知識點01 旋轉的概念
旋轉的概念：
在平面內，把一個圖形繞著某一個點O按照順時針或逆時針旋轉一定角度的圖形變換叫做 旋轉 。點O叫做 旋轉中心 ，轉動的角度叫做 旋轉角 ，順時針或逆時針叫做 旋轉方向 。它們是旋轉的三要素。
旋轉的相關概念：
如果圖形上的點P經過旋轉變?yōu)辄cP′，那么這兩個點叫做 對應點 ，如果圖形上的線段AB經過旋轉變?yōu)辄cA′B′，那么這兩條線段叫做 對應線段 ，如果圖形上的∠ABC經過旋轉變?yōu)辄c∠A′B′C′，那么這兩個角叫做 對應角 。
題型考點：①判斷生活中的旋轉現(xiàn)象。②旋轉中心與對應點對應邊的判斷。
【即學即練1】
1．有下列現(xiàn)象：①高層公寓電梯的上升；②傳送帶的移動；③方向盤的轉動；④風車的轉動；⑤鐘擺的運動；⑥蕩秋千運動．其中屬于旋轉的有（ ）
A．2個B．3個C．4個D．5個
【解答】解：①高層公寓電梯的上升，是平移，故不符合要求：
②傳送帶的移動，是平移，故不符合要求；
③方向盤的轉動，是旋轉，故符合要求；
④風車的轉動，是旋轉，故符合要求；
⑤鐘擺的運動，是旋轉，故符合要求；
⑥蕩秋千運動，是旋轉，故符合要求；
故選：C．
【即學即練2】
2．如圖，△AOB旋轉到△A′OB′的位置．若∠AOA′＝90°，則旋轉中心是點 ,旋轉角是 , 點A的對應點是 , 線段AB的對應線段是 , ∠B的對應角是 ,∠BOB′＝ ．
【解答】解：由圖形可得，旋轉中心是點O，旋轉角是∠A'OA，點A的對應點為A'，線段AB的對應線段為A'B'，∠B的對應角為∠B'，∠BOB'＝AOA'＝90°．
故答案為：O、∠A′OA、A′、A′B′、∠B′、90°．
【即學即練2】
3．如圖，△ABC按順時針旋轉到△ADE的位置，以下關于旋轉中心和對應點的說法正確的是（ ）
A．點A是旋轉中心，點B和點E是對應點
B．點C是旋轉中心，點B和點D是對應點
C．點A是旋轉中心，點C和點E是對應點
D．點D是旋轉中心，點A和點D是對應點
【解答】解：∵如圖，△ABC按順時針旋轉到△ADE的位置，
∴點A是旋轉中心，點B和點D是對應點，點C和點E是對應點．
故A，B，D錯誤，C正確．
故選：C．
知識點02 旋轉的性質
旋轉的性質：
①旋轉前后的兩個圖形 全等 。所以對應邊 相等 ，對應角 相等 。
②對應點到旋轉中心的距離 相等 。
③對應點與旋轉中心的連線形成的夾角等于 旋轉角 。
題型考點：①旋轉的性質理解。②旋轉的性質利用。
【即學即練1】
4．下列關于圖形旋轉的說法中，錯誤的是（ ）
A．圖形上各點旋轉的角度相同
B．對應點到旋轉中心距離相等
C．由旋轉得到的圖形也一定可以由平移得到
D．旋轉不改變圖形的大小、形狀
【解答】解：A、圖形上各點旋轉的角度相同，本選項正確，不符合題意；
B、對應點到旋轉中心距離相等，本選項正確，不符合題意；
C、由旋轉得到的圖形不一定可以由平移得到，本選項不正確，符合題意；
D、旋轉不改變圖形的大小、形狀，本選項正確，不符合題意．
故選：C．
【即學即練2】
5．如圖，△ABC中，∠B＝35°，∠BAC＝70°，將△ABC繞點A旋轉逆時針旋轉α度（0＜α＜180）后得到△ADE，點E恰好落在BC上，則α＝（ ）
A．30°B．35°C．40°D．不能確定
【解答】解：∵∠B＝35°，∠BAC＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝75°，
∵將△ABC繞點A旋轉逆時針旋轉α度（0＜α＜180）后得到△ADE，點E恰好落在BC上，
∴AC＝AE，∠CAE＝α，
∴∠AEC＝∠C＝75°，
∴∠CAE＝α＝180°﹣∠AEC﹣∠C＝30°，
故選：A．
【即學即練3】
6．如圖．Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，將△ABC繞點B逆時針旋轉得△A′BC′，若點C′在AB上，則AA′的長為 ．
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝＝＝5，
由旋轉得：AC＝A′C′＝4，BC＝BC′＝3，∠C＝∠BC′A′＝90°，
∴AC′＝AB﹣BC′＝5﹣3＝2，∠AC′A′＝180°﹣∠BC′A′＝90°，
∴AA′＝＝＝2，
故答案為：2．
【即學即練4】
7．如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉30°到正方形AB′C′D′，圖中陰影部分的面積為（ ）
A．B．C．1﹣D．1﹣
【解答】解：如圖，設B′C′與CD的交點為E，連接AE，
在Rt△AB′E和Rt△ADE中，，
∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL），
∴∠DAE＝∠B′AE，
∵旋轉角為30°，
∴∠DAB′＝60°，
∴∠DAE＝×60°＝30°，
∴DE＝1×＝，
∴陰影部分的面積＝1×1﹣2×（×1×）＝1﹣．
故選：C．
知識點03 旋轉作圖
旋轉作圖的步驟：
①確定旋轉的三要素： 旋轉中心 ， 旋轉方向 ， 旋轉角 。
②在原圖中找到 關鍵點 ，做出圖形關鍵點旋轉后的 對應點 。
③按照 原圖形 連接各對應點。
題型考點：旋轉作圖。
【即學即練1】
8．已知：如圖，四邊形ABCD及一點P．
求作：四邊形A′B′C′D′，使得它是由四邊形ABCD繞P點順時針旋轉150°得到的．
【解答】解：
四邊形A′B′C′D′就是所求的圖形．
【即學即練2】
9．如圖，△ABC繞點O旋轉后，頂點A的對應點為A′，試確定旋轉后的三角形．
【解答】解：如圖所示：
知識點04 旋轉對稱圖形
平面直角坐標系中的旋轉：
若一個圖形繞著平面直角坐標系原點旋轉90°，則對應點之間的坐標關系為：原橫坐標的絕對值變?yōu)?br>對應點的 縱坐標的絕對值 ，原縱坐標的絕對值變成對應點的 橫坐標的絕對值 。坐標符號看坐標所在象限。 簡稱橫變縱，縱邊橫，符號看象限。
當在平面直角坐標系中繞著某點旋轉180°時，可利用中點坐標公式求解坐標。
旋轉對稱圖形：
若一個圖形繞著某點旋轉一定的角度能夠與原圖形 完全重合 ，這樣的圖形叫做旋轉對稱圖形。
題型考點：①判斷旋轉對稱圖形的旋轉角。②平面直角坐標系中的旋轉
【即學即練1】
10．下列四個圓形圖案中，分別以它們所在圓的圓心為旋轉中心，順時針旋轉120°后，能與原圖形完全重合的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A、最小旋轉角度＝＝120°；
B、最小旋轉角度＝＝90°；
C、最小旋轉角度＝＝180°；
D、最小旋轉角度＝＝72°；
綜上可得：順時針旋轉120°后，能與原圖形完全重合的是A．
故選：A．
【即學即練2】
11．如圖是一個旋轉對稱圖形，要使它旋轉后與自身重合，至少應將它繞中心逆時針方向旋轉的度數為（ ）
A．30°B．60°C．120°D．180°
【解答】解：正六邊形被平分成六部分，
因而每部分被分成的圓心角是60°，
因而旋轉60度的整數倍，就可以與自身重合．
則α最小值為60度．
故選：B．
【即學即練3】
12．如圖，將△ABC先向上平移1個單位，再繞點P按逆時針方向旋轉90°，得到△A′B′C′，則點A的對應點A′的坐標是（ ）
A．（0，4）B．（2，﹣2）C．（3，﹣2）D．（﹣1，4）
【解答】解：如圖，
△A′B′C′即為所求，
則點A的對應點A′的坐標是（﹣1，4）．
故選：D．
【即學即練4】
13．如圖，把圖中的△ABC經過一定的變換得到△A′B′C′，如果圖中△ABC上的點P的坐標為（a，b），那么它的對應點P′的坐標為（ ）
A．（a﹣2，b）B．（a+2，b）C．（﹣a﹣2，﹣b）D．（a+2，﹣b）
【解答】解：由圖可知，△ABC與△A′B′C′關于點（﹣1，0）成中心對稱，
設點P′的坐標為（x，y），
所以，＝﹣1，＝0，
解得x＝﹣a﹣2，y＝﹣b，
所以，P′（﹣a﹣2，﹣b）．
故選：C．
題型01 生活中的旋轉現(xiàn)象
【典例1】
下列運動屬于旋轉的是（ ）
A．滾動過程中的籃球的滾動
B．鐘表的鐘擺的擺動
C．氣球升空的運動
D．一個圖形沿某直線對折的過程
【解答】解：A、滾動過程中的籃球屬于滾動，不是繞著某一個固定的點轉動，不屬旋轉；
B、鐘表的鐘擺的擺動，符合旋轉變換的定義，屬于旋轉；
C、氣球升空的運動是平移，不屬于旋轉；
D、一個圖形沿某直線對折的過程是軸對稱，不屬于旋轉．
故選：B．
【典例2】
下列現(xiàn)象屬于旋轉的是（ ）
A．摩托車在急剎車時向前滑動
B．飛機起飛后沖向空中的過程
C．幸運大轉盤轉動的過程
D．筆直的鐵軌上飛馳而過的火車
【解答】解：A、摩托車在急剎車時向前滑動是平移，故此選項錯誤；
B、飛機起飛后沖向空中的過程是平移，故此選項錯誤；
C、幸運大轉盤轉動的過程是旋轉，故此選項正確；
D、筆直的鐵軌上飛馳而過的火車是平移，故此選項錯誤；
故選：C．
題型02 利用旋轉求角度
【典例1】
如圖，把△ABC繞C點順時針旋轉35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于點D，若∠A′DC＝90°，則∠A＝ °．
【解答】解：∵△ABC繞著點C順時針旋轉35°，得到△A′B′C′，
∴∠ACA′＝35°，
又∵∠A'DC＝90°，
∴∠A′＝55°，
∵∠A的對應角是∠A′，即∠A＝∠A′，
∴∠A＝55°；
故答案為：55．
【典例2】
如圖，將△ABC繞點C順時針旋轉，點B的對應點為點E，點A的對應點為點D，當點E恰好落在邊AC上時，連接AD，若∠ACB＝30°，則∠DAC的度數是（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【解答】解：由題意知△ABC≌△DEC，
則∠ACB＝∠DCE＝30°，AC＝DC，
∴∠DAC＝＝＝75°，
故選：D．
【典例3】
如圖，△ABC中∠BAC＝100°，將△ABC繞點A逆時針旋轉150°，得到△ADE，這時點B、C、D恰好在同一直線上，則∠E的度數為（ ）
A．50°B．75°C．65°D．60°
【解答】解：∵將△ABC繞點A逆時針旋轉150°，得到△ADE，
∴∠BAD＝150°，AD＝AB，∠E＝∠ACB，
∵點B，C，D恰好在同一直線上，
∴△BAD是頂角為150°的等腰三角形，
∴∠B＝∠BDA，
∴∠B＝（180°﹣∠BAD）＝15°，
∴∠E＝∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣100°﹣15°＝65°，
故選：C．
【典例4】
如圖，菱形ABCD，E是對角線AC上一點，將線段DE繞點E順時針旋轉角度2α，點D恰好落在BC邊上點F處，則∠DAB的度數為（ ）
A．αB．90°﹣αC．180°﹣2αD．2α
【解答】解：如圖，連接BE，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD＝BC，∠DAB＝∠DCB，∠ACD＝∠ACB，
在△DCE和△BCE中，
，
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴DE＝BE，∠EDC＝∠EBC，
∵將線段DE繞點E順時針旋轉角度2α，
∴DE＝EF，∠DEF＝2α，
∴BE＝DE＝EF，
∴∠EBF＝∠EFB，
∴∠EDC＝∠EBC＝∠EFB，
∵∠EFB+∠EFC＝180°，
∴∠EDC+∠EFC＝180°，
∵∠EDC+∠EFC+∠DEF+∠DCF＝360°，
∴∠DCF＝180°﹣2α＝∠DAB，
故選：C．
題型03 利用旋轉求線段
【典例1】
如圖，將矩形ABCD繞點A順時針旋轉90°后，得到矩形AB′C′D′，如果CD＝2DA＝2，那么CC′＝ ．
【解答】解：由旋轉的性質可知，∠CAC′＝90°，AC＝AC′，
Rt△ACD中，由勾股定理得，
AC＝＝＝，
在Rt△CAC′中，由勾股定理得，
CC′＝＝．
【典例2】
如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝30°，將△ABC繞點A按逆時針旋轉60°得到△AB1C1連接BC1，則BC1的長為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：根據旋轉的定義和性質可得AC1＝AC＝3，∠B1AC1＝∠BAC＝30°，∠BAB1＝60°．
所以∠BAC1＝90°．
所以在Rt△BAC1中，利用勾股定理可得BC1＝＝5．
故選：C．
【典例3】
如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，將△ABC繞點B逆時針旋轉得△A′BC′，若點C′在AB上，則AA′的長為（ ）
A．B．4C．2D．5
【解答】解：根據旋轉可知：
∠A′C′B＝∠C＝90°，A′C′＝AC＝4，AB＝A′B，
根據勾股定理，得AB＝＝＝5，
∴A′B＝AB＝5，
∴AC′＝AB﹣BC′＝2，
在Rt△AA′C′中，根據勾股定理，得
AA′＝＝＝2．
故選：C．
【典例4】
已知等邊△ABC的邊長為8，點P是邊BC上的動點，將△ABP繞點A逆時針旋轉60°得到△ACQ，點D是AC邊的中點，連接DQ，則DQ的最小值是（ ）
A．2B．4C．2D．不能確定
【解答】解：如圖，由旋轉可得∠ACQ＝∠B＝60°，
又∵∠ACB＝60°，
∴∠BCQ＝120°，
∵點D是AC邊的中點，
∴CD＝4，
當DQ⊥CQ時，DQ的長最小，
此時，∠CDQ＝30°，
∴CQ＝CD＝2，
∴DQ＝＝2，
∴DQ的最小值是2，
題型04 旋轉作圖與坐標計算
【典例1】
作圖：
（1）如圖甲，以點O為中心，把點P順時針旋轉45°．
（2）如圖乙，以點O為中心，把線段AB逆時針旋轉90°．
（3）如圖丙，以點O為中心，把△ABC順時針旋轉120°．
（4）如圖丁，以點B為中心，把△ABC旋轉180°．
【解答】解：（1）如圖甲，點P′為所求；
（2）如圖乙，線段A′B′為所求；
（3）如圖丙，△A′B′C′為所求；
（4）如圖丁，△A′BC′為所求．
【典例2】
在如圖所示的網格中，每個小正方形的邊長為1，每個小正方形的頂點叫格點，△ABC的三個頂點都在格點上，在圖中畫出將△ABC繞點C按順時針方向旋轉90°后得到的△A'B'C'．
【解答】解：如圖，△A'B'C'為所作．
【典例3】
如圖，在直角坐標系中，已知菱形OABC的頂點A（1，2），B（3，3）．作菱形OABC關于y軸的對稱圖形OA'B'C'，再作圖形OA'B'C'關于點O的中心對稱圖形OA″B″C″，則點C的對應點C″的坐標是（ ）
A．（2，﹣1）B．（1，﹣2）C．（﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）
【解答】解：∵點C的坐標為（2，1），
∴點C′的坐標為（﹣2，1），
∴點C″的坐標的坐標為（2，﹣1），
故選：A．
【典例4】
如圖，在平面直角坐標系中，點A（﹣1，0）與點B關于y軸對稱，現(xiàn)將圖中的“月牙①”繞點B順時針旋轉90°得到“月牙②”，則點A的對應點A′的坐標為（ ）
A．（1，2）B．（1，﹣2）C．（﹣2，1）D．（2，﹣4）
【解答】解：如圖，連接A′B，
∵點A（﹣1，0）與點B關于y軸對稱，
∴點B（1，0），
∴AB＝2，
∵月牙①繞點B順時針旋轉90°得到月牙②，
∴A′B⊥x軸，A′B＝AB，
∴A′的坐標為（1，2）．
故選：A．
【典例5】
如圖，將線段AB繞點O順時針旋轉90°得到線段A′B′，那么A（﹣2，5）的對應點A′的坐標是（ ）
A．（5，2）B．（2，5）C．（2，﹣5）D．（5，﹣2）
【解答】解：作AD⊥x軸于點D，作A′D′⊥x軸于點D′，
則OD＝A′D′，AD＝OD′，OA＝OA′，
∴△OAD≌△A′OD′（SSS），
∵A（﹣2，5），
∴OD＝2，AD＝5，
∴點A′的坐標為（5，2），
故選：A．
【典例6】
如圖1，已知△ABC三個頂點的坐標分別是A（﹣3，1），B（﹣1，﹣1），C（﹣2，2）．
（1）畫出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1，并寫出點A1，B1，C1的坐標；
（2）畫出△ABC繞點B逆時針旋轉90°所得到的△A2B2C2．
【解答】解：（1）如圖所示：A1（3，0），B1（1，﹣1），C1（2，2）；
（2）如圖所示：
【典例7】
如圖，平面直角坐標系內，小正方形網格的邊長為1個單位長度，△ABC的三個頂點的坐標分別為A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）
（1）畫出將△ABC向上平移1個單位長度，再向右平移5個單位長度后得到的△A1B1C1；
（2）畫出將△ABC繞原點O順時針方向旋轉90°得到△A2B2O；
（3）在x軸上存在一點P，滿足點P到A1與點A2距離之和最小，請直接寫出P點的坐標．
【解答】解：（1）如圖所示，△A1B1C1為所求做的三角形；
（2）如圖所示，△A2B2O為所求做的三角形；
（3）作A1點關于x軸的對稱點A3，
∴A3坐標為（4，﹣4），
又∵A2坐標為（3，1），
∴A2A3所在直線的解析式為：y＝﹣5x+16，
令y＝0，則x＝，
∴P點的坐標（，0）．
題型05 旋轉對稱圖形
【典例1】
圖中，不是旋轉對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、360°÷5＝72°，旋轉72°的整數倍即可與原圖形重合，是旋轉對稱圖形，故本選項正確；
B、不是旋轉對稱圖形，故本選項錯誤；
C、360°÷8＝45°，旋轉45°的整數倍即可與原圖形重合，是旋轉對稱圖形，故本選項正確；
D、360°÷4＝90°，旋轉90°的整數倍即可與原圖形重合，是旋轉對稱圖形，故本選項正確．
故選：B．
【典例2】
如圖所示的圖案繞旋轉中心旋轉后能夠與自身重合，那么它的旋轉角可能是（ ）
A．60°B．90°C．72°D．120°
【解答】解：該圖形被平分成五部分，因而每部分被分成的圓心角是72°，
并且圓具有旋轉不變性，因而旋轉72度的整數倍，就可以與自身重合．
故選：C．
【典例3】
數學課上，老師讓同學們觀察如圖所示的圖形，問：它繞著圓心O旋轉多少度后和它自身重合？甲同學說：45°；乙同學說：60°；丙同學說：90°；丁同學說：135°．以上四位同學的回答中，錯誤的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【解答】解：圓被平分成八部分，旋轉45°的整數倍，就可以與自身重合，因而甲，丙，丁都正確；錯誤的是乙．
故選：B．
【典例4】
點O是正五邊形ABCDE的中心，分別以各邊為直徑向正五邊形的外部作半圓，組成了一幅美麗的圖案（如圖）．這個圖案繞點O至少旋轉 °后能與原來的圖案互相重合．
【解答】解：連接OA，OE，則這個圖形至少旋轉∠AOE才能與原圖象重合，⑨⑨
∠AOE＝＝72°．
故答案為：72．
1．下列現(xiàn)象中是旋轉的是（ ）
A．雪橇在雪地上滑行B．抽屜來回運動
C．電梯的上下移動D．汽車方向盤的轉動
【解答】解：A、雪橇在雪地上滑行不是旋轉，故此選項錯誤；
B、抽屜來回運動是平移，故此選項錯誤；
C、電梯的上下移動是平移，故此選項錯誤；
D、汽車方向盤的轉動是旋轉，故此選項正確；
故選：D．
2．將△AOB繞點O旋轉180°得到△DOE，則下列作圖正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：△AOB與△DOE關于點O中心對稱的只有D選項．
故選：D．
3．如圖，將△OAB繞點O逆時針旋轉80°，得到△OCD，若∠A＝2∠D＝100°，則∠α的度數是（ ）
A．50°B．60°C．40°D．30°
【解答】解：∵將△OAB繞點O逆時針旋轉80°
∴∠A＝∠C，∠AOC＝80°
∴∠DOC＝80°﹣α
∵∠A＝2∠D＝100°
∴∠D＝50°
∵∠C+∠D+∠DOC＝180°
∴100°+50°+80°﹣α＝180° 解得α＝50°
故選：A．
4．如圖，在△ACB中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝1，△ACB繞點A順時針旋轉90°，得到△ADE，點B，E之間的距離為（ ）
A．2B．C．D．3
【解答】解：連接BE，
∵BC＝1，∠C＝90°，∠B＝60°，
∴AB＝2BC＝2，
由旋轉可知：∠BAE＝90°，AE＝AB＝2，
∴，
故選：C．
5．如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（﹣2，3），將點A繞原點O逆時針方向旋轉90°得到點B，則點B的坐標為（ ）
A．（﹣2，﹣3）B．（﹣3，﹣2）C．（2，3）D．（3，2）
【解答】解：過A點作AD⊥y軸，過B點作BE⊥x軸，
∵點A的坐標為（﹣2，3），
∴AD＝2，OD＝3，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOD+∠AOE＝90°，
∴∠BOE+∠AOE＝90°，
∴∠AOD＝∠BOE，
∵OA＝OB，
在△AOD和△BOE中，
，
∴△AOD≌△BOE（AAS），
∴OE＝OD＝3，OA＝OD＝3
∴點B的坐標為（﹣3，﹣2），
故選：B．
6．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點B在第二象限，點A在y軸正半軸上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．將△AOB繞點O順時針旋轉90°得到△A'OB'，則點B的對應點B'的坐標是（ ）
A．（3，1）B．C．D．
【解答】解：過點B'作B'C⊥y軸于C，如圖所示：
∵∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，
∴∠B'OA＝60°，OA＝OB＝2，
∵將△AOB繞點O順時針旋轉90°得到△A'OB'，
∴∠BOB'＝90°，OA＝OB＝OA'＝A'B'＝2，
∴∠B'OA'＝∠OB'A'＝90°﹣∠B'OA＝30°，
∴∠B'A'C＝∠B'OA'+∠OB'A'＝60°，
∴∠A'B'C＝30°，
∴A'C＝1，
∴OC＝A'C+OA＝3，，
∴點B'的坐標為：，
故選：B．
7．如圖，在平面直角坐標系中，將正方形OABC繞點O逆時針旋轉45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，繞點O連續(xù)旋轉2023次得到正方OA2023B2023C2023，如果點A的坐標為（1，0），那么B2023的坐標為（ ）
A．（1，1）B．C．D．（﹣1，﹣1）
【解答】解：∵點A的坐標為（1，0），
∴OA＝1，
∵四邊形OABC是正方形，
∴∠OAB＝90°，AB＝OA＝1，
∴B（2，2），
連接OB，如圖：
由勾股定理得：，
由旋轉的性質得：，
∵將正方形OABC繞點O逆時針旋轉45°后得到正方形OA1B1C1，
相當于將線段OB繞點O逆時針旋轉45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，
∴，B2（﹣1，1），，B4（﹣1，﹣1），，B6（1，﹣1），，…，
發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，則2023÷8＝252…7，
∴點B2023的坐標為，
故選：B．
8．如圖，點E為正方形ABCD內一點，∠AEB＝90°，將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉90°，得到△CBG．延長AE交CG于點F，連接DE．下列結論：①AF⊥CG，②四邊形BEFG是正方形，③若DA＝DE，則CF＝FG；其中正確的結論是（ ）
A．①②③B．①②C．②③D．①③
【解答】解：設AF交BC于K，如圖：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABK＝90°，
∴∠KAB+∠AKB＝90°，
∵將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉90°，得到△CBG，
∴∠KAB＝∠BCG，
∵∠AKB＝∠CKF，
∴∠BCG+∠CKF＝90°，
∴∠KFC＝90°，
∴AF⊥CG，故①正確；
∵將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉90°，
∴∠AEB＝∠CGB＝90°，BE＝BG，∠EBG＝90°，
又∵∠BEF＝90°，
∴四邊形BEFG是矩形，
又∵BE＝BG，
∴四邊形BEFG是正方形，故②正確；
如圖，過點D作DH⊥AE于H，
∵DA＝DE，DH⊥AE，
∴AH＝AE，
∴∠ADH+∠DAH＝90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAH+∠EAB＝90°，
∴∠ADH＝∠EAB，
又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，
∴△ADH≌△BAE（AAS），
∴AH＝BE＝AE，
∵將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉90°，
∴AE＝CG，
∵四邊形BEFG是正方形，
∴BE＝GF，
∴GF＝CG，
∴CF＝FG，故③正確；
∴正確的有：①②③，
故選：A．
9．如圖，將△ABC以點A為旋轉中心逆時針旋轉得到△ADE，當點D在BC邊上時，恰好有AE∥BC，若∠C＝40°，則旋轉角∠EAC＝ ，∠B＝ ．
【解答】解：由旋轉可知：△ABC≌△ADE，
∴∠C＝∠E＝40°，AB＝AD，
∵AE∥BC，
∴∠CAE＝∠C＝40°，
∵∠BAD、∠CAE均為旋轉角，
∴∠BAD＝∠CAE＝40°，
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝＝70°，
故答案為：40°，70°．
10．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，將△ABC繞A點按順時針旋轉60°，得到△AB′C′，則CC′＝ ．
【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴，
∵將△ABC繞A點按順時針旋轉60°，得到△AB′C′，
∴AC＝AC′，∠CAC′＝60°，
∴△ACC′是等邊三角形，
∴CC′＝AC＝4，
故答案為：4．
11．如圖，等邊△ABC中，BC＝12，M是高CH所在直線上的一個動點，連接MB，將線段BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接HN．在點M運動過程中，線段HN長度的最小值是 ．
【解答】解：如圖，
取BC的中點G，連接MG，
∵線段BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，
∴∠MBH+∠HBN＝60°，
又∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝60°，
即∠MBH+∠MBC＝60°，
∴∠HBN＝∠GBM，
∵CH是等邊三角形的高，
∴BH＝AB，
∴BH＝BG，
又∵BM旋轉到BN，
∴BM＝BN，
∴△MBG≌△NBH（SAS），
∴MG＝NH，
根據垂線段最短，當MG⊥CH時，MG最短，即HN最短，
此時∠BCH＝×60°＝30°，
CG＝BC＝×12＝6，
∴MG＝CG＝3，
∴HN＝3．
∴線段HN長度的最小值是3．
故答案為：3．
12．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，點P為AB上一點，將線段PB繞點P順時針旋轉得線段PQ，點Q在射線BC上，當PQ的垂直平分線MN經過△ABC一邊中點時，PB的長為 ．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，
∴AB＝8，，
PQ的垂直平分線MN經過△ABC一邊中點，可分為以下三種情況：經過AB的中點D；經過AC的中點E；經過BC的中點F．
當MN經過AB的中點D時，交BC于點G，如圖：，
∵PB繞點P順時針旋轉得線段PQ，
∴PQ＝PB，
∴∠PQB＝∠B＝30°，
∵∠DPQ是△PQB的外角，
∴∠DPQ＝∠B+∠PQB＝60°，
∵MN垂直平分PQ，
∴PD＝QD，
∴△PQD是等邊三角形，
∴PD＝QP，
∴PD＝PB，
∴；
當MN經過AC的中點E時，交BC于點G，如圖：，
∵∠PQB＝30°，MN垂直PQ，
∴∠EGQ＝60°，
∴∠CEG＝30°，
在Rt△ECG中，EC＝2，
∴，
∴，
∵點G在MN上，
∴PG＝QG，
∴∠PQB＝∠QPG＝30°，
∵∠PGB是△PQG的外角，
∴∠PGB＝∠PQB+∠QPG＝60°，
∴∠GPB＝90°，
∴PG⊥PB，
在Rt△PGB中，，
∴，
∴由勾股定理得：；
當MN經過BC的中點F時，交BC于點F（G），如圖：，
同理可證：PG⊥PB，
在Rt△PGB中，∠B＝30°，，
∴PB＝3．
綜上：PB的長為：2或5或3．
故答案為：2或3或5．
13．如圖，在△ABC中，點E在BC邊上，AE＝AB，將線段AC繞A點旋轉到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，連接EF，EF與AC交于點G．
（1）求證：BC＝EF；
（2）若∠ABC＝64°，∠ACB＝25°，求∠AGE的度數．
【解答】（1）證明：∵∠CAF＝∠BAE，
∴∠BAC＝∠EAF．
∵將線段AC繞A點旋轉到AF的位置，
∴AC＝AF．
在△ABC與△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴BC＝EF；
（2）解：∵AB＝AE，∠ABC＝64°，
∴∠BAE＝180°﹣64°×2＝52°，
∴∠FAG＝∠BAE＝52°．
∵△ABC≌△AEF，
∴∠F＝∠C＝25°，
∴∠FGC＝∠FAG+∠F＝52°+25°＝77°，
∴∠AGE＝77°．
14．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（﹣1，5），B（﹣3，1）和C（4，0），請按下列要求畫圖并填空．
（1）平移線段AB，使點A平移到點C，畫出平移后所得的線段CD，并寫出點D的坐標為 ；
（2）將線段AB繞點A逆時針旋轉90°，畫出旋轉后所得的線段AE，連接BE，BC，EC，判斷△BEC的形狀；
（3）在y軸上找出點F，使△ABF的周長最小，并直接寫出點F的坐標為 ．
【解答】解：（1）如圖所示，D（2，﹣4），
故答案為：（2，﹣4）；
（2）如圖所示，BE2+EC2＝BC2，
∴△BEC的形狀為直角三角形；
（3）作B點關于y軸對稱點B’，連接AB'交y軸于F點，此時△ABF的周長最小，F(xiàn)（0，4），
故答案為：（0，4）．
15．如圖，有一副直角三角板如圖1放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），PA，PB與直線MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以繞點P逆時針旋轉．
（1）在圖1中，∠DPC＝ ；
（2）①如圖2，若三角板PBD保持不動，三角板PAC繞點P逆時針旋轉，轉速為10°/秒，轉動一周三角板PAC就停止轉動，在旋轉的過程中，當旋轉時間為多少時，有PC∥DB成立；
②如圖3，在圖1基礎上，若三角板PAC的邊PA從PN處開始繞點P逆時針旋轉，轉速為3°/秒，同時三角板PBD的邊PB從PM處開始繞點P逆時針旋轉，轉速為2°/秒，當PC轉到與PM位置重合時，兩三角板都停止轉動，在旋轉過程中，當∠CPD＝∠BPM時，求旋轉的時間是多少？
【解答】解：（1）∵∠BPD＝∠D＝45°，∠APC＝60°，
∴∠DPC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
故答案為：75°；
（2）①如圖1，此時，BD∥PC成立，
∵PC∥BD，∠DBP＝90°，
∴∠CPN＝∠DBP＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠CPA＝60°，
∴∠APN＝30°，
∵轉速為10°/秒，
∴旋轉時間為3秒；
如圖2，PC∥BD，
∵PC∥BD，∠PBD＝90°，
∴∠CPB＝∠DBP＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠CPA＝60°，
∴∠APM＝30°，
∵三角板PAC繞點P逆時針旋轉D的角度為180°+30°＝210°，
∵轉速為10°/秒，
∴旋轉時間為21秒，
綜上所述，當旋轉時間為3或21秒時，PC∥DB成立；
②設旋轉的時間為t秒，由題知，∠APN＝3t°，∠BPM＝2t°，
∴∠BPN＝180°﹣∠BPM＝180°﹣2t°，
∴∠CPD＝360°﹣∠BPD﹣∠BPN﹣∠APN﹣∠APC＝360°﹣45°﹣（180°﹣2t°）﹣（3t°）﹣60°＝75°﹣t°，
當∠CPD＝∠BPM，即2t°＝75°﹣t°，
解得：t＝25，
∴當∠CPD＝∠BPM，求旋轉的時間是25秒．
課程標準
學習目標
①旋轉的定義及生活中的旋轉現(xiàn)象
②旋轉的性質
③旋轉作圖
④旋轉對稱圖形
理解掌握旋轉的定義并能夠判斷生活中的旋轉現(xiàn)象。
掌握旋轉的性質，并能夠利用性質熟練解題。
掌握旋轉作圖的方法步驟，能夠確定旋轉中心，作出旋轉后的圖形。
掌握旋轉對稱圖形。

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23.1 圖形的旋轉

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