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\l "_Tc7088" 【題型1 用向量解決平面幾何中的平行問題】 PAGEREF _Tc7088 \h 1
\l "_Tc14884" 【題型2 用向量解決平面幾何中的垂直問題】 PAGEREF _Tc14884 \h 3
\l "_Tc944" 【題型3 用向量解決夾角問題】 PAGEREF _Tc944 \h 4
\l "_Tc30658" 【題型4 用向量解決線段的長度問題】 PAGEREF _Tc30658 \h 5
\l "_Tc11037" 【題型5 向量與幾何最值】 PAGEREF _Tc11037 \h 7
\l "_Tc7495" 【題型6 向量在幾何中的其他應用】 PAGEREF _Tc7495 \h 8
\l "_Tc12620" 【題型7 用向量解決物理中的相關問題】 PAGEREF _Tc12620 \h 10
【知識點1 平面幾何中的向量方法】
1．平面幾何中的向量方法
(1)用向量研究平面幾何問題的思想
向量集數(shù)與形于一身，既有代數(shù)的抽象性又有幾何的直觀性.因此，用向量解決平面幾何問題，就是將
幾何的證明問題轉化為向量的運算問題，將“證”轉化為“算”，思路清晰，便于操作.
(2)向量在平面幾何中常見的應用
①證明線段平行或點共線問題，以及相似問題，常用向量共線定理：∥=-=0 (≠0).
②證明線段垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線(或線段)是否垂直等，常用向量垂直的條件：=0+=0.
③求夾角問題，利用夾角公式：==.
④求線段的長度或說明線段相等，可以用向量的模：||=或|AB|=||=
.
(3)向量法解決平面幾何問題的“三步曲”
第一步，轉化：建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；
第二步，運算：通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；
第三步，翻譯：把運算結果“翻譯”成幾何關系.
【題型1 用向量解決平面幾何中的平行問題】
【例1】（2023下·全國·高一專題練習）在△ABC中，點M，N分別在線段AB，AC上，AM=2MB，AN=2NC.求證：MN//BC.
【變式1-1】（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別為BD，AB，AC和CD的中點.求證：四邊形EFGH為平行四邊形.

【變式1-2】（2023·全國·高一專題練習）在四邊形ABCD中， AB=DC，N，M是AD，BC上的點，且DN＝MB.
求證： CN=MA.
【變式1-3】（2023下·全國·高一專題練習）已知在四邊形ABCD中，AB//CD，求AD與BC分別滿足什么條件時，四邊形ABCD滿足下列情況.
(1)四邊形ABCD是等腰梯形；
(2)四邊形ABCD是平行四邊形.
【題型2 用向量解決平面幾何中的垂直問題】
【例2】（2023下·安徽安慶·高一?？茧A段練習）如圖所示，以△ABC兩邊AB，AC為邊向外作正方形ABGF和ACDE，M為BC的中點.求證：AM⊥EF.
【變式2-1】（2023下·河南信陽·高一校聯(lián)考期中）已知在△ABC中，點M是BC邊上靠近點B的四等分點，點N在AB邊上，且AN=NB，設AM與CN相交于點P．記AB=m，AC=n．

(1)請用m，n表示向量AM；
(2)若n=2m，設m，n的夾角為θ，若csθ=14，求證：CN⊥AB．
【變式2-2】（2023·高一課時練習）如圖，正方形ABCD的邊BC在正方形BEFG的邊BG上，聯(lián)結AG、CE，AG交DC于H．
（1）證明：AG⊥CE；
（2）當點C在BG的什么位置時，CH?CE最??？
【變式2-3】（2023下·山東濟南·高一校考階段練習）在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分別為A0,b，B?a,0，Ca,0(且ab≠0)，D為AB的中點，E為△ACD的重心，F(xiàn)為△ABC的外心．
(1)求重心E的坐標；
(2)用向量法證明：EF⊥CD．
【題型3 用向量解決夾角問題】
【例3】（2023·全國·高一專題練習）如圖，在△ABC中，已知AC=1，AB=3，∠BAC=60°，且PA+PB+PC=0.求cs∠APC.
【變式3-1】（2023·全國·高一專題練習）已知△ABC是等腰直角三角形，∠B=90°，D是BC邊的中點，BE⊥AD，垂足為E，延長BE交AC于點F，連接DF，求證：∠ADB=∠FDC.
【變式3-2】（2023·全國·高一專題練習）已知梯形ABCD中，AB // CD，AB=2CD，E為BC的中點，F(xiàn)為BD與AE的交點，AD=λAB+μAE．
(1)求λ和μ的值；
(2)若AB=22，BC=6，∠ABC=45°，求EA與BD所成角的余弦值．
【變式3-3】（2023下·福建廈門·高一統(tǒng)考期末）在四邊形ABCD中，AB=2m?2n，AD=?m+3n，AC=2n，其中m，n為不共線的向量．
(1)判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明；
(2)若m=2，n=1，m與n的夾角為60°，F(xiàn)為BC中點，求∠FAB．
【題型4 用向量解決線段的長度問題】
【例4】（2023下·河北滄州·高一?？茧A段練習）如圖，在△ABC中，AB=4,AC=6,BD=12DC,BE=12EA,AF=12FC,DE?DF=?4.
(1)求BC的長；
(2)求AD的長.
【變式4-1】（2023·全國·高一專題練習）如圖，在?ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AD，DC邊的中點，BE，BF分別與AC交于R，T兩點，你能發(fā)現(xiàn)AR，RT，TC之間的關系嗎？用向量方法證明你的結論.
【變式4-2】（2023·全國·高一專題練習）在梯形ABCD中，BC>AD，AD//BC，點E，F(xiàn)分別是BD，AC的中點，求證：EF=BC?AD2.
【變式4-3】（2023下·廣東廣州·高一校考期中）如圖，在△ABC中，AB=3,AC=2,∠BAC=π3,D是BC邊的中點，CE⊥AB,AD與CE交于點F.
(1)求CE和AD的長度；
(2)求cs∠CFD.
【題型5 向量與幾何最值】
【例5】（2023上·江蘇常州·高三校考階段練習）如圖，在平面四邊形ABCD中，∠A=90°,AB=AD=2,△BCD為等邊三角形，當點M在對角線AC上運動時，MC?MD的最小值為（ ）

A．?32B．-1
C．?12D．2
【變式5-1】（2023·全國·高一專題練習）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，P是線段AB上的動點，則PC+2PD的最小值為（ ）
A．25B．5C．35D．7
【變式5-2】（2023·江蘇·高一專題練習）如圖所示，在△ABC中，∠BAC=π3，AD=35AB，P為CD上一點，且滿足AP=mAC+37AB，若△ABC的面積為23，則AP的最小值為（ ）
A．14449B．127C．233D．3
【變式5-3】（2023上·上海浦東新·高三校考開學考試）“圓冪定理”是平面幾何中關于圓的一個重要定理，它包含三個結論，其中一個是相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等，如圖，已知圓O的半徑2，點P是圓O內的定點，且OP=2，弦AC,BD均過點P，則下列說法錯誤的是（ ）

A．PA?PC為定值B．OA?OC的取值范圍是?2,0
C．當AC⊥BD時，AB?CD為定值D．AC?BD的最大值為16
【題型6 向量在幾何中的其他應用】
【例6】（2023·全國·高三專題練習）空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H，I，J分別是AB，DC，BC，AD，AC，BD的中點，求證：HG，EF，IJ相交于一點O，且點O是它們的公共中點．
【變式6-1】（2023·全國·高一專題練習）如圖，在△OAB中，點C分OA為1:3，點D為OB中點，AD與BC交于P點，延長OP交AB于E，求證：AE=3EB.
【變式6-2】（2023·全國·高一專題練習）設P，Q分別是梯形ABCD的對角線AC與BD的中點
（1）試用向量證明：PQ//AB；
（2）若AB=3CD，求PQ：AB的值.
【變式6-3】（2023下·遼寧·高一校聯(lián)考階段練習）已知點A2,0，B8,3，C6,?1，D為線段BC的中點，E為線段AB上靠近B的三等分點.
(1)求D，E的坐標.
(2)在①△ADE，②△BDE這兩個條件中任選一個，補充在下面的橫線上并解答.
問題：按角分類，判斷______的形狀，并說明理由.
（注：若選擇兩個條件分別解答，則按第一個解答計分）
【知識點2 向量在物理中的應用】
1．力學問題的向量處理方法
向量是既有大小又有方向的量，它們可以有共同的作用點，也可以沒有共同的作用點，但力卻是既有大小，又有方向且作用于同一作用點的量.用向量知識解決力的問題，往往是把向量平移到同一作用點上.
2．速度、位移問題的向量處理方法
速度、加速度與位移的合成和分解，實質就是向量的加減法運算，而運動的疊加也用到向量的合成.
3．向量與功、動量
物理上力做功的實質是力在物體前進方向上的分力與物體位移的乘積，它的實質是向量的數(shù)量積.
(1)力的做功涉及兩個向量及這兩個向量的夾角，即W=||||.功是一個實數(shù),它可正,可負,也可
為零.
(2)動量涉及物體的質量m，物體運動的速度，因此動量的計算是向量的數(shù)乘運算.
【題型7 用向量解決物理中的相關問題】
【例7】（2023下·廣東清遠·高一?？茧A段練習）一條東西方向的河流兩岸平行，河寬250m，河水的速度為向東23km/h.一艘小貨船準備從河的這一邊的碼頭A處出發(fā)，航行到位于河對岸B(AB與河的方向垂直)的正西方向并且與B相距2503m的碼頭C處卸貨.若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為6km/h，則當小貨船的航程最短時，求此時小貨船航行速度為多少. （ ）
A．21km/hB．221km/h
C．22km/hD．222km/h
【變式7-1】（2023上·廣東佛山·高二統(tǒng)考期中）如圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為θ，已知禮物的質量為mkg，每根繩子的拉力大小相同．求降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小為（ ）（重力加速度g）
A．8mgsinθB．mg8sinθC．mg8csθD．8mgcsθ
【變式7-2】（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學?？级＃┪锢韺W中，如果一個物體受到力的作用，并在力的方向上發(fā)生了一段位移，我們就說這個力對物體做了功，功的計算公式：W=F?S（其中W是功，F(xiàn)是力，S是位移）一物體在力F1=2,4和F2=?5,3的作用下，由點A1,0移動到點B2,4，在這個過程中這兩個力的合力對物體所作的功等于（ ）
A．25B．5C．?5D．?25
【變式7-3】（2023·全國·高一專題練習）長江流域內某段南北兩岸平行，如圖，一艘游船從南岸碼頭A出發(fā)航行到北岸.已知游船在靜水中的航行速度v1的大小為v1=10km/?，水流的速度v2的大小為v2=4km/?，設v1和v2所成的角為θ0

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