《第七章 復(fù)數(shù) 》 章末綜合提升 教學(xué)設(shè)計(jì) 一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建 二、核心知識(shí)歸納 1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 (1)虛數(shù)單位i；(2)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z＝a＋bi(a，b∈R)；(3)復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、虛數(shù)與純虛數(shù). 2.復(fù)數(shù)集 eq \a\vs4\al(復(fù)數(shù)a＋bi,（a，b∈R）)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(實(shí)數(shù)（b＝0），,虛數(shù)（b≠0）（當(dāng)a＝0時(shí)為純虛數(shù)）.)) 3.復(fù)數(shù)的幾何意義 (1)用點(diǎn)Z(a，b)表示復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，用向量eq \o(OZ,\s\up6(→))表示復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，Z稱為z在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)(坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)0). (2)任何一個(gè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi一一對(duì)應(yīng)著復(fù)平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)Z(a，b)，也一一對(duì)應(yīng)著一個(gè)從原點(diǎn)出發(fā)的向量eq \o(OZ,\s\up6(→)). 4.共軛復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的模 (1)若z＝a＋bi(a，b∈R)，則eq \o(z,\s\up6(－))＝a－bi，z＋eq \o(z,\s\up6(－))為實(shí)數(shù)，z－eq \o(z,\s\up6(－))為純虛數(shù)(b≠0). (2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模|z|＝eq \r(a2＋b2)，且z·eq \o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝a2＋b2. 5.復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義 (1)復(fù)數(shù)加法的幾何意義 若復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)的向量eq \o(OZ1,\s\up6(→))，eq \o(OZ2,\s\up6(→))不共線，則復(fù)數(shù)z1＋z2是以eq \o(OZ1,\s\up6(→))，eq \o(OZ2,\s\up6(→))為兩鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線eq \o(OZ,\s\up6(→))所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù). (2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義 復(fù)數(shù)z1－z2是連接向量eq \o(OZ1,\s\up6(→))，eq \o(OZ2,\s\up6(→))的終點(diǎn)，并指向Z1的向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù). 6.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (4)除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(（a＋bi）（c－di）,（c＋di）（c－di）)＝eq \f(ac＋bd＋（bc－ad）i,c2＋d2)(c＋di≠0)； (5)實(shí)數(shù)四則運(yùn)算的交換律、結(jié)合律、分配律都適合于復(fù)數(shù)的情況； (6)特殊復(fù)數(shù)的運(yùn)算：in(n為正整數(shù))的周期性運(yùn)算；(1±i)2＝±2i. 三、典型例題 1.有關(guān)復(fù)數(shù)的概念 【例1】　已知m∈R，復(fù)數(shù)z＝eq \f(m（m＋2）,m－1)＋(m2＋2m－1)i，當(dāng)m為何值時(shí)： (1)z∈R；(2)z是虛數(shù)；(3)z是純虛數(shù). 解　(1)當(dāng)m2＋2m－1＝0且m－1≠0， 即m＝－1±eq \r(2)時(shí)，z為實(shí)數(shù). (2)當(dāng)m2＋2m－1≠0且m－1≠0. 即m≠－1±eq \r(2)且m≠1時(shí)，z為虛數(shù). (3)當(dāng)eq \f(m（m＋2）,m－1)＝0且m2＋2m－1≠0， 即m＝0或－2時(shí)，z為純虛數(shù). 【類題通法】復(fù)數(shù)常設(shè)為z＝a＋bi(a，b∈R)，z∈R?b＝0；z為虛數(shù)?b≠0；z為純虛數(shù)?a＝0且b≠0. 【鞏固訓(xùn)練1】　復(fù)數(shù)z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，當(dāng)x為何實(shí)數(shù)時(shí)： (1)z∈R；(2)z為虛數(shù). 解　(1)因?yàn)橐粋€(gè)復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的充要條件是虛部為0， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－3x－3>0，,log2（x－3）＝0，,x－3>0，)) 解得x＝4，所以當(dāng)x＝4時(shí)，z∈R. (2)因?yàn)橐粋€(gè)復(fù)數(shù)是虛數(shù)的充要條件是虛部不為0， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－3x－3>0，,log2（x－3）≠0，,x－3>0，))解得x>eq \f(3＋\r(21),2)且x≠4. 所以當(dāng)x>eq \f(3＋\r(21),2)且x≠4時(shí)，z為虛數(shù). 2.　復(fù)數(shù)相等 【例2】　已知復(fù)數(shù)z1＝1－i，z1·z2＋eq \x\to(z)1＝2＋2i，求復(fù)數(shù)z2. 解　因?yàn)閦1＝1－i，所以eq \x\to(z)1＝1＋i， 所以z1·z2＝2＋2i－eq \x\to(z)1＝2＋2i－(1＋i)＝1＋i. 設(shè)z2＝a＋bi(a，b∈R)，由z1·z2＝1＋i， 得(1－i)(a＋bi)＝1＋i， 所以(a＋b)＋(b－a)i＝1＋i， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋b＝1，,b－a＝1，))解得a＝0，b＝1，所以z2＝i. 【類題通法】復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z＝x＋yi(x，y∈R)，從實(shí)部、虛部來理解一個(gè)復(fù)數(shù)，把復(fù)數(shù)z滿足的條件轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)x，y應(yīng)該滿足的條件，從而可以從實(shí)數(shù)的角度利用待定系數(shù)法和方程思想來處理復(fù)數(shù)問題. 【鞏固訓(xùn)練2】　已知復(fù)數(shù)z＝(1＋2i)(－2＋i)－eq \f(3＋i,1＋i). (1)化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z； (2)若z2＋(2a－1)z－(1－i)b－16＝0，求實(shí)數(shù)a，b的值. 解　(1)z＝(1＋2i)(－2＋i)－eq \f(（3＋i）（1－i）,（1＋i）（1－i）) ＝－4－3i－eq \f(4－2i,2)＝－4－3i－(2－i)＝－6－2i. (2)∵(－6－2i)2＋(2a－1)(－6－2i)－(1－i)b－16＝0， ∴32＋24i－6(2a－1)－2(2a－1)i－b＋bi－16＝0， ∴22－12a－b＋(26－4a＋b)i＝0， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(22－12a－b＝0，,26－4a＋b＝0.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－14.)) 3.復(fù)數(shù)的模及其幾何意義 【例3】　復(fù)數(shù)z滿足|z＋3－eq \r(3)i|＝eq \r(3)，求|z|的最大值和最小值. 解　|z＋3－eq \r(3)i|＝eq \r(3)表示以－3＋eq \r(3)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P為圓心，以eq \r(3)為半徑的圓，如圖所示， 則|OP|＝|－3＋eq \r(3)i|＝eq \r(12)＝2eq \r(3)， 顯然|z|max＝|OA|＝|OP|＋eq \r(3)＝3eq \r(3)， |z|min＝|OB|＝|OP|－eq \r(3)＝eq \r(3). 【類題通法】1.z≠0，z為純虛數(shù)?eq \o(z,\s\up6(－))＝－z. 2.復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式：若z＝a＋bi(a，b∈R)，則|z|＝eq \r(a2＋b2)，在解答有關(guān)復(fù)數(shù)模的問題時(shí)應(yīng)重視以下結(jié)論的運(yùn)用：z·eq \o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq \o(z,\s\up6(－))|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z1,z2)))＝eq \f(|z1|,|z2|)(z2≠0)等. 【鞏固訓(xùn)練3】　已知z∈C且|z|＝1，求|z2－z＋1|的最值. 解　因?yàn)閨z|＝1，所以z·eq \o(z,\s\up6(－))＝1， 所以z2－z＋1＝z2－z＋zeq \o(z,\s\up6(－))＝z(z＋eq \o(z,\s\up6(－))－1)， 所以|z2－z＋1|＝|z(z＋eq \o(z,\s\up6(－))－1)|＝|z|·|z＋eq \o(z,\s\up6(－))－1| ＝|z＋eq \o(z,\s\up6(－))－1|. 設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，那么|z＋eq \o(z,\s\up6(－))－1|＝|2x－1|， 又因?yàn)閨z|＝1，所以x2＋y2＝1. 所以－1≤x≤1，所以－3≤2x－1≤1，則0≤|2x－1|≤3. 所以|z2－z＋1|的最小值為0，最大值為3. 4.復(fù)數(shù)與其他知識(shí)的綜合應(yīng)用 【例4】　四邊形ABCD是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，A，B，C，D四點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1＋3i，2i，2＋i，z. (1)求復(fù)數(shù)z； (2)z是關(guān)于x的方程2x2－px＋q＝0的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)p，q的值. 解　(1)復(fù)平面內(nèi)A，B，C對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1，3)，(0，2)，(2，1)， 設(shè)D的坐標(biāo)為(x，y)，由于eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \o(BC,\s\up6(→))， ∴(x－1，y－3)＝(2，－1)， ∴x－1＝2，y－3＝－1，解得x＝3，y＝2，故D(3，2)， 則點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z＝3＋2i. (2)∵3＋2i是關(guān)于x的方程2x2－px＋q＝0的一個(gè)根， ∴3－2i是關(guān)于x的方程2x2－px＋q＝0的另一個(gè)根， 則3＋2i＋3－2i＝eq \f(p,2)，(3＋2i)·(3－2i)＝eq \f(q,2)， 即p＝12，q＝26. 【類題通法】復(fù)數(shù)具有代數(shù)形式，且復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)又是數(shù)形結(jié)合的橋梁，要注意復(fù)數(shù)與向量、方程、函數(shù)等知識(shí)的交匯. 【鞏固訓(xùn)練4】　已知復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，設(shè)eq \o(AB,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z. (1)求復(fù)數(shù)z； (2)若復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P在直線y＝eq \f(1,2)x上，求θ的值. 解　(1)由題意得z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋(cos 2θ－1)i＝－1＋(－2sin2θ)i. (2)由(1)知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－1，－2sin2θ). 由點(diǎn)P在直線y＝eq \f(1,2)x上，得－2sin2θ＝－eq \f(1,2)， ∴sin2θ＝eq \f(1,4)，又θ∈(0，π)，∴sin θ>0， 因此sin θ＝eq \f(1,2)，∴θ＝eq \f(π,6)或θ＝eq \f(5π,6). 操作演練 素養(yǎng)提升 1.已知eq \x\to(z)是z的共軛復(fù)數(shù)，若z·eq \x\to(z)i＋2＝2z，則z＝(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 2.已知復(fù)數(shù)z1＝2－3i，z2＝eq \f(3＋2i,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋i))2)，則eq \f(z1,z2)等于(　　) A．－4＋3i B．3＋4i C．3－4i D．4－3i 3.設(shè)z＝－3＋2i，則在復(fù)平面內(nèi)eq \x\to(z)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4.若a為實(shí)數(shù)，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，則a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 5.若關(guān)于x的方程x2＋(2－i)x＋(2m－4)i＝0有實(shí)數(shù)根，則純虛數(shù)m＝________. 答案：1.A 2.D 3. C 4. B 5.4i 五、課堂小結(jié)，反思感悟 1.知識(shí)總結(jié)： 2.學(xué)生反思： （1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？ （2）在解決問題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？ 六、作業(yè)布置 完成教材：第94頁 復(fù)習(xí)參考題7 第1，2，3,4,5,6,7,8,9題 七、課堂記錄 八、教學(xué)反思

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