第12講 三角形的分類（講義） （知識梳理+易錯匯總+易錯精講+易錯專練） 1、三角形按角分類。銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。3個角都是銳角的三角形叫作銳角三角形；有一個角是直角的三角形叫作直角三角形；有一個角是鈍角的三角形叫作鈍角三角形。2、三角形按邊分類。不等邊三角形和等腰三角形，等腰三角形包括等邊三角形。等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫作等腰三角形。在等腰三角形中，相等的兩條邊叫作腰，兩腰的夾角叫作頂角，兩腰與底邊的夾角叫作底角。等腰三角形的兩腰相等，兩個底角也相等。等邊三角形：3條邊都相等的三角形叫作等邊三角形，也叫作正三角形。等邊三角形每個角都是60°。3、直角三角形。直角三角形中相互垂直的兩條邊叫作直角邊，直角所對的邊叫作斜邊。斜邊大于任意一條直角邊。  1、一個三角形中至少有兩個銳角，因此，根據(jù)最大的角就能直接判斷出三角形的類型。2、等腰三角形是按邊分類的結(jié)果，銳角三角形是按角分類的結(jié)果，二者沒有必然關(guān)聯(lián)。3、等邊三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等邊三角形。4、一個三角形中最多有一個直角。  【易錯一】三個角都是60°的三角形是（       ）三角形。A．銳角 B．等邊 C．鈍角【分析】根據(jù)等邊三角形的特性判定即可。【詳解】據(jù)等邊三角形的特性可知：三個角都是60°的三角形是等邊三角形。故選：B【點睛】本題考查等邊三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握基本知識。【易錯二】（1）在一個三角形中，有一個角是91度，這是一個(        )三角形。（2）在一個三角形中，有兩個角的度數(shù)相同，這是一個(        )三角形。（3）在一個三角形中，有一個角是90度，這是一個(        )三角形。【分析】三角形可以按照角分為銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形；也可以按邊分為等腰三角形、等邊三角形，據(jù)此解答。【詳解】（1）有一個角是鈍角的三角形叫鈍角三角形，91°是鈍角，所以這是一個鈍角三角形；（2）在三角形中，有兩個角的度數(shù)相同，等腰三角形兩邊相等，兩個底角也相等，所以這是一個等腰三角形；（3）直角三角形有一個角是90°，所以這是一個直角三角形。【點睛】掌握三角形的分類是解答此題關(guān)鍵。【易錯三】彩霞小區(qū)準備在花園（如圖）上面架設(shè)一條從A地到B地的本棧道，花園是由3個大小不同的等邊三角形組成的，如果你是設(shè)計師，從節(jié)約成本的角度，你會選擇①、②、③號線路的哪一條，說說你的理由。 【分析】分別將三條線路的長度算出來，選擇最短的一條即可，注意等邊三角形三邊相等。【詳解】①：（20＋40）×2＝60×2＝120（米）②：20＋40＝60（米）③：20×2＋40×2＝40＋80＝120（米）選擇路線②最短。【點睛】本題也可以直接用兩點之間線段最短來解答。【易錯四】30．用3根小棒擺三角形，用4根小棒擺四邊形，小棒的長度都一樣，看看各能擺幾種。把你擺的圖形畫下來。擺成的三角形：        擺成的四邊形（至少畫兩種）：通過以上操作活動，用3根小棒擺三角形，你的發(fā)現(xiàn)是（    ），用4根小棒擺四邊形，你的發(fā)現(xiàn)是（    ）。【分析】根據(jù)三角形的意義和四邊形的意義，可以擺一擺，并畫出圖形即可。根據(jù)畫出的圖形，說出自己的發(fā)現(xiàn)，合理即可。【詳解】用3根小棒擺三角形，我的發(fā)現(xiàn)是由相同的小棒擺三角形，只能擺出一種，是等邊三角形。（答案不唯一）用4根小棒擺四邊形，我的發(fā)現(xiàn)是由相同的小棒擺四邊形，可以擺出不同形狀的四邊形。（答案不唯一）【點睛】此題考查了三角形的意義和四邊形的意義，還有圖形的拼組問題。【易錯五】32．李叔叔用一根72cm長的鐵絲圍成一個等邊三角形，這等邊三角形的邊長是多少厘米？如果用這根鐵絲圍成一個底邊30厘米的等腰三角形，那么這個等腰三角形的每條腰長多少厘米？【分析】根據(jù)題意可知，等邊三角形的邊長是（72÷3）厘米，等腰三角形的腰長是[（72－30）÷2]厘米。【詳解】72÷3＝24（厘米）（72－30）÷2＝42÷2＝21（厘米）答：等邊三角形的邊長是24厘米，等腰三角形的腰長是21厘米。【點睛】正確理解等邊三角形、等腰三角形的意義及特征，是解答此題的關(guān)鍵。   一、選擇題1．一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)分別是、、，這個三角形是（    ）。A．銳角三角形 B．等腰直角三角形 C．等邊三角形2．任意一個三角形最多有（    ）鈍角。A．1 B．2 C．3 D．無法確定3．從甲地到乙地有三條路（如圖）走第（    ）條路最近。A．① B．② C．③4．直角三角形有（    ）高。A．1條 B．2條 C．3條 D．4條5．等邊三角形一定是（    ）三角形。A．銳角 B．直角 C．鈍角 D．任意6．一個三角形中三條邊的長度都是15cm，那么這個三角形肯定不是（    ）三角形。A．等邊 B．銳角 C．直角7．所有的等邊三角形都是（    ）。A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形8．有兩張完全相同的直角三角形紙片，每張直角三角形紙片的邊長分別為3cm、4cm、5cm，用這兩張紙片可以拼出（    ）個不同的等腰三角形。A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題9．下面的3個三角形都被一張紙條遮住了一部分，①是(        )三角形，②是(        )三角形，③可能是(        )三角形，也可能是(        )三角形，還可能是(        )三角形。10．一根繩子正好圍成一個長12米、寬9米的長方形，如果改圍成一個等邊三角形，那么這個等邊三角形一條邊的長是(        )米。11．“紅領(lǐng)巾心向黨，爭做新時代好少年。”少先隊員佩戴的紅領(lǐng)巾，按角分屬于(        )三角形，按邊分屬于(        )三角形。12．用一根長24分米的鐵絲圍成一個等腰三角形，如果底邊長10分米，那么這個三角形的腰長(        )分米。13．將一根16分米長的鐵絲截成三段，首尾相接正好可以圍成一個等腰三角形，其中一段長4分米，另外兩段的長分別是(        )分米和(        )分米。14．我們學(xué)到的很多數(shù)學(xué)知識間存在著密切的聯(lián)系，如圖中若a表示長方形，則b可以表示正方形；若a表示等腰三角形，則b可以表示(        )。15．把一根長16厘米的小棒截成三段（每段的長都是整厘米數(shù)），圍成一個等腰三角形，可以怎樣截？把你能想到的方法填在下面的表格里。 第一種第二種第三種底/厘米(        )(        )(        )腰/厘米(        )(        )(        )16．根據(jù)下面的圖形填空。(        )個直角三角形；(        )個鈍角三角形。三、判斷題17．三角形按邊來分類，可分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。(          )18．等邊三角形一定是等腰三角形，等腰三角形也一定是等邊三角形。(        )19．一個等腰三角形兩條邊的長度分別是3cm、6cm，這個等腰三角形的周長可能是12cm，也可能是15cm。(      )20．根據(jù)三角形中任意一個角的度數(shù)可以判斷出這個三角形是什么三角形。(        )四、作圖題21．在下面的方格圖中畫一個等腰三角形，再畫出它的高。22．在下面的方格紙中畫一個三角形，并畫出它的一條高。五、解答題23．王老師用鐵絲做了一個等腰三角形教具，量的它的周長是54厘米。它的一條腰長16厘米，求底邊的長是多少厘米？   24．用一根長42厘米的繩子，圍成一個底邊長為12厘米的等腰三角形，這個三角形的腰長多少厘米？   25．王爺爺家有一塊等腰三角形的菜地，其中的兩條邊長分別為28米和14米，這塊菜地的周長是多少米？   26．李叔叔用一根72厘米長的鐵絲圍成一個底邊長為30厘米的等腰三角形，那么這個等腰三角形的每條腰長多少厘米？   27．爸爸在制作一個三角形晾衣架時需要三根鋼管，已知他要做的這個晾衣架是一個等腰三角形，底邊是20厘米，腰長是16厘米，那么這個三角形的周長是多少厘米？   28．李奶奶開墾了一塊邊長為8米的等邊三角形荒地種菜，她要在菜地周圍圍一圈籬笆。買籬笆一共需要多少元？   29．一塊等腰三角形的菜地，已知兩條邊分別長是79米和39米，如果在它的周圍用籬笆圍一圈，至少要用籬笆多少米？  30．用一根長24分米的鐵絲圍成一個等腰三角形，如果底邊長10分米，那么，每條腰長多少分米？   參考答案1．B【分析】根據(jù)有一個角是的三角形是直角三角形，有兩個角相等的三角形是等腰三角形，解答此題即可。【詳解】根據(jù)分析可知：一個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)分別是、、，這個三角形是等腰直角三角形。故答案為：B【點睛】熟練掌握三角形的分類標準是解答此題的關(guān)鍵。2．A【分析】直角三角形有一個角是直角，其它兩個角都是銳角；銳角三角形的三個角都是銳角，鈍角三角形其中一個角是鈍角，其它兩個角都是銳角；依此選擇。【詳解】根據(jù)分析可知，任意一個三角形最多有1鈍角。故答案為：A【點睛】熟練掌握鈍角三角形、直角三角形、銳角三角形的特點是解答此題的關(guān)鍵。3．B【分析】此題為數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，用兩點之間線段最短公理來求解。【詳解】根據(jù)兩點之間線段最短可知，走第②條路最近。故答案為：B【點睛】此題為數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，考查知識點是：兩點之間線段最短。4．C【分析】有一個角是直角的三角形是直角三角形；從三角形的一個頂點到它的對邊作一條垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高，這條對邊叫做三角形的底，依此進行選擇。【詳解】直角三角形有3條高。如圖所示，直角三角形ABC中，BC邊上的高是AC，AB邊上的高是DC，AC邊上的高是BC。 故答案為：C【點睛】此題考查的是三角形的高及畫法，熟練掌握直角三角形的特點是解答此題的關(guān)鍵。5．A【分析】等邊三角形的三個角都相等，都是60°，由此根據(jù)三角形按角分類的方法：有一個角是直角的三角形是直角三角形；三個角都是銳角的三角形是銳角三角形；有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形；進行選擇即可。【詳解】等邊三角形的三個角都是60°，都是銳角，所以等邊三角形是銳角三角形。故答案為：A【點睛】抓住等邊三角形的三個角都相等的性質(zhì)和銳角三角形的定義即可解答問題。6．C【分析】根據(jù)等邊三角形的特征：等邊三角形又叫做正三角形，其三條邊都相等，三個內(nèi)角都相等，即每個內(nèi)角都是60°，據(jù)此解答即可。【詳解】由分析可知：因為一個三角形中三條邊長度相等，這是一個等邊三角形，等邊三角形的三個角也相等，所以這個三角形肯定不是直角三角形。故答案為：C【點睛】解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)邊的關(guān)系確定角的范圍，再判斷三角形的類型，要分情況考慮。7．A【分析】所有的等邊三角形三個角都是60度。三個角都是銳角的三角形，是銳角三角形；所以所有的等邊三角形都是銳角三角形。【詳解】根據(jù)分析可知：所有的等邊三角形都是銳角三角形。故答案為：A【點睛】熟悉等邊三角形的特征、銳角三角形的定義是解答此題的關(guān)鍵。8．B【分析】由題意可得，直角三角形的兩條直角邊分別為3cm和4cm，則可以用直角邊為3cm和4cm的直角邊分別重疊，據(jù)此畫圖即可。【詳解】第一種等腰三角形：第二種等腰三角形：故答案為：B【點睛】此題考查了三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是明確等腰三角形的特性即可。9．     直角     鈍角     銳角     鈍角     直角【分析】有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形，有一個角是直角的三角形是直角三角形，三個角都是銳角的三角形是銳角三角形，依此填空。【詳解】圖①中有一個直角，即①是直角三角形；圖②中有一個鈍角，即②是鈍角三角形；圖③中只露出了一個銳角，其它的兩個角中，可能都是銳角，或有一個鈍角，或有一個直角，因此③可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形，還可能是直角三角形。【點睛】熟練掌握三角形的分類標準是解答本題的關(guān)鍵。10．14【分析】先根據(jù)“長方形的周長＝（長＋寬）×2”計算出這根繩子的總長度，等邊三角形的三條邊都相等，因此用這根繩子的總長度除以3即可，依此計算。【詳解】（12＋9）×2＝21×2＝42（米）42÷3＝14（米）【點睛】此題考查的是等邊三角形的特點，三角形的周長，以及長方形的周長的計算，應(yīng)熟練掌握。11．     鈍角     等腰【分析】有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形，三個角都是銳角的三角形是銳角三角形，有一個角是直角的三角形是直角三角形；兩腰相等，兩個底角相等的三角形是等腰三角形；三條邊都相等，三個角都相等的三角形是等邊三角形，依此填空。【詳解】根據(jù)三角形的分類標準可知，少先隊員佩戴的紅領(lǐng)巾，按角分屬于鈍角三角形，按邊分屬于等腰三角形。【點睛】熟練掌握三角形的分類標準是解答此題的關(guān)鍵。12．7【分析】根據(jù)題意，24分米是等腰三角形的周長，先用24減10，求出兩條腰長的和，再用兩條腰長的和除以2，即可求出三角形的腰長。【詳解】24－10＝14（分米）14÷2＝7（分米）所以用一根長24分米的鐵絲圍成一個等腰三角形，如果底邊長10分米，那么這個三角形的腰長7分米。【點睛】本題考查了等腰三角形的特點：兩腰相等。13．     6     6【分析】等腰三角形的兩腰相等，等腰三角形三條邊的總長度是16分米；三角形3條邊的關(guān)系是：任意兩邊的長度之和大于第三邊，任意兩邊的長度之差小于第三邊，依此進行填空即可。【詳解】假設(shè)4分米為腰長，則底長為：16－4－4＝8（分米）4＋4＝8（分米），8分米＝8分米，因此4分米不能為腰長；假設(shè)4分米為底長，則腰長為：（16－4）÷2＝12÷2＝6（分米）6分米＋4分米＞6分米；6分米－4分米＜6分米，即底長為4分米，腰長為6分米因此其中一段長4分米，另外兩段的長分別是6分米和6分米。【點睛】此題考查的是三角形的周長，等腰三角形的特點，三角形三條邊之間的關(guān)系，應(yīng)熟練掌握。14．等邊三角形【分析】兩條邊相等的三角形叫等腰三角形，三條邊都相等的三角形叫等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形，據(jù)此即可解答。【詳解】根據(jù)分析可知，圖中若a表示等腰三角形，則b可以表示等邊三角形。【點睛】本題主要考查學(xué)生對三角形分類知識的掌握和靈活。15．     4     6     2     6     5     7【分析】根據(jù)三角形的特性：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊的差一定小于第三邊；進行解答即可。【詳解】因為6＋6＋4＝16，4＋6＞6，所以可以圍成4厘米、6厘米、6厘米的等腰三角形；因為5＋5＋6＝16，5＋5＞6，所以可以圍成5厘米、5厘米、6厘米的等腰三角形；因為7＋7＋2＝16，2＋7＞7，所以可以圍成2厘米、7厘米、7厘米的等腰三角形；填表如下： 第一種第二種第三種底/厘米462腰/厘米657 【點睛】此題是考查三角形三邊之間的關(guān)系，以及等腰三角形的特征，應(yīng)熟練掌握和靈活運用。16．     6     4【分析】由三條線段首尾相連圍成的圖形，叫三角形。有一個角是直角的三角形叫直角三角形；有一個角是鈍角的三角形叫鈍角三角形。根據(jù)三角形的定義和分類，即可解答。【詳解】由上圖可知，圖中一共有6個直角三角形；由上圖可知，圖中一共有4個鈍角三角形。【點睛】本題主要考查三角形的分類，屬于基礎(chǔ)知識，要熟練掌握。17．×【分析】三條邊相等的三角形是等邊三角形；兩腰相等的三角形是等腰三角形；三條邊都不相等的三角形是不等邊三角形；有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形，有一個角是直角的三角形是直角三角形，三個角都是銳角的三角形是銳角三角形；依此判斷。【詳解】根據(jù)分析可知，三角形按邊來分類，可分為等邊三角形，不等邊三角形，等腰三角形，如下圖所示：三角形按角來分類，可分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，如下圖所示：故答案為：×【點睛】熟練掌握三角形的分類標準是解答此題的關(guān)鍵。18．×【分析】等腰三角形：有兩條邊相等的三角形。在等腰三角形中，相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底。兩腰的夾角叫做頂角，底邊上的兩個角叫做底角。等腰三角形的兩個底角相等。等邊三角形：三條邊都相等的三角形。等邊三角形是特殊的等腰三角形，等邊三角形的3個內(nèi)角都是60°。【詳解】等邊三角形是三條邊都相等的三角形，而等腰三角形是只要有兩條邊相等就行。所以等邊三角形是等腰三角形，等腰三角形不一定是等邊三角形，只有三條邊相等的等腰三角形才是等邊三角形；故原題干錯誤。故答案為：×【點睛】此題重在考查等邊三角形與等腰三角形的概念，以及對它們的理解能力。19．×【分析】根據(jù)在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，所以這個等腰三角形的兩條腰應(yīng)該是6cm，由此把三條邊加起來即可。【詳解】3＋3＝6則這個等腰三角形的兩條腰應(yīng)該是6cm。6＋6＋3＝15（cm）所以，這個等腰三角形的周長是15cm，故原題說法錯誤。故答案為：×【點睛】關(guān)鍵是根據(jù)三角形的特性判斷出等腰三角形的腰長。20．×【分析】如果這個角大于或等于90°，就可以判定是鈍角或者直角三角形；如果小于90°，則不能；進而得出結(jié)論。【詳解】由分析可得：只看三角形的一個角，不一定能判斷出它是什么三角形；所以原題說法錯誤。故答案為：×【點睛】此題考查了根據(jù)角對三角形分類的方法：三個角都是銳角，這個三角形是銳角三角形；有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形；有一個角是直角的三角形是直角三角形。21．見詳解【分析】根據(jù)等腰三角形的定義，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形，據(jù)此即可畫出等腰三角形；經(jīng)過等腰三角形的頂點（與底相對的點）向?qū)叄ǖ祝┳鞔咕€，頂點和垂足之間的線段就是等腰三角形底邊上的高，用三角板的直角即可畫出。【詳解】如圖所示：（畫法不唯一）【點睛】熟練掌握等腰三角形的特征，是解答此題的關(guān)鍵。22．見詳解【分析】根據(jù)三角形的意義，由三條線段首尾連接而成的封閉圖形就是三角形，即可畫出一個三角形；經(jīng)過三角形的頂點（與底相對的點）向?qū)叄ǖ祝┳鞔咕€，頂點和垂足之間的線段就是三角形的一條高，用三角板的直角可以畫出三角形的高。【詳解】如圖所示：（畫法不唯一）【點睛】本題主要考查作三角形、畫三角形的高，注意作高用虛線，并標出垂足。23．22厘米【分析】等腰三角形的周長和腰長已知，因為等腰三角形的兩條腰相等，所以利用三角形的周長減去兩條腰長，就是底邊的長度，據(jù)此解答。【詳解】答：這個三角形的底邊長是22厘米。【點睛】此題考查三角形的周長以及等腰三角形兩腰相等的性質(zhì)的靈活應(yīng)用，結(jié)合題意分析解答即可。24．15厘米【分析】根據(jù)等腰三角形的特征可知，等腰三角形的兩條腰長相等，所以用42厘米減去12厘米，再除以2，即可求出這個三角形的腰長多少厘米。【詳解】（42－12）÷2＝30÷2＝15（厘米）答：這個三角形的腰長15厘米。【點睛】熟練掌握等腰三角形的特征，是解答此題的關(guān)鍵。25．70米【分析】等腰三角形的兩腰相等，三角形3條邊的關(guān)系是：任意兩邊的長度之和大于第三邊，任意兩邊的長度之差小于第三邊，依此確定出這個等腰三角形菜地每條邊的長度，再計算出這個等腰三角形菜地三條邊的總長度即可。【詳解】假設(shè)腰長為14米，14＋14＝28（米），28米＝28米，即14米只能是底的長度。28＋14＝42（米），42米＞28米28－14＝14（米），14米＜28米即腰長為28米28＋28＋14＝70（米）答：這塊菜地的周長是70米。【點睛】此題考查的是三角形周長的計算，應(yīng)熟練掌握三角形三條邊之間的關(guān)系，以及等腰三角形的特點，應(yīng)熟練掌握。26．21厘米【分析】根據(jù)題意可知此等腰三角形的周長等于鐵絲長度，即72厘米。等腰三角形的兩條腰相等，用周長減去底邊長即得2條腰長，再除以2即得腰長。【詳解】（72－30）÷2＝42÷2＝21（厘米）答：每條腰長21厘米。【點睛】此題依據(jù)等腰三角形的特征：兩腰相等。解決關(guān)鍵是理解鐵絲的長就是等腰三角形的周長。27．52厘米【分析】等腰三角形兩腰相等，兩條腰的長度加底邊長，就是這個三角形的周長。【詳解】20＋16×2＝20＋32＝52（厘米）答：這個三角形的周長是52厘米。【點睛】熟悉等腰三角形的特征是解答此題的關(guān)鍵。28．600元【分析】等邊三角形的三邊相等，等邊三角形荒地邊長乘3等于三角形荒地的周長，即籬笆的長度，再乘每米籬笆的價錢即等于買籬笆需要的錢。【詳解】8×3×25＝24×25＝600（元）答：買籬笆一共需要600元。【點睛】熟練掌握等邊三角形的特征是解答本題的關(guān)鍵。29．197米【分析】先根據(jù)構(gòu)成三角形的特征，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，判斷等腰三角形的兩腰以及底邊的長度，再把三邊的長度相加即可，據(jù)此解答。【詳解】所以三角形的兩腰分別是79米、79米，底邊是39米，答：至少要用籬笆197米。【點睛】熟練掌握等腰三角形的特征以及三角形周長的計算方法是解答本題的關(guān)鍵。30．7分米【分析】等腰三角形的兩腰相等，因此用鐵絲的長度減去底邊的長度后，再除以2即可，依此計算。【詳解】24－10＝14（分米）14÷2＝7（分米）答：每條腰長7分米。【點睛】熟練掌握等腰三角形的特點是解答本題的關(guān)鍵。

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三角形的分類

版本： 人教版（2024）

年級： 四年級下冊

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