TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc18992" 【題型1 向量的加減運(yùn)算】 PAGEREF _Tc18992 \h 3
\l "_Tc6316" 【題型2 平面向量的混合運(yùn)算】 PAGEREF _Tc6316 \h 4
\l "_Tc24962" 【題型3 由平面向量的線性運(yùn)算求參數(shù)】 PAGEREF _Tc24962 \h 5
\l "_Tc19347" 【題型4 向量共線定理的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc19347 \h 7
\l "_Tc23381" 【題型5 根據(jù)向量關(guān)系判斷三角形的心】 PAGEREF _Tc23381 \h 9
\l "_Tc12061" 【題型6 向量線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用】 PAGEREF _Tc12061 \h 12
【知識(shí)點(diǎn)1 平面向量的線性運(yùn)算】
1．向量的加法運(yùn)算
(1)向量加法的定義及兩個(gè)重要法則
(2)多個(gè)向量相加
為了得到有限個(gè)向量的和，只需將這些向量依次首尾相接，那么以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，最后一
個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量，就是這些向量的和，如圖所示.
2．向量加法的運(yùn)算律
(1)交換律：；
(2)結(jié)合律：.
3．向量的減法運(yùn)算
(1)相反向量
我們規(guī)定，與向量長(zhǎng)度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，記作.零向量的相反向量仍是
零向量.
(2)向量減法的定義：
向量加上的相反向量，叫做與的差，即-=+(-).求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.
(3)向量減法的三角形法則
如圖，已知向量,，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作=，=，則=-=-.即-可以
表示為從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量，這是向量減法的幾何意義.

4．向量的數(shù)乘運(yùn)算
(1)向量的數(shù)乘的定義
一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作，它的長(zhǎng)度與
方向規(guī)定如下：
①；
②當(dāng)>0時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)0)，則m+n的值為（ ）

A．2B．3C．92D．5
【解題思路】根據(jù)AO=12AB+AC=m2AM+n2AN及O,M,N三點(diǎn)共線結(jié)論求得m+n的值.
【解答過(guò)程】因?yàn)辄c(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，
所以AO=12AB+AC，
又因?yàn)锳B=mAM,AC=nAN(m,n>0)
所以AO=m2AM+n2AN，
因?yàn)镺,M,N三點(diǎn)共線，
所以m2+n2=1，
所以m+n=2.
故選：A.
【變式4-3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)D、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，且DC=2BD，CE=2EA，AF=2FB，則（ ）
A．AD+BE+CF與BC反向平行B．AD+BE+CF與BC同向平行
C．3BE+3CF?BC與CA反向平行D．3BE+3CF?BC與CA不共線
【解題思路】將AD、BE、CF用AB和AC表示，再根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算以及平行的概念判斷可得答案.
【解答過(guò)程】因?yàn)镈C=2BD，所以BD=13BC，
因?yàn)镃E=2EA，所以AE=13AC，
因?yàn)锳F=2FB，所以AF=23AB，
AD=AB+BD =AB+13BC =AB+13(AC?AB)=23AB+13AC，
BE=AE?AB =13AC?AB，
CF=AF?AC =23AB?AC，
所以AD+BE+CF =23AB+13AC+13AC?AB+23AB?AC =13AB?13AC=13CB=?13BC，
所以AD+BE+CF與BC反向平行，故A正確，B錯(cuò)誤；
3BE+3CF?BC =3(13AC?AB)+3(23AB?AC)?BC
=?2AC?AB?BC=?2AC?AC=?3AC=3CA，
所以3BE+3CF?BC與CA同向平行，故CD錯(cuò)誤.
故選：A.
【題型5 根據(jù)向量關(guān)系判斷三角形的心】
【例5】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)O是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，△ABC的三邊為a,b,c，若aOA→+bOB→+cOC→=0→，則點(diǎn)O是△ABC的（ ）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
【解題思路】在AB，AC上分別取點(diǎn)D，E，使得AD→=AB→c，AE→=AC→b，以AD，AE為鄰邊作平行四邊形ADFE，即可得到四邊形ADFE是菱形，再根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則及共線定理得到A，O，F(xiàn)三點(diǎn)共線，即可得到O在∠BAC的平分線上，同理說(shuō)明可得O在其它兩角的平分線上，即可判斷.
【解答過(guò)程】在AB，AC上分別取點(diǎn)D，E，使得AD→=AB→c，AE→=AC→b，則AD→=AE→=1．
以AD，AE為鄰邊作平行四邊形ADFE，如圖，

則四邊形ADFE是菱形，且AF→=AD→+AE→=AB→c+AC→b．
∴AF為∠BAC的平分線． ∵ aOA→+bOB→+cOC→=0→
∴a?OA→+b?(OA→+AB→)+c?(OA→+AC→)=0→，
即(a+b+c)OA→+bAB→+cAC→=0→，
∴ AO→=ba+b+cAB→+ca+b+cAC→=bca+b+c(AB→c+AC→b)=bca+b+cAF→．
∴A，O，F(xiàn)三點(diǎn)共線，即O在∠BAC的平分線上．
同理可得O在其它兩角的平分線上，
∴O是△ABC的內(nèi)心．
故選：B．
【變式5-1】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）O是平面內(nèi)一定點(diǎn)，A，B，C是平面內(nèi)不共線三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+λ(AB+AC)，λ∈[0,+∞)，則P的軌跡一定通過(guò)△ABC的（ ）
A．外心B．垂心C．內(nèi)心D．重心
【解題思路】根據(jù)向量線性關(guān)系可得λ(AB+AC)=AP，結(jié)合AB+AC的幾何意義判斷所過(guò)的點(diǎn)，即可得答案.
【解答過(guò)程】由題設(shè)λ(AB+AC)=OP?OA=AP，
而AB+AC所在直線過(guò)BC中點(diǎn)，即與BC邊上的中線重合，且λ∈[0,+∞)，
所以P的軌跡一定通過(guò)△ABC的重心.
故選：D.
【變式5-2】（2023下·上海奉賢·高一?？计谥校┰O(shè)O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足OA+2OB+2OC=0，則△ABC的面積與△BOC的面積的比值為（ ）
A．6B．83C．127D．5
【解題思路】延長(zhǎng)OB到D，使OB=BD，延長(zhǎng)OC到E，使OC=CE，連接AD,DE,AE，則由已知條件可得O為△ADE的重心，由重心的性質(zhì)可得S△AOD=S△AOE=S△DOE=S，再結(jié)合中點(diǎn)可求出S△AOB,S△AOC，S△BOC的面積，進(jìn)而可求得答案
【解答過(guò)程】解：延長(zhǎng)OB到D，使OB=BD，延長(zhǎng)OC到E，使OC=CE，連接AD,DE,AE，
因?yàn)镺A+2OB+2OC=0，所以O(shè)A+OD+OE=0，
所以O(shè)為△ADE的重心，
所以設(shè)S△AOD=S△AOE=S△DOE=S，則S△AOB=S△AOC=12S，S△BOC=14S,
所以S△ABC=12S+12S+14S=54S,
所以S△ABCS△BOC=54S14S=5，
故選：D.
【變式5-3】（2022上·山西太原·高三統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)O,P在△ABC所在平面內(nèi)，滿OA+OB+OC=0，PA=PB=PC，則點(diǎn)O,P依次是△ABC的（ ）
A．重心，外心B．內(nèi)心，外心C．重心，內(nèi)心D．垂心，外心
【解題思路】設(shè)AB中點(diǎn)為D，進(jìn)而結(jié)合向量加法法則與共線定理得O,D,C三點(diǎn)共線，O在△ABC的中線CD，進(jìn)而得O為△ABC的重心，根據(jù)題意得點(diǎn)P為△ABC的外接圓圓心，進(jìn)而可得答案.
【解答過(guò)程】解：設(shè)AB中點(diǎn)為D，因?yàn)镺A+OB+OC=0，
所以O(shè)A+OB+OC=2OD+OC=0，即?2OD=OC，
因?yàn)镺D,OC有公共點(diǎn)O，
所以，O,D,C三點(diǎn)共線，即O在△ABC的中線CD，
同理可得O在△ABC的三條中線上，即為△ABC的重心；
因?yàn)镻A=PB=PC，
所以，點(diǎn)P為△ABC的外接圓圓心，即為△ABC的外心
綜上，點(diǎn)O,P依次是△ABC的重心，外心.
故選：A.
【題型6 向量線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用】
【例6】（2023·全國(guó)·高二課堂例題）如圖，在空間四邊形ABCD中，已知點(diǎn)G為△BCD的重心，E，F(xiàn)，H分別為CD，AD，BC的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果．

(1)AG+13BE?12AC；
(2)12AB+AC?AD；
(3)13AB+13AC+13AD．
【解題思路】（1）利用重心的特點(diǎn)和平面向量的加法法則計(jì)算即可；
（2）利用向量加法的平行四邊形法則和減法法則計(jì)算即可；
（3）利用向量的加法法則和減法法則計(jì)算即可.
【解答過(guò)程】（1）如圖，連接EF，∵G是△BCD的重心，∴GE=13BE．

又12CA=EF，∴由向量加法的三角形法則可知，
AG+13BE+12CA=AG+GE+EF=AE+EF=AF．在圖中標(biāo)出如圖1.1-14所示．
（2）連接AH，如圖，因?yàn)镋，F(xiàn)，H分別為CD，AD，BC的中點(diǎn)，
所以12AB+AC?AD=122AH?AD=AH?12AD=AH?AF=FH．在圖中標(biāo)出FH，如圖所示．
（3）13AB+13AC+13AD=AB+13AC?AB+13AD?AB
=AB+13BC+BD=AB+23BE=AB+BG=AG．
在圖中標(biāo)出AG，如圖所示．
【變式6-1】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）在△ABC中，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N為邊AC的中點(diǎn)，求證：MN=12BC．
【解題思路】根據(jù)向量的線性運(yùn)算將MN,BC分別用AB,AC表示，進(jìn)而可得出答案.
【解答過(guò)程】在△ABC中，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N為邊AC的中點(diǎn)，
則BC=AC?AB，
MN=AN?AM=12AC?12AB=12AC?AB，
所以MN=12BC．
【變式6-2】（2023·全國(guó)·高一課堂例題）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)分別是AD，DC的中點(diǎn)，BE，BF分別交AC于M，N．求證：M，N三等分AC．

【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合向量的線性運(yùn)算分析證明.
【解答過(guò)程】由題意可得：AN+NB=AB=2FC，F(xiàn)C=FN+NC，
所以AN+NB=2FC=2FN+2NC,
由于AN與NC，NB與FN分別共線，但NC與FN不共線，
所以NB=2FN，AN=2NC，因此N是AC的一個(gè)三等分點(diǎn)；
同理可證MC=2AM，因此M也是AC的一個(gè)三等分點(diǎn)．
【變式6-3】（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）如圖，點(diǎn)D是△ABC中BC邊的中點(diǎn)，AB=a，AC=b.

(1)試用a，b表示AD；
(2)若點(diǎn)G是△ABC的重心，能否用a，b表示AG？
(3)若點(diǎn)G是△ABC的重心，求GA+GB+GC.
【解題思路】（1）利用三角形法則整理化簡(jiǎn)即可；
（2）利用三角形重心性質(zhì)及向量的線性運(yùn)算化簡(jiǎn)計(jì)算即可；
（3）利用三角形重心性質(zhì)及三角形法則化簡(jiǎn)計(jì)算即可.
【解答過(guò)程】（1）因?yàn)辄c(diǎn)D是△ABC中BC邊的中點(diǎn)，且AB=a，AC=b，
所以AD=AB+BD=AB+12BC=AB+12AC?AB=12AB+12AC=12a+12b；
（2）因?yàn)辄c(diǎn)G是△ABC的重心，
所以AG=23AD=23AB+BD =23AB+12BC =23AB+12AC?AB =2312AB+AC
=13a+13b.
（3）因?yàn)辄c(diǎn)G是△ABC的重心且D是BC邊的中點(diǎn)，所以GB+GC=2GD，
又AG=23AD=2GD，所以GB+GC=AG=?GA，所以GA+GB+GC=0.定義
求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.
向量
加法
的三
角形
法則
前提
已知非零向量,，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A.
作法
作，連接AC.
結(jié)論
向量叫做與的和，記作，即.
圖形
向量
加法
的平
行四
邊形
法則
前提
已知兩個(gè)不共線的向量,，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O.
作法
作，以O(shè)A,OB為鄰邊作四邊形OACB.
結(jié)論
以O(shè)為起點(diǎn)的向量就是向量與的和，即.
圖形
規(guī)定
對(duì)于零向量與任一向量，我們規(guī)定.

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6.2 平面向量的運(yùn)算

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