專題6.9 平面向量及其應(yīng)用全章十一大基礎(chǔ)題型歸納（基礎(chǔ)篇） 【人教A版（2019）】 題型1 向量的幾何表示與向量的模 1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如果一架飛機向東飛行200 km，再向南飛行300 km，記飛機飛行的路程為s，位移為a，那么（　　 ） A．s>|a| B．s|b|；②a//b；③|a|>0；④|b|=1；⑤a|a|=b，其中正確的有（????） A．③④⑤ B．②③⑤ C．①③④ D．③④ 3．（2023·高一課時練習(xí)）如圖，某人從點A出發(fā)，向西走了200m后到達(dá)B點，然后改變方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了2003m到達(dá)C點，最后又改變方向，向東走了200m到達(dá)D點，發(fā)現(xiàn)D點在B點的正北方． (1)作出AB、BC、CD（圖中1個單位長度表示100m）； (2)求DA的模． 4．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）在如圖所示的坐標(biāo)紙（規(guī)定小方格的邊長為1）中，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量： （1）|OA|=4,點A在點O正南方向； （2）|OB|=22,點B在點O北偏西45°方向； （3）|OC|=2,點C在點O南偏西30°方向. 題型2 向量相等或共線的判斷 1．（2023下·黑龍江哈爾濱·高一?？茧A段練習(xí)）如圖所示，點O是正六邊形ABCDEF的中心，則以圖中點A、B、C、D、E、F、O中的任意一點為始點，與始點不同的另一點為終點的所有向量中，除向量OA外，與向量OA共線的向量共有（????） A．6個 B．7個 C．8個 D．9個 2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，等腰梯形ABCD中，對角線AC與BD交于點P，點E、F分別在兩腰AD、BC上，EF過點P，且EF//AB，則下列等式中成立的是（　?。??? A．AD=BC B．AC=BD C．PE=PF D．EP=PF 3．（2023·全國·高一課堂例題）已知O為正六邊形ABCDEF的中心，在圖所標(biāo)出的向量中： ???? (1)試找出與FE共線的向量； (2)確定與FE相等的向量； (3)OA與BC相等嗎？ 4．（2023·高一課時練習(xí)）如圖所示，四邊形ABCD為正方形，BDCE為平行四邊形， ?? (1)與AB模長相等的向量有多少個？ (2)寫出與AB相等的向量有哪些？ (3)與AB共線的向量有哪些？ (4)請列出與EC相等的向量． 題型3 平面向量的線性運算 1．（2023·云南·高二學(xué)業(yè)考試）化簡AC? BD+ CD? AB得（????） A．AB B．DA C．BC D．0 2．（2023下·天津?qū)氎妗じ咭恍？茧A段練習(xí)）3a+b?2a?b?a=（ ） A．5a B．5b C．?5a D．?5b 3．（2023下·新疆·高一?？计谥校┗喯铝懈飨蛄康谋磉_(dá)式： (1)AB+BC?AD； (2)(AB?CD)?(AC?BD)； (3)(AC+BO+OA)?(DC?DO?OB)； 4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）化簡： (1)53a?2b+42b?3a； (2)13a?2b?143a?2b?12a?b； (3)x+ya?x?ya. 題型4 由平面向量的線性運算求參數(shù) 1．（2023上·遼寧朝陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在梯形ABCD中，AB=4DC，AC+AB=xAD+yCD，則x?y=（????） A．5 B．6 C．－5 D．－6 2．（2023上·江蘇南通·高三海門中學(xué)校考階段練習(xí)）在梯形ABCD中，E是CD中點，BC=2AD，設(shè)BE=λBA+μBC，則λ+μ=（????） A．53 B．52 C．2 D．54 3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在△ABC中，點P是AB上一點，且CP=23CA+13CB，Q是BC中點，AQ與CP交點為M，又CM=tCP，則t=（????） ?? A．12 B．23 C．34 D．?12 4．（2023上·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）在平行四邊形ABCD中，點E在線段AC上，且AE=2EC，點F為線段AD的中點，記EF=λAB+μADλ,μ∈R，則λ+μ=（??????） A．?56 B．?16 C．12 D．56 題型5 向量數(shù)量積的計算 1．（2023上·山東濰坊·高三?？计谥校┮阎獆a|=8,|b|=6,a,b=150°，則a?b=（????） A．?243 B．-24 C．243 D．16 2．（2023·云南紅河·統(tǒng)考一模）在△ABC中，BC=2,∠BAC=π3，點P滿足2PA+PB+PC=0，則PB?PC的最大值為（????） A．?34 B．?14 C．?13 D．?23 3．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知向量a與b的夾角為120°，且|a|=4,|b|=2，求： (1)a→·b→； (2)(a+b)?(a?2b)． 4．（2023下·高一課時練習(xí)）已知a=10，b=12，a與b的夾角為120°，求： (1)a?b； (2)3a?15b； (3)3b?2a?4a+b． 題型6 平面向量基本定理及其應(yīng)用 1．（2023上·江蘇淮安·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在△ABC中，點D為BC邊中點，點E在線段AC上，且2AE=EC，若AD=a，BE=b，則AB為（????） A．12a?34b B．12a+23b C．12a+34b D．12a?23b 2．（2023下·河北衡水·高一?？计谥校┤鐖D所示，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，AE=EO，若DE=λAB+μADλ,μ∈R，則λ+μ等于（????） ?? A．1 B．?12 C．?23 D．18 3．（2023下·浙江金華·高一校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AQ=QC，AR=13AB，BQ與CR相交于點I，AI的延長線與邊BC交于點P． (1)用AB和AC分別表示BQ和CR； (2)如果AI=AB+λBQ=AC+μCR，求實數(shù)λ和μ的值． 4．（2023下·河南南陽·高一校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，CD=2DB,AE=EC． ?? (1)用AB，AD表示AC，BE； (2)若點M滿足AM=?12AB+34AC，證明：B，M，E三點共線． 題型7 平面向量線性運算、數(shù)量積的坐標(biāo)表示 1．（2023下·廣東佛山·高一?？茧A段練習(xí)）已知向量a=1,?1，b=?1,2，則2a+b=（????） A．1,2 B．1,0 C．?1,?2 D．?1,2 2．（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）已知向量a=1,3,b=?2,?1，則a+b?2a?b=（????） A．10 B．18 C．?7,8 D．?4,14 3．（2023下·黑龍江牡丹江·高一校考期末）已知平面向量a=1,?2,b=?1,?1. (1)求2a?b的值； (2)求a→?b→的值. 4．（2023下·新疆喀什·高一校考期末）已知a=2,3，b=?2,4，c=?1,?2，分別求下列各式的值： (1)2a+b+3a?b； (2)a?b+c； (3)a+b2． 題型8 用向量解決平面幾何中的垂直問題 1．（2023上·廣東佛山·高二?？计谥校┮阎鰽BC的三個頂點分別是A?1,0，B1,0，C12,32，則△ABC的形狀是（????） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 2．（2023·高一課時練習(xí)）在四邊形ABCD中，若AB+CD=0,AC?BD=0，則四邊形為（????） A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在△ABC中，AB=AC=1，對任意x∈R，有AB+xAC≥AB?12AC. （1）求角A； （2）若AD=13AB，AE=23AC，且BE、CD相交于點P.求證：AP⊥BE. 4．（2023下·山東濟南·高一?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A0,b，B?a,0，Ca,0(且ab≠0)，D為AB的中點，E為△ACD的重心，F(xiàn)為△ABC的外心． (1)求重心E的坐標(biāo)； (2)用向量法證明：EF⊥CD． 題型9 用向量解決物理中的相關(guān)問題 1．（2023下·河南開封·高二?？计谥校┢矫嫔先齻€力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3作用于一點且處于平衡狀態(tài)，F(xiàn)1=1N，F(xiàn)2=2N，F(xiàn)1與F2的夾角為45°，則F3大小為（????） A．3N B．4N C．5N D．6N 2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在水流速度10km/h的自西向東的河中，如果要使船以103km/h的速度從河的南岸垂直到達(dá)北岸，則船出發(fā)時行駛速度的方向和大小為（????） A．北偏西30°，20km/h B．北偏西60°，102km/h C．北偏東30°，102km/h D．北偏東60°，20km/h 3．（2023下·陜西咸陽·高一?？茧A段練習(xí)）已知兩個力F1=5i+3j,F2=?2i+j,F1,F2作用于同一質(zhì)點，使該質(zhì)點從點A8,0移動到點B20,15（其中i,j分別是x軸正方向?y軸正方向上的單位向量，力的單位：N，位移的單位：m）．試求： (1)F1,F2分別對質(zhì)點所做的功； (2)F1,F2的合力F對質(zhì)點所做的功． 4．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，一艘船從長江南岸點A出發(fā)，以23km/h的速度垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km/h． ?? (1)試用向量表示江水速度、船速以及該船實際航行的速度； (2)求船實際航行速度的大小與方向（方向用與江水速度間的夾角表示）． 題型10 余弦定理解三角形 1．（2023下·河南駐馬店·高一校聯(lián)考期中）在△ABC中，若a2+b2?c2=ab，則角C的值是（????） A．30° B．45° C．60° D．120° 2．（2023下·寧夏石嘴山·高一?？计谥校┰凇鰽BC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a=3，且cosA=13，bc=94，求b+c的值（????） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2023上·山西晉城·高二?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，根據(jù)下列條件解三角形： (1)已知b=3，c=1，A=60°，求a； (2)已知a=31，b=5，c=6，求A． 4．（2023上·上海靜安·高三?？计谥校┰凇鰽BC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且2cos2A+4cos(B+C)+3=0. (1)求角A的大小; (2)若 a=3,b+c=3，求b和c的值. 題型11 正弦定理解三角形 1．（2023下·河南開封·高一校聯(lián)考期末）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知a=22,b=4,A=π6，則此三角形（????） A．無解 B．有一解 C．有兩解 D．解的個數(shù)不確定 2．（2023下·河南省直轄縣級單位·高一?？茧A段練習(xí)）△ABC中，A=60°，BC=43，AC=42，則角C的大小為（????） A．75° B．45° C．135° D．45°或135° 3．（2023下·江西宜春·高二?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且2c?3acosB=3bcosA. (1)求角B的大??； (2)已知c=b+1，且角A有兩解，求b的范圍. 4．（2023上·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，滿足2a+bsinA+2b+asinB=2csinC． (1)求角C； (2)若sinAsinB=2ab，求c的值．

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