《數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)》全章復(fù)習(xí)與鞏固【學(xué)習(xí)目標(biāo)】  1. 了解引進(jìn)復(fù)數(shù)的必要性，了解數(shù)集的擴(kuò)充過程；2. 理解在數(shù)系的擴(kuò)充中由實(shí)數(shù)集擴(kuò)展到復(fù)數(shù)集出現(xiàn)的一些基本概念；理解復(fù)數(shù)相等的充要條件；3. 了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；4. 掌握進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則，了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法、減法運(yùn)算的幾何意義. 注意在不同數(shù)集中運(yùn)算法則的聯(lián)系和區(qū)別.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】 要點(diǎn)一：復(fù)數(shù)的基本知識(shí)1、虛數(shù)單位，規(guī)定它的平方等于，即.可與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立.2、形如（）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，記作：（）；當(dāng)b=0時(shí)，是實(shí)數(shù)；當(dāng)b≠0時(shí)，叫做虛數(shù)；當(dāng)a=0且b≠0時(shí)，叫做純虛數(shù).3、兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件：若，則.4、復(fù)數(shù)的幾何意義： 復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn) 平面向量5、復(fù)數(shù)的模：設(shè)（），則向量的長(zhǎng)度叫做復(fù)數(shù)的模，記作.即.要點(diǎn)詮釋：（1）的周期性：如果n∈N，則有：，，，；（2）復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，記為；（3）.要點(diǎn)二：復(fù)數(shù)的運(yùn)算設(shè)，（），則：要點(diǎn)詮釋：（1）設(shè)ω＝，則，，，，，(n∈N+)等；（2）復(fù)數(shù)求解計(jì)算時(shí)，要靈活利用i、ω的性質(zhì)，或適當(dāng)變形，創(chuàng)造條件，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于i、ω的計(jì)算問題． 比如；；；（3）作復(fù)數(shù)除法運(yùn)算時(shí)，有如下技巧：．   【典型例題】類型一：復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算例1.  化簡(jiǎn)下列式子：（1）；           （2） ．【解析】  （1）；（2）． 【變式1】i是虛數(shù)單位，計(jì)算  (    )    A．-l    B．1    C．-i    D．i【答案】 A 【變式2】復(fù)數(shù)等于  (    )    A．i    B．-i    C．1    D．-1【答案】  D【解析】  ． 【變式3】已知復(fù)數(shù)，則________·【答案】 -2i例2. 已知，(a∈R)分別對(duì)應(yīng)向量，（O為原點(diǎn)），若向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求a的值．【解析】  設(shè)向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z，∵  ，∴  ．∵  z為純虛數(shù)，∴    即∴  ． 【變式1】設(shè)(其中表示z1的共軛復(fù)數(shù))，已知z2的實(shí)部是-1，則z2的虛部為________．    【答案】  1    【解析】  ，，    ，由復(fù)數(shù)相等得． 【變式2】 設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)，則(   )A．，    B．a＝3，b＝l    C．＝，    D．a＝1，b＝3【答案】  A【解析】    故選A． 類型二：復(fù)數(shù)的幾何意義例3.  已知復(fù)數(shù)，，，它們?cè)趶?fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，求這個(gè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．【解析】設(shè)復(fù)數(shù)、、所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B、C，正方形的第四個(gè)點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(x，y∈R)，∴  對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為．∵  ，∴  ，即  解得∴  點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為． 【變式】已知復(fù)平面上的ABCD中，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為6+8i，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-4+6i，求向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．【答案】如圖所示，ABCD中，設(shè)對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)為E，則點(diǎn)E為AC、BD的中點(diǎn)，由復(fù)數(shù)加減法的幾何意義可得所以對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，所以向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為． 例4. 復(fù)數(shù)且，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，若復(fù)數(shù)0，z，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a，b的值．【解析】．    由，得．    ①    ∵  復(fù)數(shù)0，z，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，∴  ．把代入上式化簡(jiǎn)得|b|＝1．  ②又∵  z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.∴  a＜0，b＜0．由①②得故所求值為，． 【變式1】復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(   )    A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限  【答案】 A【解析】 ．∴  復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第一象限．故選A． 【變式2】若i為虛數(shù)單位，圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z，則表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)是(    )    A．E    B．F    C．G    D．H   【答案】  D【解析】  由題中圖示可知，∴  ，再結(jié)合題中圖示知點(diǎn)H表示2-i，故選D．類型三：復(fù)數(shù)與方程例5.  已知2+ai，b+i是實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩根，求p，q.A．p＝-4，q＝5    B．p＝4，q＝5    C．p＝4，q＝-5    D．p＝-4，q＝-5【思路點(diǎn)撥】抓住實(shí)系數(shù)一元二次方程有虛根時(shí)兩根互為共軛復(fù)數(shù)來解題.  【解析】 因?yàn)?/span>2+ai，b+i)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)根，所以2+ai與b+i互為共軛復(fù)數(shù)，所以a＝-1，b＝2，所以實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)根是2±i，所以p＝-[(2+i)+(2-i)]＝-4，q＝(2+i)(2-i)＝5． 【變式】在復(fù)數(shù)集中解方程.【答案】，∴，∴原方程的根為. 例6.  已知Z∈C，解方程． 【思路點(diǎn)撥】本題介紹對(duì)的熟練應(yīng)用，來求得.【解析】  ∵  ，把方程變形為，  ①    兩邊取模得．整理得．解得或．    將其代入①得或．    ∴  z＝-1或z＝-1+3i． 【變式】已知Z∈C，解方程．【答案】令(x，y∈R)，則原方程化為：，∴由復(fù)數(shù)相等的條件有解得或∴原方程的解為，. 

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本章綜合與測(cè)試

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