知識點01 圓錐的認識
圓錐的認識：
如圖，圓錐是由一個 側面 和一個 底面 構成。頂點C到底面圓上任意一點的連線是圓錐的 母線 ，如的CA與CB。AB是圓錐 底面直徑 ，頂點C到底面圓心O的距離CO是圓錐的 高 。
圓錐的母線長、高與底面半徑的關系：
圓錐的母線長與高與底面半徑構成 勾股定理 。
即：如圖： 。
題型考點：①利用三者之間的關系計算。
【即學即練1】
1．一個圓錐的底面半徑為10cm，母線長為20cm，求圓錐的高是 。
【解答】解：（1）如圖所示，在Rt△SOA中，
SO＝＝10
知識點02 圓錐的側面展開圖與側面積
圓錐的側面展開圖的認識：
圓錐的側面展開圖是一個 扇形 ，這個扇形的半徑等于圓
錐的 母線長 。扇形的弧長等于圓錐底面圓的 周長 。
圓錐的側面積計算：
方法1：若已知圓錐的母線長為a，底面圓的半徑為r，則圓錐的側面展開圖的扇形的半徑為 a ，弧長等于底面圓周長等于： ，根據已知弧長與半徑可得扇形的面積為： 。
方法2：圓錐的母線長為a，側面展開圖的圓心角為n°。則側面展開圖的扇形面積為：
。
題型考點：①圓錐側面積的計算。②側面積公式的應用。
【即學即練1】
2．圓錐的母線長為4，底面半徑為3，圓錐的側面積為 （結果保留π）．
【解答】解：∵圓錐的母線長為4，底面半徑為3，
∴該圓錐的側面積為：π×3×4＝12π．
故答案為：12π．
【即學即練2】
3．已知圓錐的母線長為8cm，側面展開圖的圓心角為45°，則該圓錐的側面積為 cm2．
【解答】解：根據題意，該圓錐的側面積＝＝8π（cm2）．
故答案為8π．
【即學即練3】
4．如圖，圓錐的底面半徑OB＝6，高OC＝8，則圓錐的側面積等于 ?
【解答】解：∵它的底面半徑OB＝6，高OC＝8．
∴BC＝＝10，
∴這個圓錐漏斗的側面積是：πrl＝π×6×10＝60π．
故答案為：60π．
【即學即練4】
5．圓錐的側面積為8π，母線長為4，則它的底面半徑為（ ）
A．2B．1C．3D．4
【解答】解：設圓錐的底面圓的半徑為r，
根據題意得×2πr×4＝8π，解得r＝2．
故選：A．
【即學即練4】
6．若圓錐的側面積是15π，母線長是5，則該圓錐底面圓的半徑是 ．
【解答】解：設該圓錐底面圓的半徑是為r，
根據題意得×2π×r×5＝15π，解得r＝3．
即該圓錐底面圓的半徑是3．
故答案為3．
知識點03 圓錐的全面積（表面積）計算
圓錐的表面積計算：
圓錐的側面是一個扇形，底面是一個圓。所以：
圓錐的表面積＝ 圓錐的側面積 ＋ 圓錐的底面積 。
題型考點：①圓錐的表面積的計算。
【即學即練1】
7．已知圓錐的底面直徑為20cm，母線長為90cm，則圓錐的表面積是 cm2．（結果保留π）
【解答】解：圓錐的表面積＝10π×90+100π＝1000πcm2．
故答案為：1000π．
【即學即練2】
8．扇形的圓心角為150°，半徑為4cm，用它做一個圓錐，那么這個圓錐的表面積為 cm2．
【解答】解：∵扇形的圓心角為150°，半徑為4cm，
∴扇形的弧長為＝π，
∴圓錐的底面周長為π，
∴圓錐的底面半徑為π÷2π＝cm，
∴圓錐的表面積為π××4+π×（）2＝cm2．
故答案為．
【即學即練3】
9．已知直角三角形ABC的一條直角邊AB＝12cm，另一條直角邊BC＝5cm，則以AB為軸旋轉一周，所得到的圓錐的表面積是（ ）
A．90πcm2B．209πcm2C．155πcm2D．65πcm2
【解答】解：圓錐的表面積＝×10π×13+π×52＝90πcm2．
故選：A．
題型01 圓周側面積的計算
【典例1】
已知圓錐的底面半徑是4，母線長是5，則圓錐的側面積是（ ）
A．10πB．15πC．20πD．25π
【解答】解：圓錐的側面積＝×2π×4×5＝20π，
故選：C．
【典例2】
圓錐的高為，母線長為3，沿一條母線將其側面展開，展開圖（扇形）的圓心角是 度，該圓錐的側面積是 （結果用含π的式子表示）．
【解答】解：∵圓錐的高為，母線長為3，
∴圓錐底面圓的半徑為：，
∴圓錐底面圓的周長為：2π．
設展開圖（扇形）的圓心角是n°，
依題意得：，
解得：n＝120°，
圓錐的側面積是：．．
故答案為：120，3π．
【典例3】
已知圓錐的底面半徑為5cm，高線長為12cm，則圓錐的側面積為（ ）cm2．
A．130πB．120πC．65πD．60π
【解答】解：∵圓錐的底面半徑為5cm，高線長為12cm，
∴圓錐的底面周長＝2π×5＝10π（cm），母線長＝＝13（cm），
∴圓錐的側面積＝×10π×13＝65π（cm2）．
故選：C．
【典例4】
已知一個三角形的三邊長分別為3、4、5，將這個三角形繞著最短的邊所在直線旋轉一周，得到一個幾何體，那么這個幾何體的側面積為（ ）
A．12πB．15πC．20πD．24π
【解答】解：∵32+42＝52，
∴這個三角形為直角三角形，兩直角邊為3，4，斜邊為5，
∴以直角邊為3所在直線旋轉一周得到一個圓錐，底面半徑是4，母線是5，
∴×2π×4×5＝20π．
故選：C．
題型02 圓錐的表面積計算
【典例1】
已知圓錐的母線是3cm，底面半徑是1cm，則圓錐的表面積是 cm2．
【解答】解：底面半徑為1cm，則底面周長＝2πcm，圓錐的側面面積＝×2π×3＝3πcm2，底面面積＝πcm2，
∴圓錐的表面積＝3π+π＝4πcm2．
故答案為：4π．
【典例2】
如圖，圓錐的底面直徑AB＝6cm，OC＝4cm，則該圓錐的表面積是 24π cm2（結果保留π）．
【解答】解：∵AB＝6cm，OC＝4cm，
∴OA＝＝3（cm），
∴AC＝＝5（cm），
∴圓錐的表面積＝S底+S側＝πr2+πrl＝9π+15π＝24π（cm2），
故答案為：24π．
【典例3】
如圖，在△ABC中，AC＝3，AB＝4，BC邊上的高AD＝2，將△ABC繞著BC所在的直線旋轉一周得到的幾何體的表面積為 14π ．
【解答】解：所得到的幾何體的表面積為π×2×3+π×2×4＝14π．
故答案為：14π．
【典例4】
如圖所示，矩形紙片ABCD中，AD＝6cm，把它分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD后，分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓，恰好能作為一個圓錐的底面和側面，則圓錐的表面積為（ ）
A．4π cm2B．5π cm2C．6π cm2D．8π cm2
【解答】解：設AB＝xcm，則DE＝（6﹣x）cm，
根據題意，得＝π（6﹣x），
解得x＝4，
所以圓錐的表面積＝S側+S底＝×42π+π＝5π（cm2）．
故選：B．
題型03 底面圓的半徑計算
【典例1】
如果圓錐側面展開圖的面積是15π，母線長是5，則這個圓錐的底面半徑是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：設底面半徑為R，則底面周長＝2πR，圓錐的側面展開圖的面積＝×2πR×5＝15π，
∴R＝3．
故選：A．
【典例2】
將半徑為4，圓心角為90°的扇形圍成一個圓錐的側面，則此圓錐底面圓的半徑是（ ）
A．1B．C．2D．
【解答】解：設此圓錐底面圓的半徑是r，
根據題意，可得 ，
解得 r＝1，
即此圓錐底面圓的半徑是1．
故選：A．
【典例3】
如圖，用圓心角為120°，半徑為6的扇形圍成一個圓錐的側面，則這個圓錐的底面半徑是（ ）
A．4B．2C．4πD．2π
【解答】解：扇形的弧長＝＝4π，
∴圓錐的底面半徑為4π÷2π＝2．
故選：B．
【典例4】
如圖，從一塊半徑是2的圓形鐵片上剪出一個圓心角為90°的扇形，將剪下來的扇形圍成一個圓錐，那么這個圓錐的底面圓半徑是（ ）
A．B．C．D．1
【解答】解：連接BC，AO，
由題意，得：∠CAB＝90°，AC＝BC，
∵A，B，C在⊙O上，
∴BC為⊙O的直徑，AO＝BO＝2，BC⊥AO，
在Rt△ABO中，，
即扇形的半徑為：
扇形的弧長：
設圓錐底面圓半徑為r，
則有，
∴，
故選：C．
題型04 圓錐的高線的計算
【典例1】
已知圓錐的母線長13cm，側面積65πcm2，則這個圓錐的高是 cm．
【解答】解：設圓錐的底面圓的半徑為rcm，
根據題意得?2π?r?13＝65π，
解得r＝5，
所以圓錐的高＝＝12（cm）．
故答案為：12．
【典例2】
圓錐的側面展開圖是一個圓心角120°，半徑6cm的扇形，則該圓錐的高是（ ）
A．1cmB．2cmC．cmD．cm
【解答】解：∵一圓錐的側面展開圖是圓心角為120°、半徑為6cm的扇形，
∴扇形弧長＝＝4π（cm），
∴2πr＝4π，
∴r＝2（cm），
∴圓錐的高＝＝4（cm），
故選：C．
【典例3】
如圖，已知圓錐側面展開圖的扇形面積為65π cm2，扇形的弧長為10π cm，則圓錐的高是（ ）
A．5cmB．10cmC．12cmD．13cm
【解答】解：設母線長為R，由題意得：65π＝×10π×R，解得R＝13cm．
設圓錐的底面半徑為r，則10π＝2πr，
解得：r＝5，
故圓錐的高為：＝12
故選：C．
題型05 圓錐的母線長的計算
【典例1】
已知一個圓錐的底面半徑是5cm，側面積是85πcm2，則圓錐的母線長是（ ）
A．6.5cmB．13cmC．17cmD．26cm
【解答】解：設圓錐的母線長為Rcm，
則：85π＝π×5×R，
解得R＝17，
故選：C．
【典例2】
圓錐的底面圓半徑是1，側面展開圖的圓心角是90°，那么圓錐的母線長是 ．
【解答】解：設圓錐的母線長為R，由題意得：
解得：R＝4，
故答案為：4．
【典例3】
如圖，以正六邊形ABCDEF的頂點A為圓心，AB為半徑作⊙A，與正六邊形ABCDEF重合的扇形部分恰好是一個圓錐側面展開圖，則該圓錐的底面半徑與母線長之比為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：設正六邊形ABCDEF的邊長為a，圓錐的底面半徑為r，
∵六邊形ABCDEF為正六邊形，
∴∠BAF＝120°，
根據題意得2πr＝，
所以＝，
即該圓錐的底面半徑與母線長之比為．
故選：C．

1．圓錐的底面半徑為3，母線長為5．則這個圓錐的側面積為（ ）
A．25πB．20πC．15πD．12π
【解答】解：圓錐的側面積＝πrl＝π×3×5＝15π，
故選：C．
2．已知圓錐的底面半徑為5cm，高為12cm，則這個圓錐的側面積為（ ）
A．60πcm2B．65πcm2C．120πcm2D．130πcm2
【解答】解：由圓錐底面半徑r＝5cm，高h＝12cm，
根據勾股定理得到母線長l＝＝＝13（cm），
根據圓錐的側面積公式：πrl＝π×5×13＝65π（cm2），
故選：B．
3．某學校組織開展手工制作實踐活動，一學生制作的圓錐母線長為30cm，底面圓的半徑為10cm，這個圓錐的側面展開圖的圓心角度數是（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
【解答】解：設這種圓錐的側面展開圖的圓心角度數是n°，
根據題意得，，
解得n＝120，
即這種圓錐的側面展開圖的圓心角度數是120°，
故選：D．
4．如圖，沿一條母線將圓錐側面剪開并展平，得到一個扇形，若圓錐的底面圓的半徑r＝1 cm，扇形的圓心角θ＝120°，則該圓錐的母線長l為（ ）
A．1cmB．12cmC．3cmD．6cm
【解答】解：圓錐的底面周長＝2π×1＝2π cm，
設圓錐的母線長為Rcm，則：＝2π，
解得R＝3．
故選：C．
5．現(xiàn)有一張圓心角為90°，半徑為8cm的扇形紙片，用它恰好圍成一個圓錐的側面（接縫忽略不計），則該圓錐底面圓的半徑為（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
【解答】解：設該圓錐底面圓的半徑為r，
根據題意得2πr＝，
解得r＝2，
即該圓錐底面圓的半徑為2cm．
故選：B．
6．如圖，Rt△ABC的斜邊AB＝13cm，一條直角邊AC＝5cm，以BC邊所在直線為軸將這個三角形旋轉一周，得到一個圓錐，則這個圓錐的全面積為（ ）
A．65πcm2B．90πcm2C．156πcm2D．300πcm2
【解答】解：圓錐的表面積＝π×5×13+π×52＝90π（cm2）．
故選：B．
7．如圖所示，在矩形紙片上剪下一個扇形和一個圓形，使之恰好能圍成一個圓錐模型．若扇形的半徑為R，圓的半徑為r，則R與r滿足的數量關系是（ ）
A．R＝rB．R＝2rC．R＝3rD．R＝4r
【解答】解：扇形的弧長是：＝，
圓的半徑為r，則底面圓的周長是2πr，
圓錐的底面周長等于側面展開圖的扇形弧長則得到：＝2πr，
即：R＝4r，
R與r之間的關系是R＝4r．
故選：D．
8．如圖，矩形紙片ABCD中，AD＝12cm，把它分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD后，分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓，恰好能作為同一個圓錐的側面和底面，則AB的長為（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．9cm
【解答】解：設圓錐的底面的半徑為rcm，則DE＝2rcm，AE＝AB＝（12﹣2r）cm，
根據題意得＝2πr，
解得r＝2，
所以AB＝12﹣2r＝12﹣2×2＝8（cm）．
故選：C．
9．某盞路燈照射的空間可以看成如圖所示的圓錐，它的母線AB＝5米，半徑OB＝4米，則圓錐的側面積是 平方米（結果保留π）．
【解答】解：∵OB＝4米，AB＝5米，
∴圓錐的底面周長＝2×π×4＝8π米，
∴S扇形＝lr＝×8π×5＝20π米2．
故答案為：20π．
10．有一直徑為2的圓形鐵皮，要從中剪出一個最大圓心角為60°的扇形ABC，用此剪下的扇形鐵皮圍成一個圓錐，該圓錐的底面圓的半徑r＝ ．
【解答】解：連接OA，作OD⊥AB于點D．
則∠DAO＝×60°＝30°，OD＝，
則AD＝OD＝，
∴AB＝．
則扇形的弧長是：＝π，
根據題意得：2πr＝π，
解得：r＝．
故答案為：．
11．已知一個圓錐的側面積與全面積的比為3：5，則其側面展開圖的圓心角為 °．
【解答】解：設圓錐的底面圓的半徑為r，母線長為l，側面展開圖的圓心角為n°，
圓錐的側面積＝×2πr×l＝πrl，
圓錐的全面積＝πrl+πr2，
∵圓錐的側面積與全面積的比為3：5，
∴πrl：（πrl+πr2）＝3：5，
∴l(xiāng)＝r，
∵2πr＝＝，
解得n＝240，
即圓錐側面展開圖的圓心角為240°．
故答案為：240．
12．如圖，已知矩形紙片ABCD，AD＝2，，以A為圓心，AD長為半徑畫弧交BC于點E，將扇形AED剪下圍成一個圓錐，則該圓錐的底面半徑為 ．
【解答】解：cs∠BAE＝，
∴∠BAE＝30°，
∴∠DAE＝60°，
∴圓錐的側面展開圖的弧長為：＝π，
∴圓錐的底面半徑為π÷2π＝．
13．在半徑為的圓形紙片中，剪出一個圓心角為60°的扇形（圖中的陰影部分）．
（1）求這個扇形的半徑；
（2）若用剪得的扇形紙片圍成一個圓錐的側面，求所圍成圓錐的底面圓半徑．
【解答】解：（1）如圖，連接BC，OB，OC，過點O作OD⊥BC，垂足為D，
∵∠BAC＝60°，，AB＝AC，
∴∠BOC＝120°，∠OBC＝∠OCB＝30°，△ABC是等邊三角形，
∴，AB＝BC＝AC，
∴這個扇形的半徑為3．
（2）設圓錐底面圓的半徑為r，
根據題意，得，
解得．
故圓錐底面圓的半徑為．
14．如圖1中的某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐（如圖2），制作這種外包裝需要用如圖3所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC將扇形EAF圍成圓錐時，AE、AF恰好重合，已知這種加工材料的頂角∠BAC＝90°．
（1）求圖2中圓錐底面圓直徑ED與母線AD長的比值；
（2）若圓錐底面圓的直徑ED為5cm，求加工材料剩余部分（圖3中陰影部分）的面積．（結果保留π）
【解答】解：（1）根據題意得π?DE＝，
∴DE＝AD，
∴ED與母線AD長的比值為；
（2）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，
而AD＝2DE＝10cm，
∴BC＝2AD＝20cm，
∴S陰影部分＝S△ABC﹣S扇形EAF
＝×10×20﹣
＝（100﹣25π）cm2．
答：加工材料剩余部分的面積為（100﹣25π）cm2．
15．如圖，AB是⊙O的直徑，弦DE垂直平分半徑OA，C為垂足，弦DF與半徑OB相交于點P，連接EO、FO，若DE＝4，∠DPA＝45°
（1）求⊙O的半徑．
（2）若圖中扇形OEF圍成一個圓錐側面，試求這個圓錐的底面圓的半徑．
【解答】解：（1）∵弦DE垂直平分半徑OA，
∴CE＝DC＝DE＝2，OC＝OE，
∴∠OEC＝30°，
∴OC＝＝2，
∴OE＝2OC＝4，
即⊙O的半徑為4；
（2）∵∠DPA＝45°，
∴∠D＝45°，
∴∠EOF＝2∠D＝90°，
設這個圓錐的底面圓的半徑為r，
∴2πr＝，解得r＝1，
即這個圓錐的底面圓的半徑為1．
課程標準
學習目標
①圓錐的認識
②圓錐的側面積
③圓錐的全面積
認識圓錐以及相關概念。
掌握圓錐的側面積計算公式并運用。
掌握圓錐的全面積公式并應用。

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