知識點01 二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系
與開口方向的關(guān)系。
對稱軸與的關(guān)系；對稱軸在軸左邊或右邊與的符號的關(guān)系；對稱軸與±1的關(guān)系可得以及的關(guān)系。
函數(shù)與軸交點坐標與的關(guān)系。
函數(shù)與軸的交點個數(shù)與的關(guān)系。
是自變量為 1 的函數(shù)值，是自變量為 ﹣1 的函數(shù)值。
是自變量為 2 的函數(shù)值，是自變量為 ﹣2 的函數(shù)值。
是自變量為 3 的函數(shù)值，是自變量為 ﹣3 的函數(shù)值。
【即學(xué)即練1】
1．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，有下列5個結(jié)論：
①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤b2＞4ac．
其中正確的結(jié)論的有（ ）
A．2個B．3個C．4個D．5個
【解答】解：開口向下，則a＜0，
與y軸交于正半軸，則c＞0，
∵﹣＞0，
∴b＞0，
則abc＜0，①正確；
∵﹣＝1，
則b＝﹣2a，
∵a﹣b+c＜0，
∴3a+c＜0，②錯誤；
∵x＝0時，y＞0，對稱軸是直線x＝1，
∴當(dāng)x＝2時，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，③正確；
∵b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，④正確；
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，⑤正確．
故選：C．
【即學(xué)即練2】
2．如圖，根據(jù)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象得到如下結(jié)論：①abc＞0 ②2a﹣b＝0 ③a+b+c＝0 ④3a+c＜0 ⑤當(dāng)x＞﹣2時，y隨x的增大而增大 ⑥一定存在實數(shù)x0，使得ax+bx0＞a﹣b成立．上述結(jié)論，正確的是（ ）
A．①②⑤B．②③④C．②③⑥D(zhuǎn)．③④⑤
【解答】解：∵拋物線開口向上、頂點在y軸左側(cè)、拋物線與y軸交于負半軸，
∴a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故①錯誤；
∵﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴2a﹣b＝0，故②正確；
∵拋物線過點（﹣3，0），對稱軸為直線x＝﹣1，
∴拋物線過點（1，0），
∴a+b+c＝0，故③正確；
∴b＝2a，a+b+c＝0，
∴3a+c＝0，故④錯誤；
∵拋物線開口向上，對稱軸是直線x＝﹣1，
∴當(dāng)x＞﹣1時，y隨x的增大而增大；故⑤錯誤；
∵函數(shù)最小值為a﹣b+c，
∴當(dāng)x0≠﹣1時，則ax+bx0+c＞a﹣b+c，即ax+bx0＞a﹣b，
∴一定存在實數(shù)x0，使得ax+bx0＞a﹣b成立，故⑥正確；
故選：C．
【即學(xué)即練3】
3．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，現(xiàn)有以下結(jié)論：①abc＞0；②2a﹣b+c＜0；③4a+2b+c＝0；④2a﹣b＝0；⑤．其中正確的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【解答】解：∵拋物線的開口向下，對稱軸為，與y軸交于正半軸，
∴a＜0，b＝﹣2a＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①錯誤；
∵拋物線與x軸交于點（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴2a﹣b+c＝a＜0，故②正確；
根據(jù)對稱性，x＝2與x＝0的函數(shù)值相同，
∴4a+2b+c＝c＞0，故③錯誤；
∵b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故④錯誤；
∵拋物線與x軸交于點（﹣1，0），對稱軸為，
∴拋物線與x軸的另一個交點為（3，0），
∴9a+3b+c＝0，
∴，故⑤正確；
綜上，正確的有2個；
故選：B．
【即學(xué)即練4】
4．某二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論中一定成立的有（ ）
①abc＞0；
②a﹣b+c＜0；
③；
④8a+c＞0．
A．1個B．2個C．3個D．4個
【解答】解：∵函數(shù)的對稱軸在y軸右側(cè)，
∴ab＜0，
∵圖象交于y軸的負半軸，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①正確；
∵函數(shù)的對稱軸為x＝1，函數(shù)和x軸的一個交點是（3，0），則另外一個交點為（﹣1，0），
∴當(dāng)x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＝0，故②錯誤；
∵函數(shù)的對稱軸為x＝﹣＝1，
∴a＝﹣b，故③錯誤；
由②③得，b＝﹣2a，a﹣b+c＝0，故3a+c＝0，而a＞0，即5a＞0，故8a+c＞0，故④正確；
故選：B．
知識點02 二次函數(shù)的最值問題
求線段最值問題：
求圖形的面積最值問題：
將線段的最值與面積的最值統(tǒng)統(tǒng)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值求解。
【即學(xué)即練1】
5．如圖，在平面直角坐標系中，點A在拋物線y＝3x2﹣2x+2上運動，過點A作AC⊥x軸于點C，以AC為對角線作矩形ABCD，連接BD，則對角線BD的最小值為（ ）
A．2B．4C．D．
【解答】解：∵y＝3x2﹣2x+2＝3（x﹣）2+，
∴拋物線的頂點坐標為（，），
∵四邊形ABCD為矩形，
∴BD＝AC，
而AC⊥x軸，
∴AC的長等于點A的縱坐標，
當(dāng)點A在拋物線的頂點時，點A到x軸的距離最小，最小值為，
∴對角線BD的最小值為．
故選：C．
【即學(xué)即練2】
6．如果一個矩形的周長與面積的差是定值m（2＜m＜4），我們稱這個矩形為“定差值矩形”．如圖，在矩形ABCD中，AB＝x，AD＝y(tǒng)，2（x+y）﹣xy＝，那么這個“定差值矩形”的對角線AC的長的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵AC2＝AB2+BC2，
∴AC2＝x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，
∵2（x+y）﹣xy＝，
∴xy＝2（x+y）﹣，
∴AC2＝x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（x+y）2﹣4（x+y）+7＝（x+y﹣2）2+3，
∴當(dāng)x+y＝2時，AC有最小值為，
故選：C．
【即學(xué)即練3】
7．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm．點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB運動：同時，點Q從點B出發(fā)，2cm/s的速度沿BC運動．當(dāng)點Q到達點C時，P、Q兩點同時停止運動．設(shè)動點運動的時間為t（s）．
（1）當(dāng)t為何值時，△PBQ的面積為2cm2；
（2）求四邊形PQCA的面積S的最小值．
【解答】解：（1）由題意得：PB＝（3﹣t）cm，BQ＝2tcm，
S△PBQ＝BQ?PB＝×2t×（3﹣t）＝﹣t2+3t（0≤t≤2），
∵S△PBQ＝﹣t2+3t＝2，
解得t＝1或t＝2，
∴當(dāng)t＝1s或2s時，△PBQ的面積為2cm2；
（2）∵S＝﹣（﹣t2+3t）＝t2﹣3t+6＝（t﹣）2+（0≤t≤2），
∵a＝1，
∴t＝﹣＝s時，S有最小值，最小值為cm2．
【即學(xué)即練4】
8．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E，F(xiàn)，G，H四點一次是邊AB，BC，CD，DA上一點（不與各頂點重合），且AE＝AH＝CG＝CF，記四邊形EFGH面積為S（圖中陰影），AE＝x．
（1）求S關(guān)于x的函數(shù)表達式，并直接寫出自變量的取值范圍．
（2）求x為何值時，S的值最大，并寫出S的最大值．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，
∵AE＝AH＝CG＝CF，
∴BE＝DG，BF＝DH，
∴△AEH≌△CFG（SAS），△EBF≌△HDG（SAS），
所以S＝S矩形ABCD﹣2S△AEH﹣2S△EFB＝2×4﹣2×x2﹣2×（4﹣x）（2﹣x）＝﹣2x2+6x（0＜x＜2）．
（2）S＝﹣2x2+6x＝﹣2（x﹣）2+．
所以當(dāng)x＝時，S的值最大，最大值為．
【即學(xué)即練5】
9．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，∠C＝45°，BD平分∠ABC．
（1）求證：AB⊥BC；
（2）已知AD＝AB＝4，BC＝8，點P，Q分別是線段AD，BC上的點，BQ＝2AP，
過點P作PR∥AB交BD于R，記y表示△PRQ的面積，x表示線段AP的長度．如果
在一個直角三角形中，它的兩個銳角都是45°，那么它的兩條直角邊的長度相等，請你根據(jù)題目條件，寫出表示變量y與x關(guān)系的關(guān)系式．
（3）當(dāng)x＝ 時，y取得最大值 ．
【解答】（1）證明：∵∠C＝45°，∠BDC＝90°，
∴∠DBC＝180°﹣45°﹣90°＝45°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝45°，
∴∠ABC＝90°；
∴AB⊥BC；
（2）解：y＝（4﹣x）x＝﹣x2+2x；
（3）解：當(dāng)x＝2時，y取得最大值2，
y＝﹣x2+2x
＝﹣（x2﹣4x+4）+2
＝﹣（x﹣2）2+2，
故當(dāng)x＝2時，y取得最大值2．
故答案為：2，2．
【即學(xué)即練6】
10．如圖，拋物線與x軸交于A（4，0），B兩點，與y軸正半軸交于點C（0，4），點P為直線AC上方拋物線上一動點．
（1）求拋物線的解析式：
（2）如圖1，若PQ⊥AC，垂足為Q，當(dāng)PQ的長度為最大值時，求此時點P的坐標；
（3）如圖2，若PQ⊥AC，垂足為Q，且AQ＝3PQ，求此時點P的坐標．
【解答】解：（1）將點A（4，0），C（0，4）代入，
∴，
解得，
∴；
（2）如圖1，連接PC，PA，
當(dāng)PQ的長度最大時，△PAC的面積最大，
作PD∥y軸，交直線AC于點D，
設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b′，
代入點A（4，0），C（0，4），
可得：，解得：，
得到直線AC的解析式為y＝﹣x+4，
設(shè)點，則D（t，﹣t+4），
∴，
∴，
∴當(dāng)t＝2時，△PAC面積最大，
∵A（4，0），C（0，4），
∴利用勾股定理可得，
又∵，
∴△PAC面積最大時，PQ也最大，
即t＝2，
此時，點P的坐標為（2，4）；
（3）過點P作PH⊥x軸，垂足為H，交AC于點G，
∵OC＝OA＝4，
∴∠OCA＝∠OAC＝45°，
∵PQ⊥AC，PH⊥x軸，
∴∠HGA＝∠OAC＝45°，
∴∠HGA＝∠PGQ＝45°＝∠QPG，
∴GQ＝PQ，GH＝AH，
∴，，
∵AQ＝3PQ，GQ＝PQ，
∴AG＝2PQ，
∴，即，
∴GH＝PG，
∴G點是PH的中點，
設(shè)，G（t，﹣t+4），
∴，
解得t＝2或t＝4（舍），
∴P點坐標為：（2，4）．
知識點03 二次函數(shù)的存在性問題
存在等腰三角形：
設(shè)出所求點的坐標，利用兩點間的距離公式表示出三角形的三邊，分別選取其中兩邊為腰，利用腰相等建立方程求解。
存在直角三角形：
設(shè)出所求點的坐標，利用兩點之間的距離公式表示出三角形的三邊的平方，在利用各自為斜邊的平方等于兩直角邊的平方的和建立方程求解。
存在平行四邊形：
設(shè)出所求點的坐標，結(jié)合已知點討論各自為對角線時的情況。利用中點坐標公式，平行四邊形對角線的性質(zhì)——相互平分建立方程求解。即兩條對角線兩邊端點求得的中點坐標相等。
【即學(xué)即練1】
11．?如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝ax2﹣2x+c與直線y＝kx+b都經(jīng)過A（0，﹣3），B（3，0）兩點，該拋物線的頂點為C．
（1）求此拋物線和直線AB的解析式；
（2）設(shè)直線AB與該拋物線的對稱軸交于點E，在線段EB上是否存在一點M，過點M作x軸的垂線交拋物線于點N，使四邊形CEMN是平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）設(shè)點P是直線AB下方拋物線上的一動點，當(dāng)△PAB面積最大時，求出點P的坐標，并求出△PAB面積的最大值．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2﹣2x+c經(jīng)過A（0，﹣3）、B（3，0）兩點，
∴
∴
∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，
∵直線y＝kx+b經(jīng)過A（0，﹣3）、B（3，0）兩點，
∴
解得
∴直線AB的解析式為y＝x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴拋物線的頂點C的坐標為（1，﹣4），
∵CE∥y軸，
∴E（1，﹣2），
∴CE＝2，
如圖，點M在x軸下方，四邊形CEMN為平行四邊形，則CE＝MN，
設(shè)M（a，a﹣3），則N（a，a2﹣2a﹣3），
∴MN＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，
∴﹣a2+3a＝2，
解得：a＝2，a＝1（舍去），
∴M（2，﹣1），
綜合可得M點的坐標為（2，﹣1）．
（3）如圖，作PG∥y軸交直線AB于點G，
設(shè)P（m，m2﹣2m﹣3），則G（m，m﹣3），
∴PG＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∴S△PAB＝S△PGA+S△PGB＝＝，
∴當(dāng)m＝時，△PAB面積的最大值是，
∴此時P點坐標為（，﹣）．
【即學(xué)即練2】
12．如圖1所示，已知直線y＝kx+m與拋物線y＝ax2+bx+c分別交于x軸和y軸上同一點，交點分別是點B（6，0）和點C（0，6），且拋物線的對稱軸為直線x＝4．
（1）請分別求出k，m，a，b的值；
（2）如圖2，點Q是線段BC上一點，且，點M是y軸上一個動點，求線段MQ+MA的最小值；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PBC是直角三角形？若存在請直接寫出P點坐標，不存在請說明理由．
?
【解答】解：（1）∵直線y＝kx+m過點B（6，0）和點C（0，6），
∴，
∴，
∴y＝﹣x+6，
∵拋物線y＝ax2+bx+c過點B（6，0）和點C（0，6），對稱軸為直線x＝4，
∴，
∴，
∴y＝x2﹣4x+6，
∴k＝﹣1，m＝6，a＝，b＝﹣4；
（2）過點Q作QN⊥y軸，垂足為N，作A（2，0）關(guān)于y軸的對稱點A'（﹣2，0），
∵OB＝OC＝6，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OCB＝45°，
∴△CNQ是等腰直角三角形，
∴NQ＝CN＝＝4，
∴ON＝OC﹣CN＝2，
∴Q（4，2），
∴MQ+MA＝MQ+MA'≥QA'＝＝2，
∴MQ+MA的最小值為2．
（3）∵拋物線的對稱軸為直線x＝4，
∴設(shè)P點坐標為（4，y），
∵C（0，6），B（6，0），
∴PC2＝16+（y﹣6）2＝y(tǒng)2﹣12y+52，
∴PC2＝4+y2，
∴PC2＝72，
∴當(dāng)∠PBC＝90°時，y2﹣12y+52＝4+y2+72，解得y＝﹣2，
當(dāng)∠PCB＝90°時，4+y2＝y(tǒng)2﹣12y+52+72，解得y＝10，
當(dāng)∠BPC＝90°時，y2﹣12y+52+4+y2＝72，解得y＝3±，
∴P點坐標為（4，﹣2）或（4，10）或（4，3+）或（4，3﹣）．
【即學(xué)即練3】
13．如圖，在平面直角坐標系中，直線AB和拋物線交于點A（﹣4，0），B（0，4），且拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點N在第四象限的拋物線上，且△NAB是以AB為底的等腰三角形，求N點的坐標；
（3）點P是直線AB上方拋物線上的一動點，當(dāng)點P在何處時，點P到直線AB的距離最大，并求出最大距離．
【解答】解：（1）設(shè)拋物線與x軸的另一個交點為C，
∵對稱軸x＝﹣1，A（﹣4，0），
∴C（2，0），
設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+4）（x﹣2），把B（0，4）代入得到a＝﹣，
∴拋物線的解析式為y＝﹣（x+4）（x﹣2），即y＝﹣x2﹣x+4．
（2）如圖1中，
∵A（﹣4，0），B（0，4），
∴直線AB的解析式為y＝x+4，
∴線段AB的中垂線的解析式為y＝﹣x，設(shè)直線y＝﹣x交拋物線于N，則NA＝BN．
由解得或（舍棄），
∴點N坐標（2，﹣2）．
（3）如圖2中，設(shè)P（m，﹣m2﹣m+4），
∵S△PAB＝S△PAO+S△PBO﹣S△AOB
∴S△PAB＝×4×（﹣m2﹣m+4）+×4×（﹣m）﹣×4×4＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴m＝﹣2時，△PAB面積最大，最大值為4，設(shè)P到AB的距離為h，則此時h最大，
∴?AB?h＝4，
∴h＝．
∴當(dāng)P（﹣2，4）設(shè)，點P到AB的距離最大，最大值為．
【即學(xué)即練4】
14．如圖，直線y＝﹣2x+4與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝﹣2x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）P為直線AB上的動點，當(dāng)點P繞原點O旋轉(zhuǎn)180°的對應(yīng)點Q在拋物線上時，求點P的坐標；
（3）M為直線AB上的動點，N為拋物線上的動點，當(dāng)以點O，A，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點M的坐標．
【解答】解：（1）∵直線y＝﹣2x+4與x軸交于點A，與y軸交于點B，
∴A（2，0），B（0，4），
把A、B兩點坐標代入y＝﹣2x2+bx+c，
得到，解得，
∴拋物線的解析式為y＝﹣2x2+2x+4．
（2）設(shè)P（m，﹣2m+4）則Q（﹣m，2m﹣4），
把點Q坐標代入y＝﹣2x2+2x+4中，
得2m﹣4＝﹣2m2﹣2m+4，
解得m＝﹣1，
∴點P坐標為（﹣1+，6﹣2）或（﹣1﹣，6+2）．
（3）設(shè)M（m，﹣2m+4），由題意A（2，0），
①當(dāng)OA為平行四邊形OAMN的邊時，MN＝0A＝2，則N（m﹣2，﹣2m+4），
把點N坐標代入y＝﹣2x2+2x+4中，
得﹣2m+4＝﹣2（m﹣2）2+2（m﹣2）＝4，
整理得m2﹣6m+6＝0，
解得m＝3±，
∴點M坐標為（3+，﹣2﹣2）或（3﹣，﹣2+2）．
②當(dāng)OA為對角線時，
∵OA與MN互相平分，OA的中點（1，0），
∴N（2﹣m，2m﹣4），
把N點坐標代入y＝﹣2x2+2x+4，
得到2m﹣4＝﹣2（2﹣m）2＝2（2﹣m）+4，
整理得m2﹣2m﹣2＝0，
解得m＝1，
∴點M坐標為（1+，2﹣2）或（1﹣，2+2）．
綜上所述滿足條件的點M坐標為（3+，﹣2﹣2）或（3﹣，﹣2+2）或（1+，2﹣2）或（1﹣，2+2）．
【即學(xué)即練5】
15．如圖，點A在x軸正半軸上，點C在y軸正半軸上，OA＝2OC，將矩形OABC繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到矩形ODEF．拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過F、D、B三個點，其頂點在直線y＝x﹣上，直線L：y＝kx+m經(jīng)過點E和點A，點P是拋物線y＝ax2+bx+c上第一象限任意一點，過點P作x軸的垂線交直線L于點M．
（1）求abc的值；
（2）設(shè)P點橫坐標為t，求線段PM的長（用t的代數(shù)式表示）；
（3）以A、B、P、M四個點為頂點的四邊形會是平行四邊形嗎？如果會，寫出點P的坐標，如果不會，請說明理由．
【解答】解：（1）由題意可設(shè)F（﹣m，0），則D（0，2m），B（2m，m），
把D、F、B三點坐標代入y＝ax2+bx+c可得，
解得，
∴拋物線解析式為y＝﹣x2+x+2m，
∴拋物線的頂點坐標為（m，），
∵頂點在直線y＝x﹣上，
∴m＝×﹣，
∴m＝2，
∴a＝﹣，b＝，c＝4，
∴拋物線解析式為y＝﹣x2+x+4，
∴abc＝﹣．
（2）（1）可知A（4，0），E（﹣2，4），設(shè)直線AE的解析式為y＝kx+b，則有，解得，
∴直線AE的解析式為y＝﹣x+，
∵P（t，﹣t2+t+4），M（t，﹣t+），
∴PM＝﹣t2+t+4﹣（﹣t+）＝﹣t2+t+（0＜t＜）．
（3）會是平行四邊形．
理由：當(dāng)PM＝AB＝2時，
﹣t2+t+＝2，
解得t＝或4（舍棄），
∴t＝時，點P坐標（，）．
題型01 二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系
【典例1】
已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，給出下列結(jié)論：
①abc＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③a﹣b＞m（am+b）（m為任意實數(shù)）；
④若點（﹣3，y1）和點（3，y2）在該圖象上，則y1＞y2；
其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②B．①④C．②③D．②④
【解答】解：∵二次函數(shù)開口向下，且與y軸的交點在x軸上方，
∴a＜0，c＞0，
∵對稱軸為x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，
故①錯誤；
∵拋物線的對稱軸是直線x＝﹣1，x＝0時，y＝c＞0，
∴當(dāng)x＝﹣2時，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，
∴②正確；
∵拋物線開口向下，對稱軸為：x＝﹣1，
∴當(dāng)x＝﹣1時，y有最大值a﹣b+c，
∴當(dāng)x＝m時，函數(shù)值不大于a﹣b+c，
∴a﹣b+c≥am2+bm+c．
∴a﹣b≥m（am+b）（m為任意實數(shù)），
∴③錯誤；
點（﹣3，y1）到對稱軸的距離為：﹣1﹣（﹣3）＝2，
（3，y2）到對稱軸的距離為：3﹣（﹣1）＝4，
∵拋物線開口向下，
∴y1＞y2，
∴④正確．
故選：D．
【典例2】
拋物線y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常數(shù)且a≠0，c＞0）經(jīng)過點A（3，0）．下列四個結(jié)論：
①該拋物線一定經(jīng)過B（﹣1，0）；
②2a+c＞0；
③點P1（t+2022，y1），P2（t+2023，y2），在拋物線上，且y1＞y2，則t＞﹣2021；
④若m，n（m＜n）是方程ax2+2ax+c＝p的兩個根，其中p＞0，則﹣3＜m＜n＜1．
其中正確的個數(shù)有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【解答】解：①∵拋物線經(jīng)過點A（3，0），
∴9a﹣6a+c＝0，
∴3a+c＝0，
當(dāng)x＝﹣1時，a+2a+c＝0，
∴3a+c＝0，
∴該拋物線一定經(jīng)過B（﹣1，0），
故此項正確；
②由①得：c＝﹣3a，
∵c＞0，
∴﹣3a＞0，
∴a＜0，
∵3a+c＝0，
∴2a+c＝﹣a，
∴2a+c＞0，
故此項正確；
③拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝1，
當(dāng)t＝﹣2021時，P1（1，y1），P2（2，y2），
∵a＜0，
∴y1＞y2，
∴t＝﹣2021也符合題意與t＞﹣2021矛盾，
故此項錯誤．
④∵拋物線y＝ax2﹣2ax+c，對稱軸為直線x＝﹣1，拋物線y＝ax2+2ax+c對稱軸為直線x＝﹣1，
∴拋物線y＝ax2﹣2ax+c圖象向左平移2個單位得到拋物線y＝ax2+2ax+c的圖象，
∵拋物線y＝ax2﹣2ax+c經(jīng)過點（﹣1，0），（3，0），
∴拋物線y＝ax2+2ax+c經(jīng)過點（﹣3，0），（1，0），
∵m，n（m＜n）是方程ax2﹣2ax+c＝p的兩個根，
∴m，n是拋物線y1＝ax2+2ax+c與直線y＝p交點的橫坐標，
∵p＞0，
∴﹣3＜m＜n＜1，
故此項正確，
故選：C．
【典例3】
已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0），圖象的一部分如圖所示，該函數(shù)圖象經(jīng)過點（﹣2，0），對稱軸為直線．對于下列結(jié)論：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c＝0；④（其中）；⑤若A（x1，y1）和B（x2，y2）均在該函數(shù)圖象上，且x1＞x2＞1，則y1＞y2．其中正確結(jié)論的個數(shù)共有（ ）個．
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：①由圖可知：∵圖象開口向下，對稱軸在y軸左側(cè)，圖象與y軸相交于正半軸，
∴a＜0，b＜0，c＞0，
∴abc＞0，故①不正確；
②∵函數(shù)圖象與x軸有兩個交點，
∴b2﹣4ac＞0，故②正確；
③∵該函數(shù)圖象經(jīng)過點（﹣2，0），
對稱軸為直線，
∴該函數(shù)與x軸另一個交點坐標為（1，0），
∴當(dāng)x＝1時，y＝a+b+c＝0，故③正確；
④∵對稱軸為直線，函數(shù)開口向下，
∴當(dāng)時，y有最大值，
把代入得：，
把x＝m代入得：y＝am2+bm+c，
∵，
∴，則，故④正確；
⑤∵函數(shù)開口向下，
∴離對稱軸越遠函數(shù)值越小，
∵對稱軸為直線，x1＞x2＞1，
∴y1＜y2，故⑤不正確，
綜上：正確的有②③④．
故選：B．
【典例4】
如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象，頂點坐標為（﹣1，﹣2）．下列結(jié)論：①b＞0；②方程ax2+bx+c+2＝0有兩個相等的實數(shù)根；③a+b+c＞0；④a﹣c＝2．其中所有正確結(jié)論的序號是（ ）
A．①②③④B．②③④C．①③④D．①②③
【解答】解：∵拋物線開口向上，
∴a＞0，
∵拋物線頂點坐標為（﹣1，﹣2），
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，①正確；
∵拋物線頂點坐標為（﹣1，﹣2），
∴方程ax2+bx+c＝﹣2有兩個相等的實數(shù)根，
∴方程ax2+bx+c+2＝0有兩個相等的實數(shù)根，②正確；
由圖象可得x＝﹣3時，y＞0，
∵拋物線對稱軸為直線x＝﹣1，
∴x＝1時，y＝a+b+c＞0，③正確．
∵拋物線頂點坐標為（﹣1，﹣2），
∴a﹣b+c＝a﹣2a+c＝﹣a+c＝﹣2，
∴a﹣c＝2，④正確．
故選：A．
【典例5】
如圖，是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）圖象的一部分，與x軸的交點在點（2，0）和（3，0）之間，對稱軸是直線x＝1．對于下列說法：①ab＜0；②3a+c＞0；③2a+b＝0；④a+b≥m（am+b）（m為實數(shù)）；⑤當(dāng)﹣1＜x＜3時，y＞0，其中正確結(jié)論為（ ）
A．2個B．3個C．4個D．5個
【解答】解：①∵對稱軸在y軸右側(cè)，
∴a、b異號，
∴ab＜0，故正確；
②∵對稱軸x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0；故正確；
③∵2a+b＝0，
∴b＝﹣2a，
∵當(dāng)x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＜0，故錯誤；
④根據(jù)圖示知，當(dāng)x＝1時，有最大值；
當(dāng)m≠1時，有am2+bm+c＜a+b+c，
所以a+b≥m（am+b）（m為實數(shù)）．
故正確．
⑤如圖，當(dāng)﹣1＜x＜3時，y不只是大于0．
故錯誤．
故選：B．
題型02 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用
【典例1】
如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知A（﹣2，0），B（4，0），C（0，8）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是等腰三角形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；
（3）點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，求△CBF的最大面積及此時點E的坐標．
【解答】解：（1）由題意得：
，
解得：．
∴拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+8；
（2）存在使△PCD是等腰三角形，理由：
∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，
∴拋物線對稱軸為直線x＝1，
∴D（1，0），且C（0，8），
∴OD＝1，OC＝8．
∴CD＝＝，
當(dāng)PC＝CD時，如圖，
過點C作CE⊥DP于點E，則DE＝PE，
∵DE＝OC＝8，
∴PD＝2DE＝16，
∴P（1，16）；
當(dāng)PD＝CD＝時，此時有兩解，如圖，
則有P1（1，﹣）或P2（1，）；
當(dāng)PC＝PD時，過點P作PF⊥CD于點F，如圖，
∵點P在對稱軸上，
∴可設(shè)P（1，m），則PD＝m，
∵PC＝PD，PF⊥CD，
∴DF＝CD＝．
∵PD∥OC，
∴∠OCD＝∠FDP．
∵∠DOC＝∠PFD＝90°，
∴△COD∽△DFP．
∴．
∴，
∴m＝．
∴P（1，）．
綜上，P點坐標為（1，16）或（1，）或（1，）或（1，）；
（3）設(shè)直線EF交x軸于點H，如圖，
∵B（4，0），
∴OB＝4．
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+n，則：
，
解得：．
∴直線BC的解析式為y＝﹣2x+8．
∵EF⊥x軸，
∴設(shè)E（p，﹣2p+8），則F（p，﹣p2+2p+8），
∴EH＝﹣2p+8，F(xiàn)H＝﹣p2+2p+8．
∴EF＝FH﹣EH＝﹣p2+4p．
∴S△BCF＝S△FCE+S△FBE
＝EF×BO
＝（﹣p2+4p）×4
＝﹣2p2+8p
＝﹣2（p﹣2）2+8．
∵﹣2＜0，
∴當(dāng)p＝2時，S△BCF，有最大值8，
此時點E的坐標為（2，4）．
∴當(dāng)E運動到BC的中點時，△CBF的面積最大，最大面積為8，此時E點坐標為（2，4）．
【典例2】
如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（﹣1，0），點B（3，0），與y軸交于點C（0，﹣3），點D為直線OD與拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）在x軸下方的一個交點，點P為此拋物線上的一個動點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若直線OD為，求點D的坐標；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)點P在直線OD下方時，求△POD面積的最大值．
【解答】解：（1）由拋物線y＝ax2+bx+c與y軸的交點為C（0，﹣3）可知：
c＝﹣3，
把點A（﹣1，0），點B（3，0）代入拋物線y＝ax2+bx﹣3可得：
，
解得：，
故拋物線的解析式為：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由題意可得方程組：
，
解得：或，
又∵點D為直線OD與拋物線y＝ax2+bx+c在x軸下方的一個交點．
∴點D的坐標為（2，﹣3）；
（3）設(shè)點P（m，m2﹣2m﹣3），
①當(dāng)點P在第三象限時，
設(shè)直線PD與y軸交于點G，設(shè)點P（m，m2﹣2m﹣3），
將點P、D的坐標代入一次函數(shù)表達式：y＝sx+t并解得：
直線PD的表達式為：y＝mx﹣3﹣2m，則OG＝3+2m，
S△POD＝OG×（XD﹣XP）＝，
②當(dāng)點P在第四象限時，
設(shè)PD交y軸于點M，
同理可得：S△POD＝OM×（XD﹣XP）＝，
綜上，S△POD＝，
∵﹣1＜0，故S△POD有最大值，當(dāng)時，其最大值為．
【典例3】
如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝kx+b與二次函數(shù)y＝﹣x2+mx+n交于點A（3，0），B（0，3）兩點．
（1）求一次函數(shù)y＝kx+b和二次函數(shù)y＝﹣x2+mx+n的解析式．
（2）點P是二次函數(shù)圖象上一點，且位于直線AB上方，過點P作y軸的平行線，交直線AB于點Q，當(dāng)△PAB面積最大時，求點P的坐標．
（3）點M在二次函數(shù)圖象上，點N在二次函數(shù)圖象的對稱軸上，若以點A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點M的坐標．
【解答】解：（1）將點A、B的坐標代入二次函數(shù)表達式得：
，解得：，
即二次函數(shù)表達式為：y＝﹣x2+2x+3；
將點A、B的坐標代入一次函數(shù)表達式得：
，解得：，
故一次函數(shù)表達式為：y＝﹣x+3；
（2）過點P作PH∥y軸交AB于點H，
設(shè)點P（x，﹣x2+2x+3），則點H（x，﹣x+3），
則△PAB面積＝S△PHA+S△PHB＝PH×OA＝（﹣x2+2x+3+x﹣3）＝﹣（x2﹣3x），
∵＜0，故△PAB面積有最大值，此時點P（，）；
（3）由拋物線的表達式知，其對稱軸為x＝1，設(shè)點N（1，t），設(shè)點M的坐標為：（m，﹣m2+2m+3），
當(dāng)AB為對角線時，由中點坐標公式得：3＝m+1，
解得：m＝2，則點M（2，3）；
當(dāng)AM或AN為對角線時，由中點坐標公式得：3+m＝1或3+1＝m，
解得：m＝﹣2或4，即點M的坐標為：（﹣2，﹣5）或（4，﹣5）；
綜上，點M的坐標為：（﹣2，﹣5）或（4，﹣5）或（2，3）．
【典例4】
如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），B（6，0），與y軸交于點C．且直線y＝mx+n過點B，與y軸交于點D，點C與點D關(guān)于x軸對稱，點P是線段OB上一動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點M，交直線BD于點N．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）連接MB、MD，當(dāng)△MDB的面積最大時，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，在y軸上是否存在點Q，使得以Q，M，N三點為頂點的三角形是直角三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（6，0）代入y＝﹣x2+bx+c中得：
，
解得：，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+5x+6；
（2）如圖：
在拋物線y＝﹣x2+5x+6中，當(dāng)x＝0時，y＝6，
∴C的坐標為（0，6），
∵點C與點D關(guān)于x軸對稱，
∴點D的坐標為（0，﹣6），
∵點B的坐標為（6，0），
∴直線BD的解析式為y＝x﹣6，
設(shè)P（m，0），則M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），
∴MN＝﹣m2+4m+12，
∴S△MDB＝MN?|xB﹣xD|＝（﹣m2+4m+12）×6＝﹣3m2+12m+36＝﹣3（m﹣2）2+48，
∵﹣3＜0，
∴當(dāng)m＝2時，S△MDB最大，
此時，P點的坐標為（2，0）；
（3）存在點Q，使得以Q，M，N三點為頂點的三角形是直角三角形，理由如下：
由（2）知P坐標為（2，0），
∴M（2，12），N（2，﹣4），
①當(dāng)∠QMN＝90°時，如圖：
∴QM∥x軸，
∴Q（0，12）；
②當(dāng)∠MNQ＝90°時，如圖：
∴NQ∥x軸，
∴Q（0，﹣4）；
③當(dāng)∠MQN＝90°時，如圖：
設(shè)Q（0，n），則QM2+QN2＝MN2，
即4+（12﹣n）2+4+（n+4）2＝（12+4）2，
解得，n＝4±2，
∴Q（0，4+2）或（0，4﹣2）．
綜上，存在以Q，M，N三點為頂點的三角形是直角三角形，Q點坐標為（0，12）或（0，﹣4）或（0，4+2）或（0，4﹣2）．
【典例5】
如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C，連接BC．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點P為直線BC上方的拋物線上一點，過點P作y軸的垂線交線段BC于M，過點P作x軸的垂線交線段BC于N，求△PMN的周長的最大值．
（3）若點N為拋物線對稱軸上一點，拋物線上是否存在點M，使得以B，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出所有滿足條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）將點A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2得，
，
解得，
∴該拋物線的解析式為y＝﹣；
（2）如圖，拋物線y＝﹣與y軸交點C（0，2），
∵PM⊥y軸，PN⊥x軸，
∴PM∥OB，∠MPN＝∠BOC＝90°，
∴∠PMN＝∠CBO，
∴△PMN∽△OBC，
設(shè)直線BC的解析式為y＝mx+n，
則，
∴，
∴直線BC的解析式為y＝﹣+2，
設(shè)P（x，﹣），則N（x，﹣+2），
∴PN＝﹣，
對稱軸為：直線x＝，
∵2≤x＜3，
∴x＝2時，PN的最大值為，
∴＝，
∴△PMN周長的最大值為，
（3）存在，
由題意得，B（3，0），C（0，2），
設(shè)N（1，n），M（x，y），
①當(dāng)四邊形CMNB是平行四邊形時，
，
∴x＝﹣2，
∴M（﹣2，﹣）；
②當(dāng)四邊形CNBM是平行四邊形時，
，
∴x＝2，
∴M（2，2）；
③當(dāng)四邊形CNMB是平行四邊形時，
，
∴x＝4，
∴M（4，﹣），
綜上所述，M（2，2）或（4，﹣）或（﹣2，﹣）．
1．將拋物線y＝2x2向左平移3個單位，所得拋物線的解析式是（ ）
A．y＝2（x+3）2B．y＝2（x﹣3）2C．y＝2x2+3D．y＝2x2﹣3
【解答】解：將拋物線y＝2x2向左平移3個單位，得y＝2（x+3）2；
故所得拋物線的解析式為y＝2（x+3）2．
故選：A．
2．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的x與y的部分對應(yīng)值如下表：
下列各選項中，正確的是（ ）
A．這個函數(shù)的圖象開口向下
B．a(chǎn)bc＞0
C．這個函數(shù)的最大值為10
D．關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0無解
【解答】解：A、由圖表中數(shù)據(jù)可得出：對稱軸為直線x＝1，而x＝1時，函數(shù)有最小值y＝1，所以二次函數(shù)y＝ax2+bx+c開口向上，a＞0，故A錯誤；
B、∵﹣＝1，a＞0，
∴b＝﹣2a＜0，
∵x＝0時，y＝c＝2，
∴abc＜0，故B錯誤；
C、∵拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝1，
∴當(dāng)x＞1時，y隨x增大而增大，故C錯誤；
D、∵拋物線開口向上，函數(shù)有最小值y＝1，
∴拋物線與x軸沒有交點，
∴關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0無解，故D正確．
故選：D．
3．已知拋物線y＝2（x﹣2）2+1，A（﹣3，y1），B（3，y2），C（4，y3）是拋物線上三點，則y1，y2，y3由小到大依序排列是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝2（x﹣2）2+1，中a＝2＞0
∴拋物線開口向上，對稱軸為x＝﹣＝2，
∵B（3，y2），C（4，y3）中橫坐標均大于2，
∴它們在對稱軸的右側(cè)y3＞y2．
A（﹣3，y1）中橫坐標小于2，
∵它在對稱軸的左側(cè)，它關(guān)于x＝2的對稱點為2×2﹣（﹣3）＝7，
A點的對稱點是D（7，y1）
7＞4＞3，
∵a＞0時，拋物線開口向上，在對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而增大，
∴y1＞y3＞y2．
故選：D．
4．一次函數(shù)y＝ax﹣1（a≠0）與二次函數(shù)y＝ax2﹣x（a≠0）在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由，解得或，
∴一次函數(shù)y＝ax﹣1（a≠0）與二次函數(shù)y＝ax2﹣x（a≠0）的交點為（1，a﹣1），（，0），
A、由拋物線可知，a＞0，由直線可知，a＜0，故本選項錯誤，不符合題意；
B、由拋物線可知，a＞0，由直線可知，a＞0，由一次函數(shù)y＝ax﹣1（a≠0）與二次函數(shù)y＝ax2﹣x（a≠0）可知，兩圖象交于點（1，a﹣1），則交點在y軸的右側(cè)，故本選項錯誤，不符合題意；
C、由拋物線可知，a＜0，由直線可知，a＜0，兩圖象的一個交點在x軸上，另一個交點在第四選項，故本選項正確，符合題意；
D、由拋物線可知，a＜0，由直線可知，a＞0，a的取值矛盾，故本選項錯誤，不合題意；
故選：C．
5．如圖，排球運動員站在點O處練習(xí)發(fā)球，將球從O點正上方2m的A處發(fā)出，把球看成點，其運行的高度y（m）與運行的水平距離x（m）滿足關(guān)系式y(tǒng)＝a（x﹣k）2+h．已知球與O點的水平距離為6m時，達到最高2.6m，球網(wǎng)與O點的水平距離為9m．高度為2.43m，球場的邊界距O點的水平距離為18m，則下列判斷正確的是（ ）
A．球不會過網(wǎng)B．球會過球網(wǎng)但不會出界
C．球會過球網(wǎng)并會出界D．無法確定
【解答】解：∵球與O點的水平距離為6m時，達到最高2.6m，
∴拋物線為y＝a（x﹣6）2+2.6過點，
∵拋物線y＝a（x﹣6）2+2.6過點（0，2），
∴2＝a（0﹣6）2+2.6，
解得：a＝﹣，
故y與x的關(guān)系式為：y＝﹣（x﹣6）2+2.6，
當(dāng)x＝9時，y＝﹣（x﹣6）2+2.6＝2.45＞2.43，
所以球能過球網(wǎng)；
當(dāng)y＝0時，﹣（x﹣6）2+2.6＝0，
解得：x1＝6+2＞18，x2＝6﹣2（舍去）
故會出界．
故選：C．
6．若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（2﹣m，n）、D（m，n）（y1≠n）則下列命題正確的是（ ）
A．若a＞0且|x1﹣1|＞|x2﹣1|，則y1＜y2
B．若a＜0且y1＜y2，則|1﹣x1|＜|1﹣x2|
C．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|且y1＞y2，則a＜0
D．若x1+x2＝2（x1≠x2），則AB∥CD
【解答】解：∵拋物線過點D（m，n），C（2﹣m，n）兩點，
∴拋物線的對稱軸為x＝＝1，
若a＞0且|x1﹣1|＞|x2﹣1|，則y1＞y2，故選項A錯誤，
若a＜0且y1＜y2，則|1﹣x1|＞|1﹣x2|，故選項B錯誤，
若|x1﹣1|＞|x2﹣1|且y1＞y2，則a＞0，故選項C錯誤，
若x1+x2＝2（x1≠x2），則AB∥CD，故選項D正確．
故選：D．
7．拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸是直線x＝﹣2．拋物線與x軸的一個交點在點（﹣4，0）和點（﹣3，0）之間，其部分圖象如圖所示．①b﹣4a＝0；②a+b+c＞0；③c＜3a；④b2+2b＞4ac．所述4個結(jié)論中正確的是（ ）
A．①②B．①④C．②③D．①③④
【解答】解：∵拋物線的對稱軸為，
∴b＝4a，
∴4a﹣b＝0，
故①正確；
由圖象可知，當(dāng)x＝1時，y＜0，
即a+b+c＜0．
故②不正確；
由圖象可知，當(dāng)x＝﹣1時，y＞0，
即a﹣b+c＞0，
∵b＝4a，
∴﹣3a+c＞0，即c＞3a．
故③不正確；
∵拋物線的頂點坐標為（﹣2，3），
∴，
∴4ac﹣b2＝12a．
∵b＝4a，
∴4ac﹣b2＝3b，
∴b2﹣4ac+2b＝﹣b＞0，
∴b2+2b＞4ac．
故④正確．
故選：B．
8．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點（﹣1，0），對稱軸為x＝1．下列結(jié)論：①abc＞0；②b2＞4ac；③若關(guān)于x的方程ax2+bx+c+1＝0一定有兩個不相等的實數(shù)根；④a＜．其中結(jié)論正確的個數(shù)有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【解答】解：∵拋物線開口向上，
∴a＞0，
∵拋物線交y軸于負半軸，
∴c＜0，
∵﹣＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，故①正確．
∵拋物線的對稱軸是直線x＝1，
∴﹣＝1，
∴2a+b＝0，故②正確．
∵拋物線y＝ax2+bx+c與y軸的交點在（0，﹣1）的下方，
∴拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣1一定有兩個交點，
∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c+1＝0一定有兩個不相等的實數(shù)根，故③正確；
∵x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∵x＝﹣1時，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，即c＝﹣3a，
而c＜﹣1，
∴﹣3a＜﹣1，
∴a＞，故④錯誤．
故選：C．
9．點A（2，y1），B（a，y2）在二次函數(shù)y＝x2﹣2x+3的圖象上．若y1＜y2，寫出一個符合條件的a的值 ．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+3，
∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝﹣＝1，
∴點A（2，y1）關(guān)于直線x＝1的對稱點為（0，y1），
∵點A（2，y1），B（a，y2）在二次函數(shù)y＝x2﹣2x+3的圖象上．且y1＜y2，
∴a＞2或a＜0，
故a的值可以是3，
故答案為：3（答案不唯一）．
10．關(guān)于x的函數(shù)y＝（k﹣2）x2﹣（2k﹣1）x+k的圖象與x軸有兩個交點，則k的取值范圍是 ．
【解答】解：根據(jù)題意得：，
解得k＞﹣且k≠2．
故答案為：k＞﹣且k≠2．
11．一座拱橋的輪廓是拋物線型（如圖所示），橋高為8米，拱高6米，跨度20米．相鄰兩支柱間的距離均為5米，則支柱MN的高度為 米．
【解答】解：建直角坐標系，如圖：
根據(jù)題目條件，A、B、C的坐標分別是（﹣10，0）、（10，0）、（0，6）．
將B、C的坐標代入y＝ax2+c，得：
，解得：a＝﹣，c＝6．
∴拋物線的表達式是y＝﹣x2+6（﹣10≤x≤10）；
在y＝﹣x2+6（﹣10≤x≤10）中，令x＝5得y＝﹣×52+6＝4.5，
∴支柱MN的長度是8﹣4.5＝3.5（米）；
故答案為：3.5．
12．拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于A（﹣1，0），B（3，0），交y軸的負半軸于C，頂點為D．下列結(jié)論：①2a+b＝0；②2c＜3b；③當(dāng)m≠1時，a+b＜am2+bm；④當(dāng)△ABD是等腰直角三角形時，則a＝；⑤當(dāng)△ABC是等腰三角形時，a的值有3個．其中結(jié)論正確的是 .（填序號）
【解答】解：設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），
即y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∵b＝﹣2a，
∴2a+b＝2a﹣2a＝0，所以①正確；
∵c＝﹣3a，
∴2c﹣3b＝﹣6a+6a＝0，所以②錯誤；
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，
∴當(dāng)x＝1時，y有最小值，
∴a+b+c＜am2+bm+c（m≠1），
即a+b＜am2+bm（m≠1），所以③正確；
過D點作DE⊥AB于E點，如圖，
∵D（1，﹣4a），
∴DE＝4a，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴DE＝AB，
即4a＝×4，
解得a＝，所以④正確；
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a），
∴AC2＝1+9a2，BC2＝9+9a2，AB2＝16，
當(dāng)AC＝AB時，1+9a2＝16，解得a1＝，a2＝﹣（舍去），
當(dāng)BC＝AB時，9+9a2＝16，解得a1＝，a2＝﹣（舍去），
綜上所述，a的值為或，所以⑤錯誤．
故答案為：①③④．
13．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（3，0）、B（﹣1，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），其頂點為點D，連結(jié)AC．
（1）求這條拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達式及頂點D的坐標；
（2）在拋物線的對稱軸上取一點E，點F為拋物線上一動點，使得以點A、C、E、F為頂點、AC為邊的四邊形為平行四邊形，求點F的坐標．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A（3，0）、B（﹣1，0），C（0，3），
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴頂點D的坐標為（1，4）；
（2）設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，
把A（3，0），C（0，3）代入，得，
∴，
∴直線AC的解析式為y＝﹣x+3，
過點F作FG⊥DE于點G，
∵以A，C，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是以AC為邊的平行四邊形，
∴AC＝EF，AC∥EF，
∵OA∥FG，
∴∠OAC＝∠GFE，
∴△OAC≌△GFE（AAS），
∴OA＝FG＝3，
設(shè)F（m，﹣m2+2m+3），則G（1，﹣m2+2m+3），
∴FG＝|m﹣1|＝3，
∴m＝﹣2或m＝4，
當(dāng)m＝﹣2時，﹣m2+2m+3＝﹣5，
∴F1（﹣2，﹣5），
當(dāng)m＝4時，﹣m2+2m+3＝﹣5，
∴F2（4，﹣5）
綜上所述，滿足條件點F的坐標為（﹣2，﹣5）或（4，﹣5）；
14．如圖，在平面直角坐標系中，已知點C（0，4），點A、B在x軸上，并且OA＝OC＝4OB，動點P在過A、B、C三點的拋物線上．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）在直線AC上方的拋物線上，是否存在點P，使得△PAC的面積最大？若存在，求出P點坐標及△PAC面積的最大值；若不存在，請說明理由．
（3）在x軸上是否存在點Q，使得△ACQ是等腰三角形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）∵C（0，4），
∴OC＝4，
∵OA＝OC＝4OB，
∴OA＝4，OB＝1，
∴A（4，0），B（﹣1，0），
設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣4），
把C（0，4）代入得a?1?（﹣4）＝4，解得a＝﹣1，
∴拋物線解析式為y＝﹣（x+1）（x﹣4），
即y＝﹣x2+3x+4；
（2）作PD∥y軸，如圖，
易得直線AC的解析式為y＝﹣x+4，
設(shè)P（x，﹣x2+3x+4）（0＜x＜4），則D（x，﹣x+4），
∴PD＝﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+4x，
∴S△PAC＝?PD?4＝﹣2x2+8x＝﹣2（x﹣2）2+8，
當(dāng)x＝2時，S△PAC有最大值，最大值為8，此時P點坐標為（2，6）；
（3）存在．
∵OA＝OC＝4，
∴AC＝4，
∴當(dāng)QA＝QC時，Q點在原點，即Q（0，0）；
當(dāng)CQ＝CA時，點Q與點A關(guān)于y軸對稱，則Q（﹣4，0）；
當(dāng)AQ＝AC＝4時，Q點的坐標（4+4，0）或（4﹣4，0），
綜上所述，Q點的坐標為（0，0）或（﹣4，0）或（4+4，0）或（4﹣4，0）．
15．平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A，B（4，0）兩點，與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式，并直接寫出點A，C的坐標；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△BCP是直角三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標，若不存在，請說明理由；
（3）如圖，點M是直線BC上的一個動點，連接AM，OM，是否存在點M使AM+OM最小，若存在，請求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）將B（4，0）代入，
即，
解得：，
∴，
令x＝0，則，
令y＝0，則，
解得：x1＝4，x2＝﹣2，A（﹣2，0），C（0，4）；
（2）存在點P，使△BCP是直角三角形，
∵，對稱軸為直線x＝1，
設(shè)P（1，n），
∵B（4，0），C（0，4），
∴BC2＝42+42＝32，BP2＝（4﹣1）2+n2，PC2＝12+（4﹣n）2，
①當(dāng)∠BCP＝90°時，BP2＝BC2+PC2，
∴（4﹣1）2+n2＝32+12+（4﹣n）2，
解得：n＝5；
②當(dāng)∠CBP＝90°時，PC2＝BC2+BP2，
∴12+（4﹣n）2＝（4﹣1）2+n2+32
解得：n＝﹣3；
③當(dāng)∠BPC＝90°時，BC2＝BP2+PC2，32＝（4﹣1）2+n2+12+（4﹣n）2
解得：或，
綜上所述：P（1，5），（1，﹣3），（1，2+），（1，2﹣）；
（3）存在點M使AM+OM最小，理由如下：
作O點關(guān)于BC的對稱點Q，連接AQ交BC于點M，連接BQ，
由對稱性可知，OM＝QM，
∴AM+OM＝AM+QM≥AQ，
當(dāng)A、M、Q三點共線時，AM+OM有最小值，
∵B（4，0），C（0，4），
∴OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
由對稱性可知∠QBM＝45°，
∴BQ⊥BO，
∴Q（4，4），
設(shè)直線AQ的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直線AQ的解析式，
設(shè)直線BC的解析式為y＝mx+4，
∴4m+4＝0，
∴m＝﹣1，
∴直線BC的解析式為y＝﹣x+4，
聯(lián)立方程組，
解得：，
∴M（，）．
課程標準
學(xué)習(xí)目標
①二次函數(shù)的圖像與系數(shù)之間的關(guān)系
②二次函數(shù)的最值問題
③二次函數(shù)的存在性問題
能通過二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系解決二次函數(shù)選擇填空的壓軸題目。
能夠利用二次函數(shù)的頂點式求實際問題中的最值問題。以及三角形四邊形的面積最值問題。
利用二次函數(shù)與幾何的關(guān)系，解決二次函數(shù)中的存在性問題。
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
2
1
2
5
10
…

相關(guān)試卷

人教版九年級上冊22.1.1 二次函數(shù)精品課時訓(xùn)練：

這是一份人教版九年級上冊22.1.1 二次函數(shù)精品課時訓(xùn)練，文件包含專題01二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)30題原卷版docx、專題01二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)30題解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共32頁， 歡迎下載使用。

初中數(shù)學(xué)人教版九年級上冊21.1 一元二次方程精品當(dāng)堂檢測題：

這是一份初中數(shù)學(xué)人教版九年級上冊21.1 一元二次方程精品當(dāng)堂檢測題，文件包含第01講一元二次方程原卷版docx、第01講一元二次方程解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共16頁， 歡迎下載使用。

專題5.3 期中復(fù)習(xí)——選擇壓軸題專項訓(xùn)練（壓軸題專項訓(xùn)練）-2023-2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊壓軸題專項講練系列（人教版）：

這是一份專題5.3 期中復(fù)習(xí)——選擇壓軸題專項訓(xùn)練（壓軸題專項訓(xùn)練）-2023-2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊壓軸題專項講練系列（人教版），文件包含專題53期中復(fù)習(xí)選擇壓軸題專項訓(xùn)練壓軸題專項訓(xùn)練人教版原卷版docx、專題53期中復(fù)習(xí)選擇壓軸題專項訓(xùn)練壓軸題專項訓(xùn)練人教版解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共31頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

專題5.2 期中復(fù)習(xí)——填空壓軸題專項訓(xùn)練（壓軸題專項訓(xùn)練）-2023-2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊壓軸題專項講練系列（人教版）

專題5.2 期中復(fù)習(xí)——填空壓軸題專項訓(xùn)練（壓軸題專項訓(xùn)練）-2023-2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊壓軸題專項講練系列（人教版）
專題5.1 期中復(fù)習(xí)——解答壓軸題專項訓(xùn)練（壓軸題專項訓(xùn)練）-2023-2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊壓軸題專項講練系列（人教版）

專題5.1 期中復(fù)習(xí)——解答壓軸題專項訓(xùn)練（壓軸題專項訓(xùn)練）-2023-2024學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊壓軸題專項講練系列（人教版）
專題22.40 二次函數(shù)壓軸題-面積問題（專項練習(xí)）-2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項講練（人教版）

專題22.40 二次函數(shù)壓軸題-面積問題（專項練習(xí)）-2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項講練（人教版）
專題22.39 二次函數(shù)壓軸題-周長問題（專項練習(xí)）-2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項講練（人教版）

專題22.39 二次函數(shù)壓軸題-周長問題（專項練習(xí)）-2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項講練（人教版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
初中數(shù)學(xué)人教版九年級上冊電子課本

22.1.1 二次函數(shù)

版本： 人教版

年級： 九年級上冊

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學(xué)案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部