復(fù)數(shù)(a+c)+(b+d)i對(duì)應(yīng)的向量.
2．復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算及其幾何意義
(1)復(fù)數(shù)的減法法則
類比實(shí)數(shù)減法的意義，我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運(yùn)算，即把滿足(c+di)+(x+yi)=a+bi的復(fù)數(shù)
x+yi(x,y∈R)叫做復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)減去復(fù)數(shù)c+di(c,d∈R)的差，記作(a+bi)-(c+di).
根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，有c+x=a，d+y=b，因此x=a-c，y=b-d，所以x+yi=(a-c)+(b-d)i，即(a+bi) -(c+di)
=(a-c)+(b-d)i.這就是復(fù)數(shù)的減法法則.
(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義
兩個(gè)復(fù)數(shù)=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量分別是，，那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)的差
-對(duì)應(yīng)的向量是-，即向量.
如果作=，那么點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)就是-(如圖所示).
這說(shuō)明兩個(gè)向量與的差就是與復(fù)數(shù)(a-c)+(b-d)i對(duì)應(yīng)的向量.因此，復(fù)數(shù)的減法可以按照向
量的減法來(lái)進(jìn)行，這是復(fù)數(shù)減法的幾何意義.

3．復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算
(1)復(fù)數(shù)的乘法法則
設(shè)=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，那么它們的積(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+
=(ac-bd)+(ad+bc)i.
可以看出，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類似于兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，只要在所得的結(jié)果中把換成-1，并且把實(shí)部與
虛部分別合并即可.
(2)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律
對(duì)于任意,,∈C，有
①交換律：=；
②結(jié)合律：()=()；
③分配律：(+)=+.
在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算律仍然成立.即對(duì)于任意復(fù)數(shù)z，,和正整數(shù)m,n，有=，
=，=.
4．復(fù)數(shù)的除法
(1)定義
我們規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算.即把滿足(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0)的復(fù)數(shù)x+yi叫做復(fù)數(shù)a+bi除
以復(fù)數(shù)c+di的商，記作(a+bi)÷(c+di)或(a,b,c,d∈R，且c+di≠0).
(1)復(fù)數(shù)的除法法則
(a+bi)÷(c+di)====+i(a,b,c,d∈R，且
c+di≠0).
由此可見(jiàn)，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除(除數(shù)不為0)，所得的商是一個(gè)確定的復(fù)數(shù).
5．|z-z0| (z, z0∈C ) 的幾何意義
設(shè)復(fù)數(shù)=a+bi，=c+di(a,b,c,d∈R)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是(a,b)，(c,d)，則||=
，又復(fù)數(shù)-=(a-c)+(b-d)i，則|-|=.
故||=|-|，即|-|表示復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離.
6．復(fù)數(shù)運(yùn)算的常用技巧
(1)復(fù)數(shù)常見(jiàn)運(yùn)算小結(jié)論
①；
②；
③；
④；
⑤.
(2)常用公式
；
；
.
【題型1 復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算】
【例1】（2023下·西藏林芝·高二?？计谀┤魪?fù)數(shù)z1=2+3i,z2=?4?5i，則z1+z2= （ ）
A．?2?2iB．6+8iC．2?2iD．?6?8i
【變式1-1】（2023下·陜西西安·高二?？茧A段練習(xí)）已知i是虛數(shù)單位，則3+5i+1+i=（ ）
A．2B．iC．?3iD．4+6i
【變式1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)z的共軛復(fù)數(shù)為z，若2z?3z=2?5i，則z=（ ）
A．?2?iB．2?iC．1?2iD．1+2i
【變式1-3】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若z?3+5i=8?2i，則z等于（ ）
A．5?3iB．11?7iC．8+7iD．8?7i
【題型2 復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義的應(yīng)用】
【例2】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）如圖在復(fù)平面上，一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+2i,?2+i,0，那么這個(gè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（ ）．
A．3+iB．3?iC．1?3iD．?1+3i
【變式2-1】（2022下·高一課時(shí)練習(xí)）若向量AB,AC分別表示復(fù)數(shù)z1=2?i,z2=3+i，則BC=（ ）
A．5B．5C．25D．22
【變式2-2】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，設(shè)向量OP，PQ，OQ所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1，z2，z3，那么（ ）
A．z1－z2－z3＝0
B．z1＋z2＋z3＝0
C．z2－z1－z3＝0
D．z1＋z2－z3＝0
【變式2-3】（2023下·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，O為原點(diǎn)，四邊形OABC是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，且A，B，C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，z3，若z1=1, z3=?2+i，則z2=（ ）
A．1+iB．1－iC．－1+iD．－1－i
【題型3 復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算】
【例3】（2023上·廣東廣州·高三鐵一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足z?1=i3?z，則z=（ ）
A．2?iB．2+iC．1+iD．1?i
【變式3-1】（2023上·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足1+iz=1?i，則z2023=（ ）
A．iB．?1C．?iD．1
【變式3-2】（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)z=2+ii1+i，則z+z=（ ）
A．2B．1C．?1D．?2
【變式3-3】（2023上·湖南邵陽(yáng)·高二?？茧A段練習(xí)）若z=1?2i，則(1+z)?z=（ ）
A．-2-4iB．-2+4iC．6-2iD．6+2i
【題型4 根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)】
【例4】（2023上·云南臨滄·高二?？计谀┤?+ia+i=?5+bi，其中a,b∈R，則b=（ ）
A．3B．2C．-2D．-3
【變式4-1】（2023·四川資陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z=a+bi（a,b∈R），且zi1+i=1+2i，則ab=（ ）
A．-9B．9C．-3D．3
【變式4-2】（2023下·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=a+i1+ia∈R的實(shí)部是虛部的2倍，則a=（ ）
A．?13B．13C．?12D．12
【變式4-3】（2023下·江西宜春·高二上高二中?？茧A段練習(xí)）已知i為虛數(shù)單位，若11+i=a?bia,b∈R，則ab=（ ）
A．1B．22C．2D．2
【題型5 根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算結(jié)果求復(fù)數(shù)特征】
【例5】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）復(fù)數(shù)z滿足z+(1?2i)=3?4i，則復(fù)數(shù)z的虛部為（ ）
A．?6iB．?6C．?2iD．?2
【變式5-1】（2023下·海南省直轄縣級(jí)單位·高一校考期中）設(shè)復(fù)數(shù)z1=?2+3i,z2=1+2i，則復(fù)數(shù)z1?z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【變式5-2】（2022下·陜西咸陽(yáng)·高二統(tǒng)考期中）設(shè)i是虛數(shù)單位，z是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，若z=2?i，則z+iz在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【變式5-3】（2022下·江西九江·高二校考階段練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z、復(fù)數(shù)z滿足1+i=2?4iz（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為（ ）
A．3B．?3C．3iD．?3i
【知識(shí)點(diǎn)2 復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程的根】
1．復(fù)數(shù)范圍內(nèi)實(shí)數(shù)系一元二次方程的根
若一元二次方程+bx+c=0(a≠0，且a,b,c∈R)，則當(dāng)>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根
，=；
當(dāng)=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根==-；
當(dāng)0；②復(fù)平面上表示z1z2的點(diǎn)在直線x+2y=0上；③z1a?i>0這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中的橫線上，并解答：
已知復(fù)數(shù)z1=1+i，z2=a+3ia∈R（i為虛數(shù)單位），滿足____.
(1)若z=z1+z2，求復(fù)數(shù)z以及z；
(2)若z2是實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+mx+4?3m=0的根，求實(shí)數(shù)m的值.

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7.2 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

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