[時(shí)間：90分鐘 分值：120分]


一、選擇題(每小題3分，共30分)


1．如圖1，半徑為10的⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為16，則這條弦的弦心距為( A )


A．6 B．8 C．10 D．12





圖1





圖2


2．如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠C＝36°，則∠A的度數(shù)為( D )


A．36° B．56° C．72° D．144°


3．如圖3所示，正三角形ABC內(nèi)接于圓O，動(dòng)點(diǎn)P在圓周的劣弧eq \(AB,\s\up8(︵))上，且不與A，B重合，則∠BPC等于( B )


A．30° B．60° C．90° D．45°


【解析】 本題考查正三角形與圓周角的性質(zhì)，由△ABC為正三角形得∠CAB＝60°，由圓周角的性質(zhì)得∠BPC＝∠BAC＝60°.





圖3





圖4


4．一個(gè)點(diǎn)到圓的最大距離為11 cm，最小距離為5 cm，則圓的半徑為( B )


A．16 cm或6 cm B．3 cm或8 cm


C．3 cm D．8 cm


5．如圖4，⊙O內(nèi)切于△ABC，切點(diǎn)為D，E，F(xiàn)，若∠B＝50°，∠C＝60°，連接OE，OF，DE，DF，∠EDF等于( B )


A．45° B．55° C．65° D．70°


6．圓弧形蔬菜大棚的剖面如圖5所示，AB＝8 m，∠CAD＝30°，則大棚高度CD約為( B )





圖5


A．2.0 m B．2.3 m


C．4.6 m D．6.9 m


【解析】 在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴CD＝eq \f(1,2)AC，∴AC＝2CD.設(shè)CD＝x m，則AC＝2x m，AD＝eq \r(AC2－CD2)＝eq \r(（2x）2－x2)＝eq \r(3)x.∵CD⊥AB，∴AD＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)×8＝4(m)，∴eq \r(3)x＝4，x＝eq \f(4,3)eq \r(3)≈2.3，故選B.


7．一塊等邊三角形的木板，邊長(zhǎng)為1，現(xiàn)將木板沿水平線翻滾(如圖6所示)，那么B點(diǎn)從開始至結(jié)束所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)度為( B )


A.eq \f(3π,2) B.eq \f(4π,3)


C．4 D．2＋eq \f(3π,2)


【解析】 B點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)度是兩條弧長(zhǎng)之和，這兩條弧所對(duì)的圓心角都為120°，所在圓的半徑為1，即2×eq \f(120π×1,180)＝eq \f(4,3)π，選B.





圖6





圖7


8．如圖7所示，扇形AOB的圓心角為120°，半徑為2，則圖中陰影部分的面積為( A )


A.eq \f(4π,3)－eq \r(3) B.eq \f(4π,3)－2eq \r(3)


C.eq \f(4π,3)－eq \f(\r(3),2) D.eq \f(4π,3)


9．如圖8，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點(diǎn)，∠CDB＝20°，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則∠E等于( B )


A．40° B．50°


C．60° D．70°





圖8





圖9


10．如圖9，PA，PB切⊙O于點(diǎn)A，B，PA＝10，CD切⊙O于點(diǎn)E，交PA，PB于C，D兩點(diǎn)，則△PCD的周長(zhǎng)是( C )


A．10 B．18 C．20 D．22


二、填空題(每小題4分，共24分)


11．如圖10所示，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D，E都在⊙O上，若∠C＝∠D＝∠E，則∠A＋∠B＝__135°__.


【解析】 因?yàn)锳B是直徑，∠D＝∠E，所以eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(BC,\s\up8(︵))，且它們的度數(shù)為90°，又∠C＝∠D，所以eq \(DE,\s\up8(︵))的度數(shù)也為90°，所以∠A與∠B所對(duì)弧的度數(shù)和為180°＋90°＝270°，故∠A＋∠B＝135°.





圖10





圖11


12．如圖11，⊙O是△ABC的外接圓，CD是直徑，∠B＝40°，則∠ACD的度數(shù)是__50°__．


13．如圖12，⊙O的半徑OA＝5 cm，弦AB＝8 cm，點(diǎn)P為弦AB上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到圓心O的最短距離是__3__cm__．





圖12





第13題答圖


【解析】 P到圓心O的最短距離即為O到AB的垂線段的長(zhǎng)，此時(shí)OP⊥AB于P，OP＝eq \r(OA2－AP 2)＝eq \r(52－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,2)))\s\up12(2))＝3(cm)．








圖13


14．如圖13，⊙O的兩條弦AB，CD互相垂直，垂足為E，且AB＝CD，已知CE＝1，ED＝3，則⊙O的半徑是__eq \r(5)__．


【解析】 如圖，連接OA，OD，過(guò)O作OF⊥AB，OG⊥CD，垂足分別為F，G，AB＝CD＝CE＋DE＝1＋3＝4，所以DG＝AF＝2，OF＝EG＝3－2＝1，所以O(shè)A＝eq \r(AF2＋OF2)＝eq \r(22＋12)＝eq \r(5).





圖14


15．如圖14，CB切⊙O于點(diǎn)B，CA交⊙O于點(diǎn)D且AB為⊙O的直徑，點(diǎn)E是eq \(ABD,\s\up8(︵))上異于點(diǎn)A、D的一點(diǎn)．若∠C＝40°，則∠E的度數(shù)為__40°__．


16.





圖15


如圖15，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在5×5的網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度)的格點(diǎn)上，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A′BC′的位置，且點(diǎn)A′、C′仍落在格點(diǎn)上，則圖中陰影部分的面積約是__7.2__．(π≈3.14，結(jié)果精確到0.1)


【解析】 由題意可得，AB＝A′B＝eq \r(22＋32)＝eq \r(13)，


∠ABA′＝90°，


S扇形BAA′＝eq \f(90π×（\r(13)）2,360)＝eq \f(13π,4)，


S△BA′C′＝eq \f(1,2)BC′×A′C′＝3，


則S陰影＝S扇形BAA′－S△BA′C′＝eq \f(13π,4)－3≈7.2


故答案為7.2.


三、解答題(共66分)


17．(8分)如圖16，將一個(gè)兩邊都帶有刻度的直尺放在半圓形紙片上，使其一邊經(jīng)過(guò)圓心O，另一邊所在直線與半圓相交于點(diǎn)D，E，量出半徑OC＝5 cm，弦DE＝8 cm，求直尺的寬．





圖16


解：過(guò)點(diǎn)O作OM⊥DE于點(diǎn)M，連接OD，


則DM＝eq \f(1,2)DE.


∵DE＝8 cm，∴DM＝4 cm.


在Rt△ODM中，∵OD＝OC＝5 cm，


∴OM＝eq \r(OD2－DM2)＝eq \r(52－42)＝3(cm)，


∴直尺的寬度為3 cm.


18．(9分)如圖17，AB是⊙O的直徑，AC與⊙O相切，切點(diǎn)為A，D為⊙O上一點(diǎn)，AD與OC相交于點(diǎn)E，且∠DAB＝∠C.求證：OC∥BD.





圖17


證明：∵AC與⊙O相切，


∴AC⊥AB，∴∠DAB＋∠CAE＝90°.


∵∠DAB＝∠C，∴∠C＋∠CAE＝90°，


∴∠CEA＝90°，即OC⊥AD.


又∵AB是⊙O的直徑，∴BD⊥AD，∴OC∥BD.


19．(9分)如圖18，AD是⊙O的弦，AB經(jīng)過(guò)圓心O，交⊙O于點(diǎn)C，直線BD與⊙O相切，∠DAB＝30°.


(1)求∠B的度數(shù)；


(2)連接CD，若CD＝5，求AB的長(zhǎng)．





圖18 第19題答圖


解：(1)連接OD，


∵直線BD與⊙O相切，∴∠ODB＝90°，


∵OD＝OA，∴∠DAB＝∠ADB＝30°，∴∠DOB＝60°，∴∠B＝90°－60°＝30°；


(2)連接CD，∠COD＝∠OAD＋∠ODA＝30°＋30°＝60°，


又OC＝OD∴△OCD是等邊三角形，


即：OC＝OD＝CD＝5＝OA，


∵∠ODB＝90°，∠B＝30°，∴OB＝10，


∴AB＝AO＋OB＝5＋10＝15.


20．(10分)如圖19，在△ABC中，AB＝BC，以AB為直徑作⊙O交AC于點(diǎn)D.點(diǎn)E為⊙O上一點(diǎn)．連接ED并延長(zhǎng)與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接AE，BE.若∠BAE＝60°，∠F＝15°.


解答下列問(wèn)題．


(1)求證：直線FB是⊙O的切線；


(2)若BE＝eq \r(3) cm，則AC＝________cm.





圖19


解：(1)∵AB為⊙O直徑，


∴∠AEB＝90°.


則在Rt△ABE中，∠BAE＝60°，


∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－60°＝30°.


∴∠ADE＝∠ABE＝30°.


∴∠FDC＝∠ADE＝30°.


∴∠ACB＝∠FDC＋∠F＝30°＋15°＝45°.


∵AB＝BC，


∴∠CAB＝∠ACB＝45°.


∴∠ABC＝180°－∠CAB－∠ACB＝90°.


∴AB⊥BC，又 ∵AB為⊙O直徑，


∴直線FB是⊙O的切線；


(2)2eq \r(2).


21．(10分)如圖20所示，△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在OC的延長(zhǎng)線上，∠B＝30°，∠D＝30°.





圖20


(1)求證：AD是⊙O的切線；


(2)若AC＝6，求AD的長(zhǎng)．


【解析】 (1)點(diǎn)A在⊙O上，連接OA，只需證明DA⊥OA即可．(2)由已知得∠AOC＝2∠B＝60°，即△AOC為等邊三角形，故AO＝AC.在Rt△AOD中，由∠D＝30°，求AD長(zhǎng)．


解：(1)證明：如圖所示，連接OA.





∵∠AOC＝2∠B，∴∠AOC＝60°.


∵∠D＝30°，∴∠OAD＝180°－∠D－∠AOD＝90°，


∴OA⊥AD，∴AD是⊙O的切線．


(2)∵OA＝OC，∠AOC＝60°，


∴△AOC是等邊三角形，∴OA＝AC＝6.


∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，∴OD＝2AO＝12，


∴AD＝eq \r(OD2－OA2)＝eq \r(122－62)＝6eq \r(3).


22．(10分)已知⊙O中，AC為直徑，MA，MB分別切⊙O于點(diǎn)A，B，連接AB.


(1)如圖①，若∠BAC＝25°，求∠AMB的大??；





①





②


圖21


(2)如圖②，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D，若BD＝MA，求∠AMB的大?。?br/>

解：(1)∵M(jìn)A切⊙O于點(diǎn)A，∴∠MAC＝90°.


又∠BAC＝25°，∴∠MAB＝∠MAC－∠BAC＝65°.


∵M(jìn)A，MB分別切⊙O于點(diǎn)A，B，


∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠MBA，


∴∠AMB＝180°－(∠MAB＋∠MBA)＝50°.


(2)如圖，連接AD.





∵M(jìn)A⊥AC，又BD⊥AC，∴BD∥MA.又BD＝MA，


∴四邊形MADB是平行四邊形．


∵M(jìn)A＝MB，∴四邊形MADB是菱形，


∴AD＝BD.


又AC為直徑，BD⊥AC，∴eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(AD,\s\up8(︵))，∴AB＝AD＝BD，


∴△ABD是等邊三角形，∴∠D＝60°，


∴在菱形MADB中，∠AMB＝∠D＝60°.


23．(10分)[2013·錦州]如圖22，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，OD⊥BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線，交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BE.


(1)求證：BE與⊙O相切；


(2)設(shè)OE交⊙O于點(diǎn)F，若DF＝1，BC＝2eq \r(3)，求由劣弧BC，線段CE和BE所圍成的圖形面積S.





圖22


解：(1)連接OC.


∵OC＝OB，OD⊥BC，


∴∠COD＝∠BOD.


又∵OC＝OB，OE＝OE，


∴△OCE≌△OBE.


∴∠OCE＝∠OBE.


∵CE切⊙O于點(diǎn)C，


∴OC⊥CE.


∴∠OCE＝90°.


∴∠OBE＝90°.


∴OB⊥BE.


∴BE與⊙O相切．





(2)設(shè)⊙O的半徑長(zhǎng)為r，則OD＝r－1，OB＝r.


∵OC＝OB，OD⊥BC，


∴BD＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)＝eq \r(3).


在Rt△OBD中，由勾股定理得(r－1)2＋(eq \r(3))2＝r2，解得r＝2.


∴OD＝1，OB＝2.


∴∠BOD＝60°.


在Rt△OBE中，BE＝2eq \r(3).


∴S△OBE＝eq \f(1,2)×OB×BE＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)＝2eq \r(3).


∵△OCE≌△OBE，


∴S△OCE＝S△OBE＝2eq \r(3).


∴S四邊形OBEC＝4eq \r(3).


∵∠COD＝∠BOD，∠BOD＝60°，


∴∠BOC＝120°.


∴S扇形OBC＝eq \f(120,360)·π·22＝eq \f(4,3)π.


∴S＝S四邊形OBEC－S扇形OBC＝4eq \r(3)－eq \f(4,3)π＝eq \f(12\r(3)－4π,3).

















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