TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc4576" 【題型1 向量概念的理解】 PAGEREF _Tc4576 \h 2
\l "_Tc5775" 【題型2 零向量與單位向量】 PAGEREF _Tc5775 \h 3
\l "_Tc11245" 【題型3 向量的幾何表示與向量的?！?PAGEREF _Tc11245 \h 5
\l "_Tc5958" 【題型4 向量相等或共線的判斷】 PAGEREF _Tc5958 \h 9
\l "_Tc20945" 【題型5 用向量關(guān)系研究幾何圖形的性質(zhì)】 PAGEREF _Tc20945 \h 11
【知識(shí)點(diǎn)1 向量的概念】
1．向量的概念
(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)數(shù)量：只有大小，沒有方向的量（如年齡、身高、長度、面積、體積和質(zhì)量等），稱為數(shù)量．
注：
①本書所學(xué)向量是自由向量，即只有大小和方向，而無特定的位置，這樣的向量可以作任意平移．
②看一個(gè)量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個(gè)要素．
③向量與數(shù)量的區(qū)別：數(shù)量與數(shù)量之間可以比較大小，而向量與向量之間不能比較大?。?br>2．向量的表示法
(1)有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長度．
(2)向量的表示方法:
①字母表示法：如等.
(2)幾何表示法：以A為始點(diǎn)，B為終點(diǎn)作有向線段（注意始點(diǎn)一定要寫在終點(diǎn)的前面）．如果用
一條有向線段表示向量，通常我們就說向量.
注：
①用字母表示向量便于向量運(yùn)算；
②用有向線段來表示向量，顯示了圖形的直觀性．應(yīng)該注意的是有向線段是向量的表示，不是說向量
就是有向線段．由于向量只含有大小和方向兩個(gè)要素，用有向線段表示向量時(shí)，與它的始點(diǎn)的位置無關(guān)，即同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量．
3．向量的有關(guān)概念
(1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用來表示向量的有向線段的長度).
注：
①向量的模．
②向量不能比較大小，但是實(shí)數(shù)，可以比較大?。?br>(2)零向量：長度為零的向量叫零向量.記作，它的方向是任意的．
(3)單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量.
注：
①在畫單位向量時(shí)，長度1可以根據(jù)需要任意設(shè)定；
②將一個(gè)向量除以它的模，得到的向量就是一個(gè)單位向量，并且它的方向與該向量相同．
(4)相等向量:長度相等且方向相同的向量.
注：
在平面內(nèi)，相等的向量有無數(shù)多個(gè)，它們的方向相同且長度相等．
【題型1 向量概念的理解】
【例1】（2023下·山西陽泉·高一?？计谥校┫铝忻}中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
（1）溫度?速度?位移?功都是向量
（2）零向量沒有方向
（3）向量的模一定是正數(shù)
（4）直角坐標(biāo)平面上的x軸?y軸都是向量
A．0B．1C．2D．3
【解題思路】根據(jù)向量的定義和性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷正誤即可.
【解題思路】（1）錯(cuò)誤，只有速度，位移是向量；溫度和功沒有方向，不是向量；
（2）錯(cuò)誤，零向量有方向，它的方向是任意的；
（3）錯(cuò)誤，零向量的模為0，向量的模不一定為正數(shù)；
（4）錯(cuò)誤，直角坐標(biāo)平面上的x軸、y軸只有方向，但沒有長度，故它們不是向量.
故選：A.
【變式1-1】（2023上·黑龍江·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）下列量中是向量的為（ ）
A．頻率B．拉力C．體積D．距離
【解題思路】根據(jù)向量與數(shù)量的意義直接判斷即可.
【解題思路】顯然頻率、體積、距離，它們只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量.
故選：B.
【變式1-2】（2023下·新疆·高一?？计谀┫铝姓f法正確的是（ ）
A．身高是一個(gè)向量
B．溫度有零上溫度和零下溫度之分，故溫度是向量
C．有向線段由方向和長度兩個(gè)要素確定
D．有向線段MN→和有向線段NM→的長度相等
【解題思路】根據(jù)向量的定義及性質(zhì)判斷各項(xiàng)的正誤即可.
【解題思路】A：由向量即有大?。ｉL）又有方向的量，顯然身高不是向量，故A錯(cuò)；
B：溫度有零上溫度和零下溫度，顯然溫度可以比較大小，但無方向，故B錯(cuò)；
C：有向線段有起點(diǎn)、方向、長度三要素確定，故C錯(cuò)；
D：有向線段MN→和有向線段NM→的長度相等，故D對(duì).
故選：D.
【變式1-3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．向量CD與向量DC長度相等
B．單位向量都相等
C．向量的模可以比較大小
D．任一非零向量都可以平行移動(dòng)
【解題思路】A.由相反向量判斷；B.由單位向量判斷；C.由向量的長度是數(shù)量判斷；D.由相等向量判斷.
【解題思路】A.CD和DC長度相等，方向相反，故正確；
B.單位向量長度都為1，但方向不確定，故錯(cuò)誤；
C.向量的長度可以比較大小，即模長可以比較大小，故正確；
D.向量只與長度和方向有關(guān)，與位置無關(guān)，故任一非零向量都可以平行移動(dòng)，故正確.
故選：B.
【題型2 零向量與單位向量】
【例2】（2023下·新疆·高一?？计谥校┫铝姓f法正確的是（ ）
A．向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)B．零向量沒有方向
C．單位向量的模等于1個(gè)單位長度D．零向量就是實(shí)數(shù)0
【解題思路】根據(jù)向量的模、零向量和單位向量的定義逐個(gè)選項(xiàng)分析可得答案.
【解題思路】對(duì)于A，零向量的模等于零，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，根據(jù)單位向量的定義可C知正確；
對(duì)于D，零向量有大小還有方向，而實(shí)數(shù)0只有大小沒有方向，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
【變式2-1】（2023上·廣東湛江·高二?？奸_學(xué)考試）下列命題正確的個(gè)數(shù)是（ ）
（1）向量就是有向線段；（2）零向量是沒有方向的向量；
（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的長度為0．
A．1B．2C．3D．4
【解題思路】（1）由向量的幾何表示判斷；（2）（3）（4）根據(jù)對(duì)零向量的規(guī)定判斷.
【解題思路】（1）向量可以用有向線段表示，但不能把兩者等同，故錯(cuò)誤；
（2）根據(jù)對(duì)零向量的規(guī)定零向量是有方向的，是任意的，故錯(cuò)誤；
（3）根據(jù)對(duì)零向量的規(guī)定，零向量的方向是任意的，故正確；
（4）根據(jù)對(duì)零向量的規(guī)定，零向量的大小為0，所以零向量的長度為0，故正確．
故選：B.
【變式2-2】（2022下·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
A．零向量沒有大小，沒有方向
B．零向量是唯一沒有方向的向量
C．零向量的長度為0
D．任意兩個(gè)單位向量方向相同
【解題思路】根據(jù)零向量和單位向量的概念求解.
【解題思路】零向量有大小，有方向，其長度為0，方向不確定，
任意兩個(gè)單位向量長度相同，方向無法判斷.
故選：C.
【變式2-3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量a,b是兩個(gè)非零向量，AO,BO分別是與a,b同方向的單位向量，則以下各式正確的是（ ）
A．AO=BOB．AO=BO或AO=OB
C．AO=OBD．AO與BO的長度相等
【解題思路】利用已知條件，結(jié)合方向相同的向量、單位向量的意義判斷作答.
【解題思路】依題意，a≠0,b≠0，顯然向量a,b的關(guān)系不確定，
而AO與a同方向，BO與b同方向，因此AO與BO關(guān)系不確定，A，B，C都錯(cuò)誤，
又AO,BO都是單位向量，所以AO與BO的長度相等，D正確.
故選：D.
【題型3 向量的幾何表示與向量的?！?br>【例3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，某人從點(diǎn)A出發(fā)，向西走了200m后到達(dá)B點(diǎn)，然后改變方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了2003m到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向，向東走了200m到達(dá)D點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)D點(diǎn)在B點(diǎn)的正北方．
(1)作出AB、BC、CD（圖中1個(gè)單位長度表示100m）；
(2)求DA的模．
【解題思路】（1）根據(jù)行走方向和單位長度即可確定各點(diǎn)在坐標(biāo)系中的位置，即可做出所有向量；
（2）由題意可知，四邊形ABCD是平行四邊形，則可求得DA的模.
【解題思路】（1）根據(jù)題意可知，B點(diǎn)在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(?2,0)，
又因?yàn)镈點(diǎn)在B點(diǎn)的正北方，所以CD⊥BD，
又CB=2003，所以DB=2002，即D、 C兩點(diǎn)在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(?2,22)，(?4,22)；
即可作出AB、BC、CD如下圖所示.
（2）如圖，作出向量DA，
由題意可知，CD//AB且CD=AB=200，
所以四邊形ABCD是平行四邊形，
則DA=BC=2003，
所以DA的模為2003m.
【變式3-1】（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）一艘軍艦從基地A出發(fā)向東航行了200海里到達(dá)基地B，然后改變航線向東偏北60°航行了400海里到達(dá)C島，最后又改變航線向西航行了200海里到達(dá)D島．
（1）試作出向量AB,BC,CD；
（2）求|AD|．
【解題思路】（1）根據(jù)題設(shè)以AB為正東方向，過A垂直于AB向上為正北方向，結(jié)合題設(shè)畫出向量即可.
（2）由題設(shè)知AB//CD，易知ABCD為平行四邊形，即可求|AD|.
【解題思路】（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，向量AB,BC,CD即為所求．
（2）根據(jù)題意，向量AB與CD方向相反，故向量AB//CD，又|AB|=|CD|，
∴在ABCD中，AB//CD,AB=CD，故ABCD為平行四邊形，
∴AD=BC，則|AD|=|BC|=400（海里）．
【變式3-2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個(gè)小方格邊長為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：
（1）OA，使|OA|＝42，點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°；
（2）AB，使|AB|＝4，點(diǎn)B在點(diǎn)A正東；
（3）BC，使|BC|＝6，點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°.
【解題思路】（1）由點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°處和|OA|＝42，可得出點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4，可作出向量OA；
（2）由點(diǎn)B在點(diǎn)A正東方向處，且|AB|＝4，得出在坐標(biāo)紙上點(diǎn)B距點(diǎn)A的橫向小方格數(shù)為4，縱向小方格數(shù)為0，可作出向量|AB|；
（3）由點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°處，且|BC|＝6，再由勾股定理可得：在坐標(biāo)紙上點(diǎn)C距點(diǎn)B的橫向小方格數(shù)為3，縱向小方格數(shù)為33≈5.2，作出向量|BC|．
【解題思路】（1）由于點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°處，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等．又|OA|＝42，小方格邊長為1，所以點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4，于是點(diǎn)A位置可以確定，畫出向量OA如下圖所示．
（2）由于點(diǎn)B在點(diǎn)A正東方向處，且|AB|＝4，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)B距點(diǎn)A的橫向小方格數(shù)為4，縱向小方格數(shù)為0，于是點(diǎn)B位置可以確定，畫出向量|AB|如下圖所示．
（3）由于點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°處，且|BC|＝6，依據(jù)勾股定理可得：在坐標(biāo)紙上點(diǎn)C距點(diǎn)B的橫向小方格數(shù)為3，縱向小方格數(shù)為33≈5.2，于是點(diǎn)C位置可以確定，畫出向量|BC|如下圖所示．
【變式3-3】（2023下·安徽淮北·高一?？茧A段練習(xí)）在如圖的方格紙中，畫出下列向量．

(1)OA=3，點(diǎn)A在點(diǎn)O的正西方向；
(2)OB=32，點(diǎn)B在點(diǎn)O的北偏西45°方向；
(3)求出AB的值．
【解題思路】（1）根據(jù)向量的大小和方向，作向量OA，
（2）根據(jù)向量的大小和方向，作向量OB，
（3）根據(jù)向量的模的定義求AB.
【解題思路】（1）因?yàn)镺A=3，點(diǎn)A在點(diǎn)O的正西方向，故向量OA的圖示如下：

（2）因?yàn)镺B=32，點(diǎn)B在點(diǎn)O的北偏西45°方向，故向量OB的圖示如下：

（3）
AB=OB2?OA2=3.
【知識(shí)點(diǎn)2 相等向量與共線向量】
1．向量的共線或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共線向量(共線向量又稱為平行向量).規(guī)定:與任一向量共線.
注：
①零向量的方向是任意的，注意與0的含義與書寫區(qū)別.
②平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.
③共線向量與相等向量的關(guān)系：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等的向量．
2．用共線（平行）向量或相等向量刻畫幾何關(guān)系
(1)利用向量的模相等可以證明線段相等，利用向量相等可以證明線段平行且相等.
(2)利用向量共線可以證明直線與直線平行，但需說明向量所在的直線無公共點(diǎn).
(3)利用向量可以判斷圖形的形狀(如平行四邊形、等腰三角形等)、證明多點(diǎn)共線等.
【題型4 向量相等或共線的判斷】
【例4】（2023下·江蘇淮安·高一校考階段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，則以圖中點(diǎn)A、B、C、D、E、F、O中的任意一點(diǎn)為始點(diǎn)，與始點(diǎn)不同的另一點(diǎn)為終點(diǎn)的所有向量中，除向量OA外，與向量OA共線的向量共有（ ）
A．7個(gè)B．8個(gè)C．9個(gè)D．10個(gè)
【解題思路】根據(jù)共線向量的定義與正六邊形的性質(zhì)直接得出.
【解題思路】圖中與OA共線的向量有：
AO,BC,CB,OD,DO,EF,FE,AD,DA，共9個(gè)，
故選：C.
【變式4-1】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）在△ABC中，AB＝AC，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，則（ ）
A．AB與AC共線B．DE與CB共線
C．CD與AE相等D．AD與BD相等
【解題思路】根據(jù)向量共線概念即可求解結(jié)果．
【解題思路】因?yàn)锳B與AC不平行，所以AB與AC不共線，A錯(cuò)
因?yàn)镈，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，則DE與BC平行，故DE與CB共線，B正確；
因?yàn)镃D與AE不平行，所以CD與AE不相等，C錯(cuò)；
因?yàn)锳D=DB=?BD，則D錯(cuò)．
故選：B.
【變式4-2】（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，
（1）寫出圖中的共線向量；
（2）分別寫出圖中與OA，OB，OC相等的向量.
【解題思路】（1）根據(jù)共線向量定義直接求解即可；
（2）根據(jù)向量相等的定義直接求解即可.
【解題思路】解：（1）OA，CB，DO，F(xiàn)E是共線向量；
OB，DC，EO，AF是共線向量；OC，AB，ED，F(xiàn)O是共線向量.
（2）OA=CB=DO；OB=DC=EO；OC=AB=ED=FO.
【變式4-3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，△ABC和△A′B′C′是在各邊的三等分點(diǎn)處相交的兩個(gè)全等的正三角形，設(shè)△ABC的邊長為a，寫出圖中給出的長度為a3的所有向量中，
（1）與向量GH相等的向量；
（2）與向量GH共線的向量；
（3）與向量EA平行的向量.
【解題思路】（1）利用相等向量定義可得解；
（2）利用共線向量定義可得解；
（3）利用平行向量定義可得解.
【解題思路】（1）與向量GH相等的向量，即與向量GH大小相等，方向相同的向量，有HC，LB′；
（2）與向量GH共線的向量，即與向量GH方向相同或相反的向量，有HC，LB′，GB，LE，EC′；
（3）與向量EA平行的向量，即與向量EA方向相同或相反的向量，有EF，F(xiàn)B，HA′，HK，KB′.
【題型5 用向量關(guān)系研究幾何圖形的性質(zhì)】
【例5】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，且AO=OC，BO=OD．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
【解題思路】由AO=OC，BO=OD可得AC、BD互相平分，利用平行四邊形的判定定理即可證明.
【解題思路】因?yàn)樗倪呅蜛BCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，且AO=OC，BO=OD．
所以四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD互相平分，
所以四邊形ABCD是平行四邊形．
即證.
【變式5-1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在四邊形ABCD中，已知AB=DC，求證：四邊形ABCD為平行四邊形．
【解題思路】根據(jù)平面向量相等的概念，即可證明AB=DC，且AB//DC，由此即可證明結(jié)果.
【解題思路】證明：在四邊形ABCD中， AB=DC，
所以AB=DC，且AB//DC
所以四邊形ABCD為平行四邊形．
【變式5-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是平面四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，求證：EF=HG．
【解題思路】連接AC，易得EF，HG分別為△ABC和△ADC的中位線，進(jìn)而可得EF//HG，且EF=HG，又向量EF與HG方向相同，從而得證.
【解題思路】證明：如圖，連接AC，

因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，所以EF為△ABC的中位線，
所以EF//AC，且EF=12AC，
同理，因?yàn)镚，H分別是CD，DA的中點(diǎn)，所以HG//AC，且HG=12AC，
所以EF//HG，且EF=HG，
因?yàn)橄蛄縀F與HG方向相同，所以EF=HG.
【變式5-3】（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，已知在四邊形ABCD中，M，N分別是BC，AD的中點(diǎn)，又AB=DC.求證：CN=//MA.
【解題思路】根據(jù)相等向量的定義、中點(diǎn)的定義、平行四邊形的判定定理和性質(zhì)定理，可以證明出CN=//MA.
【解題思路】證明：由AB=DC可知AB=DC且AB//DC，
所以四邊形ABCD為平行四邊形，
從而AD=BC.
又M，N分別是BC，AD的中點(diǎn)，于是AN=MC.
所以AN=MC且AN//MC.
所以四邊形AMCN是平行四邊形.
從而CN=//MA.

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

6.1 平面向量的概念

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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