24.1__圓的有關(guān)性質(zhì)__





24．1.1 圓 [見B本P36]





1．下列命題正確的有( C )


(1)半圓是弧；


(2)弦是圓上兩點之間的部分；


(3)半徑是弦；


(4)直徑是最長的弦；


(5)在同一平面內(nèi)，到定點的距離等于定長的點都在同一個圓上．


A．1個 B．2個 C．3個 D．4個


【解析】 (1)弧是圓上任意兩點間的部分；任意一條直徑的兩個端點在圓上把圓分成兩條弧，每一條弧叫做半圓，因此(1)是正確的命題．(2)弦是連接圓上任意兩點的線段，不是圓上兩點之間的部分，因此(2)是錯誤的命題．(3)半徑是連接圓心與圓上任意一點的線段，不是弦．因此(3)是假命題．(4)直徑是過圓心的弦，也是最長的弦．如圖所示，AB是⊙O的直徑，CD是任意一條不過圓心的弦，連接OC，OD，在△OCD中，OC＋OD>CD，而AB＝OC＋OD，則AB>CD，因此直徑是最長的弦．(5)圓心為O，半徑為r的圓可以看成由所有到定點O的距離等于定長r的點組成的圖形，因此(5)正確．所以(1)，(4)，(5)正確，選C.





2．如圖24－1－1所示，⊙O中點A，O，D以及點B，O，C分別在同一直線上，圖中弦的條數(shù)為( A )


A．2 B．3 C．4 D．5





圖24－1－1





圖24－1－2





圖24－1－3


3．如圖24－1－2，P是⊙O內(nèi)的一點，P到⊙O的最小距離為4 cm，最大距離為9 cm，則該⊙O的直徑為( C )


A．6.5 cm B．2.5 cm C．13 cm D．不可求


【解析】 過O，P作直徑AB，則AB＝PA＋PB＝4＋9＝13(cm)，故選C.


4．圖24－1－3中，__AC__是⊙O的直徑；弦有__AB，BC，AC__；劣弧有__eq \(AB,\s\up8(︵))，eq \(BC,\s\up8(︵))__；優(yōu)弧有__eq \(BAC,\s\up8(︵))，eq \(BCA,\s\up8(︵))__．


5．如圖24－1－4所示，已知∠AOB＝60°，則△AOB是__等邊__三角形．





圖24－1－4





圖24－1－5


6．如圖24－1－5，AB是⊙O的直徑，AC是弦，若∠ACO＝22°， 則∠COB的度數(shù)等于__44°__．


【解析】 ∵OA＝OC，∴∠A＝∠C＝22°，


∴∠BOC＝∠A＋∠C＝22°×2＝44°.


7．如圖24－1－6，以O(shè)為圓心的兩個同心圓⊙O，大圓O的半徑OC，OD分別交小圓O于A，B兩點，求證：AB∥CD.


證明：∵OA＝OB，OC＝OD，


∴∠OAB＝eq \f(1,2)(180°－∠O)＝∠C，∴AB∥CD.





圖24－1－6





圖24－1－7


8．如圖24－1－7，在⊙O中，D，E分別為半徑OA，OB上的點，且AD＝BE，點C為弧AB上一點，連接CD，CE，CO，∠AOC＝∠BOC.求證：CD＝CE.


證明：∵OA＝OB，AD＝BE，∴OA－AD＝OB－BE，即OD＝OE.


在△ODC和△OEC中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(OD＝OE，,∠DOC＝∠EOC，,OC＝OC，))


∴△ODC≌△OEC，∴CD＝CE.





9．如圖24－1－8所示，已知⊙O中，直徑MN＝10，正方形ABCD的四個頂點分別在半徑OM，OP以及⊙O上，并且∠POM＝45°，則AB的長為__eq \r(5)__．


【解析】 連接OA，構(gòu)造Rt△OAB，利用勾股定理，求出AB的長．設(shè)正方形ABCD的邊長為x，則AB＝BC＝CD＝x，又∠POM＝45°，∠DCO＝90°，


∴∠ODC＝∠POM＝45°，∴DC＝OC＝x，∴OB＝2x.在Rt△OAB中，AB2＋OB2＝OA2，OA＝eq \f(1,2)MN＝5，即x2＋(2x)2＝52，∴x＝eq \r(5).





圖24－1－8





圖24－1－9


10．如圖24－1－9，AB，AC為⊙O的弦，連接CO，BO并延長分別交弦AB，AC于點E，F(xiàn)，∠B＝∠C.求證：CE＝BF.


證明：∵OB，OC是⊙O的半徑，∴OB＝OC.


又∵∠B＝∠C，∠BOE＝∠COF，


∴△EOB≌△FOC，∴OE＝OF，∴CE＝BF.


11．如圖24－1－10，半圓O的直徑AB＝8，半徑OC⊥AB，D為弧AC上一點，DE⊥OC，DF⊥OA，垂足分別為E，F(xiàn)，求EF的長．





圖24－1－10





解：連接OD.


∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥OA，


∴∠AOC＝∠DEO＝∠DFO＝90°，


∴四邊形DEOF是矩形，∴EF＝OD.


∵OD＝OA，∴EF＝OA＝4.


12．如圖24－1－11，AB，CD是⊙O的直徑，DF，BE是⊙O的弦，且弦DF＝BE.求證：∠B＝∠D.





圖24－1－11


【解析】 連接OF，OE，證明△DOF≌△BOE.


證明：如圖，連接OE，OF.在△DOF和△BOE中，





eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(OF＝OE，,OD＝OB，,DF＝BE，))∴△DOF≌△BOE(SSS)．


∴∠B＝∠D.





13．如圖24－1－12所示，已知CD是⊙O的直徑，∠EOD＝51°，AE交⊙O于點B，且AB＝OC，求∠A的度數(shù)．





圖24－1－12


【解析】 已知∠EOD＝51°，與未知∠A構(gòu)成了內(nèi)、外角關(guān)系，而∠E也未知，且AB＝OC這一條件不能直接使用，因此想到同圓的半徑相等，需連接半徑OB，從而得到OB＝AB.


解：如圖所示，連接OB.∵AB＝OC，OB＝OC，





∴AB＝OB，


∴∠A＝∠1.


又∵OB＝OE，


∴∠E＝∠2＝∠1＋∠A＝2∠A，


∴∠DOE＝∠E＋∠A＝3∠A.而∠DOE＝51°，


∴3∠A＝51°，


∴∠A＝17°.








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