初中數(shù)學(xué)人教版九年級上冊25.1.2 概率優(yōu)秀練習(xí)題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

知識點01 直接列舉法求事件概率
直接列舉法求事件概率：
在一次實驗中，如果可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個，且各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性大小相同，則可通過列舉實驗結(jié)果的方法分析隨機事件發(fā)生的概率。
題型考點：①用直接列舉法求事件概率。
【即學(xué)即練1】
1．?dāng)S兩枚普通正六面體骰子，所得點數(shù)之和為10的概率為．
【解答】解：通過意義列舉可知，一共有36種情況，所得點數(shù)之和為10的有3種情況，
∴所得點數(shù)之和為10的概率＝，
故答案為：．
【即學(xué)即練2】
2．隨機擲一枚均勻的硬幣兩次，落地后至少有一次正面朝上的概率是（）
A．B．C．D．
【解答】解：隨機擲一枚均勻的硬幣兩次，落地后情況有正正，正反，反正，反反。
至少有一次正面朝上的概率是．
故選：B．
知識點02 列表法求事件概率
列表法求事件的概率：
當(dāng)一次實驗要涉及的因素有兩個（或是需要兩部操作來完成實驗）且可能出現(xiàn)的結(jié)果較多時，常通過用列表的方法列舉所有可能的結(jié)果，找出事件A可能發(fā)生的所有的結(jié)果，再利用概率公式求概率。
例題說明：
三張圖片除畫面不同外無其他差別，將它們從中間剪斷得到三張上部圖片和三張下部圖片，把三張上部圖片放入一個布袋，把三張下部圖片放入另一個布袋，再分別從兩個布袋中各隨機摸取一張，則這兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的概率是多少？
分析：將上部三張圖片分別記作A、B、C，下部三張圖片記作a、b、c，列表得出所有等可能結(jié)果，用列表法表示如下：
可知，一共出現(xiàn)9中情況，記能合成完成的圖片為事件A，有三種情況，所以概率為：
P（A）=
題型考點：①用列表法求事件的概率。
【即學(xué)即練1】
3．從甲、乙、丙、丁4名學(xué)生中選2名學(xué)生參加一次乒乓球單打比賽．
（1）若甲一定被選中參加比賽，再從其余3名學(xué)生中任意選取1名，恰好選中乙的概率是；
（2）任意選取2名學(xué)生參加比賽，求一定有丁的概率．（用樹狀圖或列表的方法求解）
【解答】解：（1）由甲一定被選中參加比賽，再從其余3名學(xué)生中任意選取1名，共有甲、乙，甲、丙，甲、丁三種等可能，符合條件的情況數(shù)有1種，
∴甲一定參加比賽，再從其余3名學(xué)生中任意選取1名，恰好選中乙的概率是．
（2）列表如下：
所有的等可能的情況數(shù)有12種，符合條件的情況數(shù)有6種，
所以一定有丁的概率為：．
【即學(xué)即練2】
4．4張相同的卡片分別寫有數(shù)字1，2，3，4，將卡片的背面朝上，洗勻后從中任意抽取1張，將卡片上的數(shù)字作為被減數(shù)；一只不透明的袋子中裝有標(biāo)號為1，2，3的3個小球，這些球除標(biāo)號外都相同，攪勻后從中任意摸出一個球，將摸到的球的標(biāo)號作為減數(shù)．
（1）求這兩個數(shù)的差為0的概率；（用列表法或樹狀圖說明）
（2）如果游戲規(guī)則規(guī)定：當(dāng)抽到的這兩個數(shù)的差為非負數(shù)時，則甲獲勝；否則，乙獲勝．你認為這樣的規(guī)則公平嗎？如果不公平，請設(shè)計一個你認為公平的規(guī)則，并說明理由．
【解答】解：（1）列表如下：
∵共有12種等可能的結(jié)果，其中兩個數(shù)的差為0的情況占3種，
∴P（兩個數(shù)的差為0）＝．
（2）∵兩個數(shù)的差為非負數(shù)的情況有9種，
∴P（甲獲勝）＝，P（乙獲勝）＝．
∵P（甲獲勝）＞P（乙獲勝），
∴這樣的規(guī)則不公平
可將規(guī)則改為：兩個數(shù)的差為正數(shù)時，甲獲勝，否則，乙獲勝．
此時P（甲獲勝）＝P（乙獲勝）＝．
知識點03 樹狀法求事件概率
樹狀法求事件的概率：
當(dāng)事件要通過多個步驟（三個或以上）完成時，常通過用畫樹狀圖的方法列舉所有可能的結(jié)果，在找出事件A可能發(fā)生的結(jié)果，再利用概率公式求概率。
例題說明：
三張圖片除畫面不同外無其他差別，將它們從中間剪斷得到三張上部圖片和三張下部圖片，把三張上部圖片放入一個布袋，把三張下部圖片放入另一個布袋，再分別從兩個布袋中各隨機摸取一張，則這兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的概率是多少？
分析：將上部三張圖片分別記作A、B、C，下部三張圖片記作a、b、c，列表得出所有等可能結(jié)果，用樹狀圖表示如下：

可知，一共出現(xiàn)9中情況，記能合成完成的圖片為事件A，有三種情況，所以概率為：
P（A）=
題型考點：①用列表法求事件的概率。
【即學(xué)即練1】
5．甲、乙，丙、丁4人聚會，每人帶了一件禮物，4件禮物從外盒包裝看完全相同，將4件禮物放在一起．
（1）甲從中隨機抽取一件，則甲抽到的是自己帶來的禮物的概率是；
（2）甲先從中隨機抽取一件，不放回，乙再從中隨機抽取一件，用列表法或樹狀圖法求甲、乙2人抽到的都不是自己帶來的禮物的概率．
【解答】解（1）：甲抽到的是自己帶來的禮物的概率是：；
故答案為：；
（2）設(shè)甲、乙、丙、丁4人的禮物分別記為a、b、c、d，
根據(jù)題意畫出樹狀圖如圖：
一共有12種等可能的結(jié)果，甲、乙2人抽到的都不是自己帶來的禮物的結(jié)果有7個，
∴甲、乙2人抽到的都不是自己帶來的禮物的概率為．
【即學(xué)即練2】
6．甲、乙兩名同學(xué)玩一個游戲：在一個不透明的口袋中裝有標(biāo)號分別為1，2，3，4的四個小球（除標(biāo)號外無其它差異）．從口袋中隨機摸出一個小球，記下標(biāo)號后放回口袋中，充分搖勻后，再從口袋中隨機摸出一個小球，記下該小球的標(biāo)號，兩次記下的標(biāo)號分別用x、y表示．若x+y為奇數(shù)，則甲獲勝；若x+y為偶數(shù)，則乙獲勝．
（1）用列表法或樹狀圖法（樹狀圖也稱樹形圖）中的一種方法，求（x，y）所有可能出現(xiàn)的結(jié)果總數(shù)；
（2）你認為這個游戲?qū)﹄p方公平嗎？請說明理由．
【解答】解：畫樹狀圖如圖所示，
（1）共有16種等可能的結(jié)果數(shù)；
（2）這個游戲?qū)﹄p方公平，
理由是：
∵x+y為奇數(shù)的結(jié)果數(shù)為8，x+y為偶數(shù)的結(jié)果數(shù)為8，
∴甲獲勝的概率＝＝，乙獲勝的概率＝＝，
∴甲獲勝的概率＝乙獲勝的概率，
∴這個游戲?qū)﹄p方公平．
知識點04 用頻率估算概率
用頻率估算概率：
大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率。
實驗次數(shù)越多，用頻率估算概率越準(zhǔn)確。
題型考點：①用列表法求事件的概率。
【即學(xué)即練1】
7．當(dāng)重復(fù)試驗次數(shù)足夠多時，可用頻率來估計概率．歷史上數(shù)學(xué)家皮爾進（Pearsn）曾在實驗中擲均勻的硬幣24000次，正面朝上的次數(shù)是12012次，頻率為0.5005，則擲一枚均勻的硬幣，正面朝上的概率是 0.5005 ．
【解答】解：當(dāng)重復(fù)試驗次數(shù)足夠多時，頻率為0.5005，
∴擲一枚均勻的硬幣，正面朝上的概率是0.5005．
故答案為：0.5005．
【即學(xué)即練2】
8．在一個不透明的袋子里裝有紅球、黃球共20個，這些球除顏色外都相同．小明通過多次試驗發(fā)現(xiàn)，摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.25左右，則袋子中紅球的個數(shù)可能是 5 個．
【解答】解：設(shè)袋子中紅球有x個，
根據(jù)題意，得：＝0.25，
解得x＝5，
即袋子中紅球的個數(shù)可能是5個，
故答案為：5．
題型01 用列表法與樹狀圖求事件概率
【典例1】
隨著“新冠肺炎”疫情防控形勢日漸好轉(zhuǎn)，各地開始復(fù)工復(fù)學(xué)，某校復(fù)學(xué)后成立“防疫志愿者服務(wù)隊”，設(shè)立四個“服務(wù)監(jiān)督崗”：①洗手監(jiān)督崗，②戴口罩監(jiān)督崗，③就餐監(jiān)督崗，④操場活動監(jiān)督崗．李老師和王老師報名參加了志愿者服務(wù)工作，學(xué)校將報名的志愿者隨機分配到四個監(jiān)督崗．
（1）李老師被分配到“洗手監(jiān)督崗”的概率為；
（2）用列表法或畫樹狀圖法，求李老師和王老師被分配到同一個監(jiān)督崗的概率．
【解答】解：（1）李老師被分配到“洗手監(jiān)督崗”的概率＝；
故答案為：；
（2）畫樹狀圖為：
共有16種等可能的結(jié)果，其中李老師和王老師被分配到同一個監(jiān)督崗的結(jié)果數(shù)為4，
所以李老師和王老師被分配到同一個監(jiān)督崗的概率＝＝．
【典例2】
從一副普通的撲克牌中取出四張牌，它們的牌面數(shù)字分別為2，5，5，6．
（1）將這四張撲克牌背面朝上，洗勻，從中隨機抽取一張，則抽取的這張牌的牌面數(shù)字是6的概率為；
（2）將這四張撲克牌背面朝上，洗勻．從中隨機抽取一張，不放回，再從剩余的三張牌中隨機抽取一張．請利用畫樹狀圖或列表的方法，求抽取的這兩張牌的牌面數(shù)字恰好相同的概率．
【解答】解：（1）將這四張撲克牌背面朝上，洗勻，從中隨機抽取一張，抽取牌面數(shù)字是6的概率為；
故答案為：；
（2）畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結(jié)果，抽取的這兩張牌的牌面數(shù)字恰好相同的結(jié)果有2種，
則抽取的這兩張牌的牌面數(shù)字恰好相同的概率為＝．
【典例3】
“一方有難，八方支援”是中華民族的傳統(tǒng)美德．在抗擊新冠病毒戰(zhàn)役中，我省支援湖北醫(yī)療隊共1460人奔赴武漢．其中小麗、小王和三個同事共五人直接派往一線某醫(yī)院，根據(jù)該醫(yī)院人事安排需要先抽出一人去急診科，再派兩人到發(fā)熱門診，請你利用所學(xué)知識完成下列問題．
（1）小麗被派往急診科的概率是；
（2）若正好抽出她們一位同事去往急診科，請你利用畫樹狀圖或列表的方法，求出小麗和小王同時被派往發(fā)熱門診的概率．
【解答】解：（1）小麗被派往發(fā)熱門診的概率；
故答案為：；
（2）小麗、小王和兩個同事分別用A，B，C1，C2表示，根據(jù)題意畫圖如下：
由上可知；一共出現(xiàn)了12種等可能的結(jié)果，小麗和小王同時出現(xiàn)的有2種情況，
則小麗和小王同時被派往發(fā)熱門診的概率是＝．
【典例4】
有兩個可以自由轉(zhuǎn)動的質(zhì)地均勻轉(zhuǎn)盤都被分成了3個全等的扇形，在每一扇形內(nèi)均標(biāo)有不同的自然數(shù)，如圖所示，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，兩個轉(zhuǎn)盤停止后觀察并記錄兩個指針?biāo)干刃蝺?nèi)的數(shù)字（若指針停在扇形的邊線上，當(dāng)作指向上邊的扇形）．
（1）用列表法或畫樹形圖法求出同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤一次的所有可能結(jié)果；
（2）同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤一次，求“記錄的兩個數(shù)字之和為7”的概率．
【解答】解：（1）如表所示：
由上表可知轉(zhuǎn)動兩個圓盤一次共有9中不同結(jié)果；
（2）第一問的9中可能性相等，其中“記錄的兩個數(shù)字之和為7”（記為事件A）的結(jié)果有3個，
故所求的概率P（A）＝＝．
【典例5】
現(xiàn)有A、B兩個不透明的袋子，各裝有三個小球，A袋中的三個小球上分別標(biāo)記數(shù)字2，3，4；B袋中的三個小球上分別標(biāo)記數(shù)字3，4，5．這六個小球除標(biāo)記的數(shù)字外，其余完全相同．
（1）將A袋中的小球搖勻，從中隨機摸出一個小球，則摸出的這個小球上標(biāo)記的數(shù)字是偶數(shù)的概率為；
（2）分別將A、B兩個袋子中的小球搖勻，然后從A、B袋中各隨機摸出一個小球，請利用畫樹狀圖或列表的方法，求摸出的這兩個小球標(biāo)記的數(shù)字之和為7的概率．
【解答】解：（1）將A袋中的小球搖勻，從中隨機摸出一個小球，則摸出的這個小球上標(biāo)記的數(shù)字是偶數(shù)的概率為，
故答案為：；
（2）畫樹狀圖如下：
共有9種等可能的結(jié)果，摸出的這兩個小球標(biāo)記的數(shù)字之和為7的結(jié)果有3種，
∴摸出的這兩個小球標(biāo)記的數(shù)字之和為7的概率為＝．
題型02 放回與不放回概率計算
【典例1】
一只不透明的袋子中有3個小球，分別標(biāo)有編號1，2，3，這些小球除均外都相同．
（1）投勻后從中任意摸出1個球，這個球的編號是2的概率為；
（2）廈勻后從中任意摸出1個球，記錄球的帽號后放回、攪勻，再從中任意摸出1個球，求兩次摸到的小球編號相同的屬率是多少？（用函樹狀圖或列表的方法說明）
【解答】解：（1）∵一只不透明的袋子中有3個小球，編號為2的有一個，
∴P（任意摸出1個球，這個球的編號是2）＝；
故答案為：；
（2）畫樹狀圖如下：
一共有9個等可能的結(jié)果，其中第2次摸到的小球編號相同出現(xiàn)了3次，
∴P（兩次摸到的小球編號相同）＝＝．
【典例2】
人工智能是數(shù)字經(jīng)濟高質(zhì)量發(fā)展的引擎，也是新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革的重要驅(qū)動．人工智能市場分為決策類人工智能，人工智能機器人，語音類人工智能，視覺類人工智能四大類型，將四個類型的圖標(biāo)依次制成A，B，C，D四張卡片（卡片背面完全相同），將四張卡片背面朝上洗勻放置在桌面上．
（1）隨機抽取一張，抽到?jīng)Q策類人工智能的卡片的概率為；
（2）從中隨機抽取一張，記錄卡片的內(nèi)容后放回洗勻，再隨機抽取一張，請用列表或樹狀圖的方法求抽取到的兩張卡片內(nèi)容一致的概率．
【解答】解：（1）∵共有4張卡片，
∴從中隨機抽取一張，抽到?jīng)Q策類人工智能的卡片的概率為；
故答案為：；
（2）解：根據(jù)題意畫圖如下：
共有16種等可能的結(jié)果數(shù)，其中抽取到的兩張卡片內(nèi)容一致的結(jié)果數(shù)為4，
所以抽取到的兩張卡片內(nèi)容一致的概率為．
【典例3】
5張背面相同的卡片，正面分別寫有不同1，2，3，4，7中的一個正整數(shù)．現(xiàn)將卡片背面朝上．
（1）求從中任意抽出一張，正面的數(shù)是偶數(shù)的概率．
（2）連續(xù)摸出4張卡片（不放回），已知前2張正面的數(shù)分別為1，7．求摸出的4張卡片的數(shù)的總和為奇數(shù)的概率（要求畫樹狀圖或列表）．
【解答】解：（1）∵1，2，3，4，7中，是偶數(shù)的為2，4，共2個，
∴從中任意抽出一張，正面的數(shù)是偶數(shù)的概率為．
（2）畫樹狀圖如下：
共有6種等可能的結(jié)果，摸出的4張卡片的數(shù)的總和可能為：13，14，13，15，14，15，
其中摸出的4張卡片的數(shù)的總和為奇數(shù)的結(jié)果有4種，
∴摸出的4張卡片的數(shù)的總和為奇數(shù)的概率為＝．
【典例4】
一個不透明的布袋里裝有2個白球，1個黑球和若干個紅球，它們除顏色外其余都相同．從中任意摸出1個球，取出白球的概率為．
（1）布袋里紅球有多少個？
（2）先從布袋中摸出1個球后不再放回，再摸出1個球，求兩次摸到的球都是白球的概率．
【解答】解：（1）設(shè)布袋里紅球有x個．
由題意可得：，
解得x＝1，
經(jīng)檢驗：x＝1是原方程的解．
∴布袋里紅球有1個．
（2）畫樹狀圖如下：
由圖可得，兩次摸球共有12種等可能結(jié)果，
其中，兩次摸到的球都是白球的情況有2種，
∴P（兩次摸到的球都是白球）＝．
題型03 利用概率判斷游戲公平性
【典例1】
在聯(lián)歡會上，有A、B、C三名選手站在一個三角形的三個頂點位置上，他們在玩“搶凳子”游戲，要求在他們中間放一個木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢檬窃凇鰽BC的（）
A．三邊垂直平分線的交點
B．三條中線的交點
C．三條角平分線的交點
D．三條高所在直線的交點
【解答】解：根據(jù)題意得：當(dāng)木凳所在位置到A、B、C三個頂點的距離相等時，游戲公平，
∵線段垂直平分線上的到線段兩端的距離相等，
∴凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢檬窃凇鰽BC的三邊垂直平分線的交點．
故選：A．
【典例2】
“天宮課堂”第三課開講，航天員陳冬、劉洋、蔡旭哲相互配合進行授課，激發(fā)了同學(xué)們學(xué)習(xí)航天知識的熱情．在學(xué)校組織的航天知識競賽中，小明和小雪均獲得了一等獎，學(xué)校決定通過兩人做游戲的方式，從中選取一名游戲獲勝的同學(xué)作為代表分享獲獎心得．游戲規(guī)則如下：甲口袋（不透明）裝有編號為1，2，3的三個小球，乙口袋（不透明）裝有編號為1，2，3，4的四個小球，每個口袋中的小球除編號外其他都相同．小明先從甲口袋中隨機摸出一個球，小雪再從乙口袋中隨機摸出一個球，若兩球編號之和為偶數(shù)，則小明獲勝；若兩球編號之和為奇數(shù)，則小雪獲勝．
（1）小明摸到小球的編號為2的概率為；
（2）請用列表或畫樹狀圖的方法，說明這個游戲?qū)﹄p方是否公平．
【解答】解：（1）∵甲口袋（不透明）裝有編號為1，2，3的三個小球，
∴小明摸到小球的編號為2的概率為；
故答案為：；
（2）根據(jù)題意列表如下：
∴共有12種等可能的結(jié)果，其中兩球編號之和為偶數(shù)的有6種結(jié)果，兩球編號之和為奇數(shù)的有6種結(jié)果，
則小明獲勝的概率是，小雪獲勝的概率是，
∵＝，
∴這個游戲?qū)﹄p方公平．
【典例3】
把大小和形狀完全相同的6個球分成兩組，每組3個球．其中一組標(biāo)上數(shù)字1，2，3后放入不透明的甲盒子，另一組標(biāo)上數(shù)字2，3，4后放入不透明的乙盒子，攪勻后，從甲、乙兩個盒子中各隨機抽取一個球．
（1）請用畫樹狀圖或列表的方法求取出的兩個球上的數(shù)字都為奇數(shù)的概率；
（2）若取出的兩球上的數(shù)字和為奇數(shù)，則甲勝，若取出的兩球上的數(shù)字和為偶數(shù)，則乙勝，試分析這個游戲是否公平？請說明理由．
【解答】解：（1）列表如下：
由表知，共有9種等可能結(jié)果，其中取出的兩個球上的數(shù)字都為奇數(shù)的有2種結(jié)果，
所以取出的兩個球上的數(shù)字都為奇數(shù)的概率為；
（2）這個游戲不公平，理由如下：
列表如下：
由表知，共有9種等可能結(jié)果，其中兩球上的數(shù)字和為奇數(shù)的有5種結(jié)果，和為偶數(shù)的有4種結(jié)果，
所以甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，
∵≠，
∴這個游戲不公平．
【典例4】
甲、乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲，規(guī)則如下：如圖是兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤A，B，A轉(zhuǎn)，盤中數(shù)字1所對扇形區(qū)域的圓心角為90°，B轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的三個扇形，依次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤A，B，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，若指針指向的兩個區(qū)域的數(shù)字之和大于5，則甲獲勝；否則乙獲勝；如果落在分割線上，則需要重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤．
（1）轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤A，指向的數(shù)字為1的概率是；
（2）試用列表或畫樹狀圖的方法說明游戲是否公平．若公平，請說明理由；若不公平，誰獲勝的可能性更大？
【解答】解：（1）∵A盤中數(shù)字1所對扇形區(qū)域的圓心角為90°，
∴A盤中數(shù)字1所對扇形區(qū)域占整體的＝，
∴轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤A，指向的數(shù)字為1的概率是，
故答案為：；
（2）如圖，將A盤4等分，這樣才是指向每個區(qū)域的可能性均等，用列表法表示所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：
共有12種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中指針指向的兩個區(qū)域的數(shù)字之和大于5，即甲獲勝的有7種，
所以甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，
所以這個游戲不公平，甲獲勝的可能性較大．
題型04 用頻率估算概率
【典例1】
實驗小組做“任意拋擲一枚圖釘”的重復(fù)試驗，多次實驗后獲得如表數(shù)據(jù)：
由此可以估計任意拋擲一次圖釘釘尖朝上的概率約為（）
A．0.50B．0.40C．0.38D．0.37
【解答】解：表中圖釘釘尖朝上的頻率分別為＝0.5，＝0.3，＝0.38，＝0.4，
圖釘釘尖朝上頻率逐漸穩(wěn)定在0.4左右，
估計任意拋擲一枚圖釘，圖釘釘尖朝上的概率約為0.4．
故選：B．
【典例2】
在一個不透明的箱子里裝有m個球，其中紅球4個，這些球除顏色外都相同，每次將球攪拌均勻后，任意摸出一個球記下顏色后再放回，大量重復(fù)試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率在0.2，那么可以估算出m的值為（）
A．8B．12C．16D．20
【解答】解：∵大量重復(fù)試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率在0.2，
∴任意摸出一個球，摸到紅球的概率為0.2，
∴＝0.2，
∴m＝20．
故選：D．
【典例3】
某射箭選手在同一條件下進行射箭訓(xùn)練，結(jié)果如下：
下列說法正確的是（）
A．該選手射箭一次，估計射中靶心的概率為0.90
B．該選手射箭80次，射中靶心的頻率不超過0.90
C．該選手射箭400次，射中靶心的次數(shù)不超過360次
D．該選手射箭1000次，射中靶心的次數(shù)一定為910次
【解答】解：根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計這名某射箭選手射擊一次時擊中靶心的概率約是0.90，
故A選項符合題意，B，C，D選項不符合題意．
故選：A．
【典例4】
在一個不透明的袋子里裝有紅球、黃球共20個，這些球除顏色外都相同．小明通過多次試驗發(fā)現(xiàn)，摸出紅球的頻率穩(wěn)定在0.6左右，則袋子中紅球的個數(shù)最有可能是（）
A．5B．8C．12D．15
【解答】解：設(shè)袋子中紅球有x個，
根據(jù)題意，得：＝0.6，
解得x＝12，
∴袋子中紅球的個數(shù)最有可能是12個，
故選：C．
1．某校即將舉行田徑運動會，“體育達人”小明從“跳高”“跳遠”“100米”“400米”四個項目中，隨機選擇兩項，則他選擇“100米”與“400米”兩個項目的概率是（）
A．B．C．D．
【解答】解：跳高（記為項目1）、跳遠（記為項目2）、100米短跑（記為項目3）、400米中長跑（記為項目4），
畫樹狀圖得：
∵共有12種等可能的結(jié)果，恰好抽到“100米”和“400米”兩項的有2種情況，
∴恰好抽到“100米”和“400米”的概率是：．
故選：C．
2．在一個不透明的口袋中裝有3個完全一樣的小球，小球上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3．先摸出一個小球、上面的數(shù)字記為a，放回袋子中搖勻后再摸出一個小球、上面的數(shù)字記為c，則使得一元二次方程ax2+4x+c＝0有實數(shù)解的概率為（）
A．B．C．D．
【解答】解：列表得：
所有等可能的情況有9種，其中使得一元二次方程ax2+4x+c＝0有實數(shù)解（ac≤4）的有6種結(jié)果，
所以使得一元二次方程ax2+4x+c＝0有實數(shù)解的概率為＝，
故選：D．
3．在如圖所示的電路中，隨機閉合開關(guān)S1、S2、S3中的兩個，能讓燈泡L1發(fā)光的概率是（）
A．B．C．D．
【解答】解：畫樹狀圖得：
∵共有6種等可能的結(jié)果，能讓燈泡L1發(fā)光的有2種情況，
∴能讓燈泡L1發(fā)光的概率為＝．
故選：B．
4．現(xiàn)有5張卡片，其中3張卡片正面上的圖案是“”，2張卡片正面上的圖案是“”，它們除此之外完全相同．把這5張卡片背面朝上洗勻，從中隨機抽取兩張，則這兩張卡片正面圖案相同的概率是（）
A．B．C．D．
【解答】解：3張卡片正面上的圖案是“”分別用A、B、C表示，2張卡片正面上的圖案是“”分別用a、b表示，
根據(jù)題意畫圖如下：
共有20種等可能的情況數(shù)，其中這兩張卡片正面圖案相同的有8種，
則這兩張卡片正面圖案相同的概率是＝；
故選：B．
30．甲乙兩人玩一個游戲，判定這個游戲公平不公平的標(biāo)準(zhǔn)是（）
A．游戲的規(guī)則由甲方確定
B．游戲的規(guī)則由乙方確定
C．游戲的規(guī)則由甲乙雙方確定
D．游戲雙方獲勝的概率相等
【解答】解：游戲的規(guī)則由甲方確定，獲勝概率不一定不相等，故A不符合題意；
游戲的規(guī)則由乙方確定，獲勝概率不一定不相等，故B不符合題意；
游戲的規(guī)則由甲乙雙方確定，獲勝概率不一定不相等，故C不符合題意；
游戲雙方獲勝的概率相等，故D符合題意．
故選：D．
5．甲、乙兩人一起玩如圖的轉(zhuǎn)盤游戲，將兩個轉(zhuǎn)盤各轉(zhuǎn)一次，指針指向的數(shù)的和為正數(shù)，甲勝，否則乙勝，這個游戲（）
A．公平B．對甲有利
C．對乙有利D．公平性不可預(yù)測
【解答】解：畫樹狀圖如下：
共有8種等可能的結(jié)果，其中甲勝的結(jié)果有4種，乙勝的結(jié)果有4種，
∴甲勝的概率＝＝，乙勝的概率＝＝，
∴甲勝的概率＝乙勝的概率，
∴這個游戲公平，
故選：A．
6．一個不透明的盒子中裝有紅、黃兩種顏色的小球共10個，它們除顏色外其他都相同．小明多次摸球后記錄并放回小球重復(fù)試驗，發(fā)現(xiàn)摸到紅色小球的頻率穩(wěn)定在0.4左右，由此可知盒子中黃色小球的個數(shù)可能是（）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：設(shè)袋中有黃色小球x個，由題意得，
解得：x＝6．
故選：D．
7．如圖①所示，平整的地面上有一個不規(guī)則圖案（圖中陰影部分），小明想了解該圖案的面積是多少，他采取了以下辦法：用一個面積為20cm2的長方形，將不規(guī)則圖案圍起來，然后在適當(dāng)位置隨機地朝長方形區(qū)域扔小球，并記錄小球落在不規(guī)則圖案上的次數(shù)（球扔在界線上或長方形區(qū)域外不計試驗結(jié)果），他將若干次有效試驗的結(jié)果繪制成了如圖②所示的折線統(tǒng)計圖，由此他估計不規(guī)則圖案的面積大約為（）
A．6cm2B．7cm2C．8 cm2D．9cm2
【解答】解：假設(shè)不規(guī)則圖案的面積為xcm2，
由已知得：長方形面積為20cm2，
根據(jù)幾何概率公式小球落在不規(guī)則圖案的概率為：，
當(dāng)事件A試驗次數(shù)足夠多，即樣本足夠大時，其頻率可作為事件A發(fā)生的概率估計值，故由折線圖可知，小球落在不規(guī)則圖案的概率大約為0.35，
綜上：，
解得：x＝7，
∴不規(guī)則圖案的面積大約為7cm2，
故選：B．
8．為落實教育部辦公廳和中共中央宣傳部辦公廳關(guān)于《第41批向全國中小學(xué)生推薦優(yōu)秀影片片目》的通知精神．我市某校八、九年級分別從《我和我的父輩》《童年周恩來》《我心飛揚》《向著明亮那方》四部影片中，隨機選取一部影片組織本年級學(xué)生觀看，則這兩個年級選擇的影片相同的概率是．
【解答】解：分別將《我和我的父輩》《童年周恩來》《我心飛揚》《向著明亮那方》記為A，B，C，D，
畫樹狀圖如下：
共有16種等可能的結(jié)果，其中這兩個年級選擇的影片相同的結(jié)果有4種，
∴這兩個年級選擇的影片相同的概率為＝．
故答案為：．
9．甲、乙兩人做游戲，他們準(zhǔn)備了一個質(zhì)量分布均勻的正六面體骰子，骰子的六個面分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6．若擲出的骰子的點數(shù)是偶數(shù)，則甲贏；若擲出的骰子的點數(shù)是3的倍數(shù)，則乙贏．這個游戲?qū)?、乙來說是不公平的．（填“公平”或“不公平”）
【解答】解：∵骰子的點數(shù)是偶數(shù)的有2，4，6，其概率為＝；
骰子的點數(shù)是3的倍數(shù)的有3，6，其概率為＝；
故游戲規(guī)則對甲有利．
故答案為：不公平．
10．在一個不透明的盒子里，裝有5個紅球和若干個綠球，這些球除顏色外都相同，將其搖勻后從中隨機摸出一個球，記下顏色后再把它放回盒子中，不斷重復(fù)，共摸球80次，其中20次摸到紅球，請估計盒子中所有球的個數(shù)是 20 ．
【解答】解：∵共試驗80次，其中有20次摸到紅球，
∴紅球所占的比例為＝，
設(shè)盒子中共有球x個，則＝，
解得：x＝20．
故答案為：20．
11．如圖是小明的健康綠碼示意圖，用黑白打印機打印于邊長為2cm的正方形區(qū)域內(nèi)，為了估計圖中黑色部分的總面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機擲點，經(jīng)過大量重復(fù)試驗，發(fā)現(xiàn)點落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，據(jù)此可以估計黑色部分的總面積約為 2.4 cm2．
【解答】解：∵經(jīng)過大量重復(fù)試驗，發(fā)現(xiàn)點落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，
∴點落入黑色部分的概率為0.6，
∵邊長為2cm的正方形的面積為4cm2，
設(shè)黑色部分的面積為S，
則＝0.6，
解得S＝2.4（cm2）．
∴估計黑色部分的總面積約為2.4cm2．
故答案為：2.4．
12．某學(xué)校開展會員核酸檢測，設(shè)立了A，B，C三個檢測小組．
（1）學(xué)生甲隨機選擇一個小組進行核酸檢測，則他選擇A組的概率為．
（2）學(xué)生乙、丙分別選擇一個小組進行核酸檢測，求乙、丙在同一小組的概率（用樹狀圖或列表法分析）．
【解答】解：（1）總共有三組，
∴甲選A的概率為：；
故答案為：；
（2）樹狀圖如下：
∴乙、丙在同一小組核酸檢測的概率或列表法（如圖）．
13．在一個不透明的口袋里裝有只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共4只，某小組做摸球試驗，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)．如表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：
（1）根據(jù)試驗結(jié)果試估算口袋中白球有多少只？
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，若同時從該口袋中摸出兩個球，用畫樹狀圖或列表法求這兩個球顏色相同的概率．
【解答】解：（1）當(dāng)n很大時，摸到白球的頻率將會接近0.75，所以摸到白球的概率為0.75，
4×0.75＝3（只），
答：口袋中白球有3只；
（2）設(shè)白球為A1，A2，A3，黑球為B，
一共有12種等可能的結(jié)果，其中兩個球顏色相同的有6種結(jié)果，
∴隨機摸出兩個球顏色相同的概率為＝．
14．黨的二十大報告再次將勞動教育同“德育、智育、體育、美育”放在同等重要的戰(zhàn)略地位，明確了全面加強新時代大中小學(xué)勞動教育的重要性；為落實勞動教育，我校在暑假期間組織學(xué)生積極參與“勞動最光榮”活動，并設(shè)置了四個勞動項目：A．為家人做早飯，B．洗碗，C．打掃，D．洗衣服．要求每個學(xué)生必須選擇一個自己最擅長的勞動項目，并要堅持整個暑假．為了解全校參加各項目的學(xué)生人數(shù)，學(xué)校隨機抽取了部分學(xué)生進行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)所給信息，解答下列問題：
（1）本次接受抽樣調(diào)查的總?cè)藬?shù)是 120 人；
（2）請將上述兩個統(tǒng)計圖中缺失的部分補充完整；
（3）該校參加活動的學(xué)生共2600人，請估計該校參加A項目的學(xué)生有 390 人；
（4）小雯同學(xué)在暑假中養(yǎng)成了很好的勞動習(xí)慣，媽媽決定獎勵帶她去看兩場電影，已知新上映的四部電影《志愿軍》《汪汪隊》《孤注一擲》《我是哪吒2》（依次記為a，b，c，d）都深受大家喜愛，很難做出決定，于是將寫有這四個編號的卡片（除序號和內(nèi)容外，其余完全相同）背面朝上放置，洗勻放好，從中隨機抽取兩張卡片．請用列表或畫樹狀圖的方法，求抽到的兩張卡片恰好是《志愿軍》和《孤注一擲》的概率．
【解答】解：（1）本次接受抽樣調(diào)查的總?cè)藬?shù)是45÷37.5%＝120（人）．
故答案為：120．
（2）參加C項目的人數(shù)為120×25%＝30（人），
參加A項目的人數(shù)所占的百分比為×100%＝15%．
補全兩個統(tǒng)計圖如下．
（3）估計該校參加A項目的學(xué)生有2600×15%＝390（人）．
故答案為：390．
（4）畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中抽到的兩張卡片恰好是《志愿軍》和《孤注一擲》，即a和c的結(jié)果有2種，
∴抽到的兩張卡片恰好是《志愿軍》和《孤注一擲》的概率為＝．
課程標(biāo)準(zhǔn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
①列舉法求概率
②用頻率估算概率
掌握列舉法求概率的兩種方式，列表法與樹狀法求概率，并能在題目中熟練應(yīng)用。
能夠通過計算判斷游戲的公平性。
掌握頻率的意義，能夠用頻率估算概率。
a
b
c
A
（A，a）
（A，b）
（A，c）
B
（B，a）
（B，b）
（B，c）
C
（C，a）
（C，b）
（C，c）
甲
乙
丙
丁
甲
甲、乙
甲、丙
甲、丁
乙
乙、甲
乙、丙
乙、丁
丙
丙、甲
丙、乙
丙、丁
丁
丁、甲
丁、乙
丁、丙
1
2
3
4
1
0
1
2
3
2
﹣1
0
1
2
3
﹣2
﹣1
0
1
A盤
B盤
0
2
4
3
0，3
2，3
4，3
5
0，5
2，5
4，5
7
0，7
2，7
4，7
4
1
2
3
1
（1，4）
（1，1）
（1，2）
（1，3）
2
（2，4）
（2，1）
（2，2）
（2，3）
3
（3，4）
（3，1）
（3，2）
（3，3）
1
2
3
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
1
2
3
2
3
4
5
3
4
5
6
4
5
6
57
重復(fù)實驗次數(shù)
100
500
1000
5000
…
釘尖朝上次數(shù)
50
150
380
2000
…
射箭次數(shù)n
10
20
50
100
200
350
500
射中靶心的次數(shù)m
7
17
44
92
178
315
455
射中靶心的頻率
0.70
0.85
0.88
0.92
0.89
0.90
0.91

1
2
3
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
摸球的次數(shù)n
1000
2000
4000
5000
8000
10000
…
摸到白球的次數(shù)m
749
1499
2998
3751
6000
7501
…
摸到白球的頻率
0.7490
0.7495
0.7495
0.7502
0.750
0.7501
…
A1
A2
A3
B
A1
（A1，A2）
（A1，A3）
（A1，B）
A1
（A2，A1）
（A2，A3）
（A2，B）
A3
（A3，A1）
（A3，A2）
（A3，B）
B
（B，A1）
（B，A2）
（B，A3）

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