知識點01 一元二次方程的概念
一元二次方程的概念：
只含有 1 個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2 的整式方程叫做一元二次方程。
題型考點：①根據(jù)定義判斷方程是否為一元二次方程。②根據(jù)二次項系數(shù)不為0。未知數(shù)的最高次數(shù)為2求未知字母的值。
注意：一定先將一元二次方程化為一般形式在判斷是否為一元二次方程。
【即學(xué)即練1】
1．下列方程中，屬于一元二次方程的是（ ）
A．x﹣2y＝1B．C．x2﹣2y+4＝0D．x2﹣2x+1＝0
【解答】解：A．方程x﹣2y＝1是二元一次方程，選項A不符合題意；
B．方程x2+3＝是分式方程，選項B不符合題意；
C．方程x2﹣2y+4＝0是二元二次方程，選項C不符合題意；
D．方程x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，選項D符合題意．
故選：D．
【即學(xué)即練2】
2．關(guān)于x的方程（m+1）x|m|+1﹣m x+6＝0是一元二次方程，則m的值是（ ）
A．﹣1B．3C．1D．1或﹣1
【解答】解：∵關(guān)于x的方程（m+1）x|m|+1﹣mx+6＝0是一元二次方程，
∴|m|+1＝2且m+1≠0，
解得m＝1．
故選：C．
知識點02 一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式：
一元二次方程的一般形式是 。其中 是二次項， 是二次項系數(shù)。 是一次項， 一次項系數(shù)。 是常數(shù)項。
題型考點：①把一元二次方程的其他形式化為一般形式并根據(jù)一般形式判斷項與項的系數(shù)。
【即學(xué)即練1】
3．方程2x2＝8x+2化為一般式后的二次項、一次項、常數(shù)項分別是（ ）
A．2x2，8x，2B．﹣2x2，﹣8x，﹣2
C．2x2，﹣8x，﹣2D．2x2，﹣8x，2
【解答】解：方程整理得：2x2﹣8x﹣2＝0，
則二次項、一次項、常數(shù)項分別為2x2，﹣8x，﹣2．
故選：C．
知識點03 一元二次方程的解
一元二次方程的解：
使一元二次方程左右兩邊的 成立 的 未知數(shù) 的值是一元二次方程的解。
題型考點：將一元二次方程的解帶入方程中使方程左右兩邊成立得到新的方程求字母或式子的值。
【即學(xué)即練1】
4．已知x＝1是關(guān)于x的一元二次方程x2+x+2a＝0的一個解，則a的值為（ ）
A．0B．﹣1C．1D．2
【解答】解：∵x＝1是方程的解，
∴1+1+2a＝0，
∴a＝﹣1．
故選：B．
【即學(xué)即練2】
5．已知m是方程3x2﹣x﹣1＝0的一個根，則代數(shù)式的值應(yīng)（ ）
A．1和2之間B．2和3之間C．3和4之間D．4和5之間
【解答】解：由題意得：3m2﹣m﹣1＝0，
∴3m2﹣m＝1，
∴
＝2（3m2﹣m）+
＝2×1+
＝2+，
∵1＜3＜4，
∴1＜＜2，
∴3＜2+＜4，
∴代數(shù)式的值應(yīng)在3和4之間，
故選：C．
題型01 一元二次方程的定義及根據(jù)定義求字母的值
【典例1】
下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．
B．a(chǎn)x2+bx+c＝0（a，b，c均為常數(shù)）
C．x（3x+2）＝5
D．（2x+1）2＝4x2﹣3
【解答】解：A、中有分式，不是一元二次方程，故不符合題意；
B、ax2+bx+c＝0（a≠0）是一元二次方程，故不符合題意；
C、x（3x+2）＝5整理得3x2+2x﹣5＝0是一元二次方程，故符合題意；
D、（2x+1）2＝4x2﹣3整理得4x+4＝0不是一元二次方程，故不符合題意；
故選：C．
【典例2】
若方程kx2﹣2x+1＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則k的取值范圍是（ ）
A．k＞0B．k≠0C．k＜0D．k為實數(shù)
【解答】解：根據(jù)題意得：k≠0．
故選：B．
變式1：
若是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值是（ ）
A．2B．﹣2C．0D．2或﹣2
【解答】解：∵是關(guān)于x的一元二次方程，
∴m2﹣2＝2，
∴m＝2或m＝﹣2，
故選：D．
變式2：
已知是關(guān)于x的一元二次方程，那么a的值為（ ）
A．±2B．2
C．﹣2D．以上選項都不對
【解答】解：∵是關(guān)于x的一元二次方程，
∴a2﹣2＝2，a﹣2≠0，
解得a＝﹣2，
故選：C．
題型02 判斷一元二次方程的項與項的系數(shù)
【典例1】
把方程x（x+1）＝3（x﹣2）化成一般式ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，則a、b、c的值分別是（ ）
A．a(chǎn)＝1，b＝﹣2，c＝﹣3B．a(chǎn)＝1，b＝﹣2，c＝﹣6
C．a(chǎn)＝1，b＝﹣2，c＝3D．a(chǎn)＝1，b＝﹣2，c＝6
【解答】解：去括號得，x2+x＝3x﹣6，
移項得，x2﹣2x+6＝0，
所以a、b、c的值可以分別是1，﹣2，6．
故選：D．
題型03 根據(jù)一元二次方程的解求值
【典例1】
若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一個解是x＝1，則代數(shù)式2022﹣a﹣b的值為（ ）
A．﹣2022B．2021C．2022D．2023
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一個解是x＝1，
∴a+b﹣1＝0，
∴a+b＝1，
∴2022﹣a﹣b＝2022﹣（a+b）＝2022﹣1＝2021，
故選：B．
變式1：
已知a是方程x2﹣2020x+4＝0的一個解，則的值為（ ）
A．2023B．2022C．2021D．2020
【解答】解：由題意得：a2﹣2020a+4＝0，
∴a2＝2020a﹣4，a2+4＝2020a，
∴原式＝2020a﹣4﹣2019a++7
＝a﹣4++7
＝+3
＝+3
＝2023．
故選：A．
變式2：
若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0有一個根為﹣1，則k的值為（ ）
A．﹣3B．3C．±3D．9
【解答】解：由題意得：
把x＝﹣1代入方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0，
得：（k﹣3）﹣6+k2﹣k＝0，
解得：k＝±3，
∵k﹣3≠0，
∴k≠3，
∴k＝﹣3，
故選：A．
1．下列方程中，①2x2﹣1＝0，②ax2+bx+c＝0，③（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3，④，⑤，一元二次方程的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【解答】解：當a＝0時，方程ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，
（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3，
整理得：﹣x﹣6＝﹣3，是一元一次方程，不是一元二次方程，
是分式方程，不是一元二次方程，
所以一元二次方程有2x2﹣1＝0，，共2個，
故選：B．
2．將方程2x2﹣1＝3x化為一元二次方程的一般形式后，二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為（ ）
A．2，1，3B．2，﹣1，3C．2，﹣3，﹣1D．2，﹣3，1
【解答】解：由方程2x2﹣1＝3x可得：
2x2﹣3x﹣1＝0，則有a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1；
故選：C．
3．關(guān)于x的一元二次方程（m﹣3）x2﹣4x+m2﹣9＝0的一個根為0，則m的值為（ ）
A．﹣3B．±3C．3D．0
【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（m﹣3）x2﹣4x+m2﹣9＝0得m2﹣9＝0，
解得m1＝3，m2＝﹣3，
∵m﹣3≠0，
∴m的值為﹣3．
故選：A．
4．若x＝1是關(guān)于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，則3a+6b＝（ ）
A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣6
【解答】解：把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得1+a+2b＝0，
所以a+2b＝﹣1，
所以3a+6b＝3（a+2b）＝3×（﹣1）＝﹣3．
故選：C．
5．對于題目：“先化簡再求值：，其中m是方程x2+3x+1＝0的根．”甲化簡的結(jié)果是，求值結(jié)果是；乙化簡的結(jié)果是，求值結(jié)果是．下列判斷正確的是（ ）
A．甲的兩個結(jié)果都正確
B．乙的兩個結(jié)果都正確
C．甲的化簡結(jié)果錯誤，求值結(jié)果正確
D．甲的化簡結(jié)果和乙的求值結(jié)果合在一起才是正確答案
【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
∵m是方程x2+3x+1＝0的根．
∴m2+3m＝﹣1，
∴原式＝，
故選：D．
6．已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一個根，則代數(shù)式的值應(yīng)在（ ）
A．4和5之間B．3和4之間C．2和3之間D．1和2之間
【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一個根，
∴將a代入方程成立，得：a2﹣2a﹣1＝0，
即：a2﹣2a＝1，
將上式代入中得：，
∵，
∴．
故選：B．
7．若a是關(guān)于一元二次方程3x2﹣x﹣2023＝0的一個實數(shù)根，則2023+2a﹣6a2 的值是（ ）
A．4046B．﹣4046C．﹣2023D．0
【解答】解：∵a是關(guān)于一元二次方程3x2﹣x﹣2023＝0的一個實數(shù)根，
∴3a2﹣a﹣2023＝0，
∴3a2﹣a＝2023，
∴2023+2a﹣6a2＝2023﹣2（3a2﹣a）＝2023﹣2×2023＝﹣2023．
故選：C．
8．若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一個根為x＝2023，則方程a（x﹣1）2+bx﹣3＝b必有一根為（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【解答】解：a（x﹣1）2+bx﹣3＝b可化為：a（x﹣1）2+b（x﹣1）﹣3＝0
關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0（a≠0）有一個根為x＝2023，
∴把x﹣1看作是整體未知數(shù)，則x﹣1＝2023，
∴x＝2024，
即a（x﹣1）2+bx﹣3＝b有一根為x＝2024．
故選：D．
9．若x＝2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2kx+3k﹣2＝0的解，則k＝ ．
【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣2kx+3k﹣2＝0得4﹣4k+3k﹣2＝0，
解得k＝2，
即k的值為2．
故答案為：2．
10．若關(guān)于x的方程ax2+bx﹣1＝0的一個解為x＝1，則2023﹣a﹣b＝ ．
【解答】解：把x＝1代入方程ax2+bx﹣1＝0得a+b﹣1＝0，
即a+b＝1，
所以2023﹣a﹣b＝2023﹣（a+b）＝2023﹣1＝2022．
故答案為：2022．
11．已知m是方程x2+x﹣3＝0的解，求式子m3+2m2﹣2m+2022的值．
【解答】解：∵m是方程x2+x﹣3＝0的解，
∴m2+m﹣3＝0，
∴m2+m＝3，
∴m3+2m2﹣2m+2022
＝m3+m2+m2﹣2m+2022
＝m（m2+m）+m2﹣2m+2022
＝3m+m2﹣2m+2022
＝m2+m+2022
＝3+2022
＝2025，
∴式子m3+2m2﹣2m+2022的值為2025．
12．已知關(guān)于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0．
（1）m為何值時，此方程是一元一次方程？
（2）m為何值時，此方程是一元二次方程？
【解答】解：（1）∵關(guān)于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0是一元一次方程，
∴m2﹣1＝0，
解得m＝±1；
（2）∵關(guān)于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0是一元二次方程，
∴m2﹣1≠0，
解得m≠±1．課程標準
學(xué)習(xí)目標
①一元二次方程的基本概念
②一元二次方程的一般形式及各項與各項的系數(shù)
③一元二次方程的解
掌握一元二次方程的基本概念。
學(xué)會把一元二次方程化成一般形式并判斷項與系數(shù)
理解一元二次方程的解，并利用解解決相關(guān)問題

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21.1 一元二次方程

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