專題6.10 平面向量及其應(yīng)用全章十二大壓軸題型歸納（拔尖篇） 【人教A版（2019）】 題型1 用向量關(guān)系研究幾何圖形的性質(zhì) 1．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，則四邊形ABCD是（????） A．梯形 B．平行四邊形 C．矩形 D．正方形 2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列有關(guān)四邊形ABCD的形狀判斷錯(cuò)誤的是（????） A．若AD=BC，則四邊形ABCD為平行四邊形 B．若AD=13BC，則四邊形ABCD為梯形 C．若AB=DC，且|AB|=|AD|，則四邊形ABCD為菱形 D．若AB=DC，且AC⊥BD，則四邊形ABCD為正方形 3．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，已知在四邊形ABCD中，M，N分別是BC，AD的中點(diǎn)，又AB=DC.求證：CN=//MA. 4．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）分別根據(jù)下列條件判斷四邊形ABCD的形狀: (1)AD=BC; (2)AD//BC,并且AB與CD不平行; (3)AB=DC,并且|AB|=|AD|. 題型2 向量共線定理的應(yīng)用 1．（2023下·天津和平·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線向量，若向量a=3e1+5e2與向量b=me1?3e2共線，則m的值等于（????） A．?53 B．?95 C．?35 D．?59 2．（2023下·廣東廣州·高一校考階段練習(xí)）設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，已知AB=2e1+ke2，CB=e1+3e2，CD=2e1?e2，若三點(diǎn)A，B，D共線，則k的值為（????） A．－8 B．8 C．6 D．－6 3．（2023下·河南南陽(yáng)·高一校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，CD=2DB,AE=EC． ?? (1)用AB，AD表示AC，BE； (2)若點(diǎn)M滿足AM=?12AB+34AC，證明：B，M，E三點(diǎn)共線． 4．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知向量OA，OB（A,B,O三點(diǎn)不共線），判斷下列各題中的點(diǎn)M,N,G是否在直線AB上． (1)OM=13OA+23OB； (2)ON=12OA?OB； (3)OG=3OA+2OB． 題型3 向量線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用 1．（2023上·安徽安慶·高三校考階段練習(xí)）已知O是三角形ABC所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+λABABsinB+ACACsinC λ≥0，則P點(diǎn)軌跡一定通過(guò)三角形ABC的（????） A．內(nèi)心 B．外心 C．垂心 D．重心 2．（2023上·湖北恩施·高二校聯(lián)考期中）已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作直線分別與AB,AC兩邊交于M,N兩點(diǎn)（點(diǎn)M,N與點(diǎn)B,C不重合），設(shè)AB=xAM，AC=yAN，則12x?1+12y?1的最小值為（ ） A．1 B．1+22 C．2 D．1+22 3．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）如圖，點(diǎn)D是△ABC中BC邊的中點(diǎn)，AB=a，AC=b. ?? (1)試用a，b表示AD； (2)若點(diǎn)G是△ABC的重心，能否用a，b表示AG？ (3)若點(diǎn)G是△ABC的重心，求GA+GB+GC. 4．（2024上·遼寧葫蘆島·高一統(tǒng)考期末）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2BC=2CD=2DA，M為線段BC中點(diǎn)，AM與BD交于點(diǎn)N，P為線段CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)． (1)用AB和AD表示AM； (2)求ANNM； (3)設(shè)AC=xDB+yAP，求xy的取值范圍． 題型4 向量的夾角（夾角的余弦值）問(wèn)題 1．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知非零向量a與b滿足|a|=2|b|，若|a+2b|=|a+b|，則cosa,b=（????） A．12 B．?34 C．32 D．?32 2．（2023下·廣東揭陽(yáng)·高一校聯(lián)考期中）已知向量a,b，若|a|=|b|=1,a與b的夾角為60°；若a+b與ta?b的夾角為鈍角，則t取值范圍為（????） A．?∞,1 B．1,+∞ C．?1,1∪1,+∞ D．?∞,?1∪?1,1 3．（2023下·吉林長(zhǎng)春·高一?？计谥校┮阎蛄縜與b的夾角θ=2π3，且a=2，b=1． (1)求a?b，a+b； (2)求向量a與a+b的夾角的余弦值． 4．（2023下·天津·高一靜海一中校聯(lián)考期末）已知|a|=4,|b|=3,(2a?3b)?(2a+b)=61.求： (1)a與b的夾角； (2)a+b； (3)若λa+b與a?b夾角為鈍角，求λ的取值范圍. 題型5 向量共線、垂直的坐標(biāo)表示 1．（2023上·天津和平·高三校考階段練習(xí)）已知向量a=?2,1,b=1,3,c=3,2，若a+λb∥c，則實(shí)數(shù)λ的值為（????） A．?1 B．1 C．?2 D．2 2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量a=1,2，b=2,?3，若向量c滿足c+a∥b，c⊥(a+b)，則c=（????） A．79，73 B．?79,?73 C．73,79 D．?73,79 3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知平面向量a=1,3，b=2x?1,?xx∈Z. （1）若2a+b與a?2b垂直.求x； （2）若向量c=7,?1，若a+b與b?c共線，求a?b. 4．（2023下·江蘇鹽城·高一?？计谥校┮阎蛄縜=3,1，b=?1,?2，c=4,1． (1)若a+kc⊥a+b，求實(shí)數(shù)k； (2)設(shè)d滿足d?c∥a?b，且d?c=1，求d的坐標(biāo)． 題型6 向量坐標(biāo)運(yùn)算的幾何應(yīng)用 1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，在直角梯形ABCD中，AB//CD，∠DAB=90°，AD=AB=4，CD=1，動(dòng)點(diǎn)P在邊BC上，且滿足AP=mAB+nAD（m，n均為正數(shù)），則1m+1n的最小值為（????） A．1 B．34 C．?34 D．7+434 2．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若AP=23AB+λAC，則AP的最大值為（????） A．273 B．83 C．2193 D．2133 3．（2023上·安徽馬鞍山·高一統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，OA=2AB=2，∠OAB=2π3，BC=(?1,3). （1）求點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)； （2）求四邊形OABC的面積. 4．（2023下·廣西南寧·高一?？茧A段練習(xí)）已知平行四邊形ABCD中，A(1,0),B(0,1),C(2,5)． (1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)； (2)設(shè)向量AB與AC夾角為θ，求cosθ的值； (3)求平行四邊形ABCD的面積． 題型7 用向量解決夾角、線段的長(zhǎng)度問(wèn)題 1．（2023下·福建三明·高一統(tǒng)考期末）△ABC中，若AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)E滿足CE=215CA+15CB，直線CE與直線AB相交于點(diǎn)D，則cos∠ADE=（????） A．1010 B．31010 C．?1010 D．?31010 2．（2022·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，且AB=6，AD=3.若線段CD上存在唯一的點(diǎn)E滿足AE?BE=4，則線段CD的長(zhǎng)的取值范圍是（???） A．[1,2) B．[1,5) C．[1,+∞) D．[5,+∞) 3．（2023下·貴州貴陽(yáng)·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，矩形ABCD的頂點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，B，D分別在x，y軸正半軸上，AB=4，AD=2，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn) ?? (1)若DE⊥AC，求AE的長(zhǎng)； (2)若E為AB的中點(diǎn)，AC與DE的交點(diǎn)為M，求cos∠CME． 4．（2023下·陜西西安·高一?？茧A段練習(xí)）在直角梯形ABCD中，已知AB∥DC，AD⊥AB，CD=1，AD=2，AB=3，動(dòng)點(diǎn)E、F分別在線段BC和DC上，AE和BD交于點(diǎn)M，且BE=λBC，DF=1?λDC，λ∈R． (1)當(dāng)AE?BC=0時(shí)，求λ的值； (2)當(dāng)λ=23時(shí)，求DMMB的值； (3)求AF+12AE的取值范圍． 題型8 向量與幾何最值問(wèn)題 1．（2023上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，且AD=4，點(diǎn)E滿足BE=sin2θ?BA+12cos2θ?BC（θ∈R），則EB+EC?EA的最小值為（????） A．?10 B．?8 C．?6 D．?4 2．（2023上·北京海淀·高三統(tǒng)考期中）在等腰直角三角形ABC中，AB=2,M為斜邊BC的中點(diǎn)，以M為圓心，MA為半徑作AC，點(diǎn)P在線段BC上，點(diǎn)Q在AC上，則AP+MQ的取值范圍是（????） A．0,10 B．0,2+2 C．2?2,10 D．2?2,2+2 3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在ΔABC中，滿足：AB⊥AC，M是BC的中點(diǎn). （1）若AB=AC，求向量AB+2AC與向量2AB+AC的夾角的余弦值； （2）若O是線段AM上任意一點(diǎn)，且AB=AC=2，求OA?OB+OC?OA的最小值： （3）若點(diǎn)P是∠BAC內(nèi)一點(diǎn)，且AP=2，AP?AC=2，AP?AB=1，求AB+AC+AP的最小值. 4．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在銳角△ABC中，cosB=22，點(diǎn)O為△ABC的外心. (1)若BO=xBA+yBC，求x+y的最大值； (2)若b=2， （i）求證：OB+sin2A?OA?cos2A?OC=0； （ii）求3OB+2OA+OC的取值范圍. 題型9 正、余弦定理判定三角形形狀 1．（2023下·山東臨沂·高一?？茧A段練習(xí)）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列說(shuō)法中不正確的是（ ） A．若acosA=bcosB，則△ABC一定是等腰三角形 B．若cosA?B?cosB?C=1，則△ABC一定是等邊三角形 C．若acosC+ccosA=c，則△ABC一定是等腰三角形 D．若cos2B+C+cosC>0，則△ABC一定是鈍角三角形 2．（2023下·廣東東莞·高一校考階段練習(xí)）在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且滿足a2cos2A2?1=b1?tan2B21+tan2B2，則△ABC的形狀是（????）. A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 3．（2023下·陜西西安·高一陜西師大附中?？计谀┰凇鰽BC中a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且2a2=(2b?c)b+(2c?b)c． (1)求角A的大??； (2)若b=2ccosA，試判斷△ABC的形狀． 4．（2023下·廣東東莞·高一?？茧A段練習(xí)）已知a，b，c為△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，向量m→=sinB,a，n→=sinC,b，且m∥n． (1)在①cos2B?3sinB+2=0；②2bcosC=2a?c；③ba=cosB+13sinA，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，判定△ABC的形狀． (2)求sinAsinCsinB的取值范圍． 題型10 三角形面積的最值或范圍問(wèn)題 1．（2023下·河北保定·高一?？计谥校┰阡J角△ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知B=60°，c=1，則△ABC面積的取值范圍為（????） A．(38,34) B．(18,14) C．(14,12) D．(38,32) 2．（2023下·廣東清遠(yuǎn)·高一?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，b＝c，且滿足sinBsinA＝1?cosBcosA，若點(diǎn)O是△ABC外一點(diǎn)，∠AOB＝θ(0

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