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第12講 通分（講義）
（知識(shí)梳理+易錯(cuò)匯總+易錯(cuò)精講+易錯(cuò)專練）


1、公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的意義。
幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫作它們的公倍數(shù)；其中最小的公倍數(shù)叫作它們的最小公倍數(shù)。
2、求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法。
（1）列舉法；（2）篩選法；（3）分解質(zhì)因數(shù)法；（4）短除法。
3、求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的特殊情況。
（1）當(dāng)兩個(gè)數(shù)成倍數(shù)關(guān)系時(shí)，較大數(shù)就是它們的最小公倍數(shù)；（2）當(dāng)兩個(gè)數(shù)只有公因數(shù)1時(shí)，這兩個(gè)數(shù)的積就是它們的最小公倍數(shù)。
4、用公倍數(shù)、最小公倍數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題。
當(dāng)所求量分別與兩個(gè)已知量的倍數(shù)有關(guān)時(shí)，可以用公倍數(shù)、最小公倍數(shù)知識(shí)解決。
5、分?jǐn)?shù)大小比較的方法。
（1）同分母分?jǐn)?shù)相比較，分子大的分?jǐn)?shù)大。（2）同分子分?jǐn)?shù)相比較，分母小的分?jǐn)?shù)大。（3）分子、分母都不同的分?jǐn)?shù)比較大?。孩倩赏帜阜?jǐn)?shù)（也就是通分）比較；②化成同分子分?jǐn)?shù)比較；③化成小數(shù)比較。
6、通分的意義。
把異分母分?jǐn)?shù)分別化成和原來(lái)分?jǐn)?shù)相等的同分母分?jǐn)?shù)，叫作通分。
7、通分的方法。
通分時(shí)，先用原分母的公倍數(shù)做公分母，通常用最小公倍數(shù)做公分母，再把各分?jǐn)?shù)化成用這個(gè)最小公倍數(shù)做分母的分?jǐn)?shù)。


1、兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)不一定比這兩個(gè)數(shù)都大，兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)不一定比這兩個(gè)數(shù)都小。
2、兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)也是它們的公倍數(shù)，兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，后面要加“…”。
3、通分時(shí)，并不是只能選擇分母的最小公倍數(shù)做公分母，只要是分母的公倍數(shù)就可以，但是選擇最小公倍數(shù)做公分母計(jì)算起來(lái)比較簡(jiǎn)便。
4、通分或約分前后，分?jǐn)?shù)的大小不變。



【易錯(cuò)一】“綠色”小分隊(duì)帶了一些樹苗去植樹，已知每行植的棵數(shù)一樣多，如果每行植8棵或者每行植10棵，那都會(huì)剩下3棵，問(wèn)他們至少帶了（????）棵樹苗。
A．83 B．80 C．40 D．43
【解題思路】每行植8棵或者每行植10棵，那都會(huì)剩下3棵，說(shuō)明樹苗的棵數(shù)比10和8的公倍數(shù)多3棵，求出10和8的最小公倍數(shù)，加上3，就是至少帶的棵數(shù)，據(jù)此分析。
【完整解答】10＝2×5
8＝2×2×2
2×2×2×5＝40（棵）
40＋3＝43（棵）
他們至少帶了43棵樹苗。
故答案為：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握最小公倍數(shù)的求法，全部公有的質(zhì)因數(shù)和各自獨(dú)立的質(zhì)因數(shù)，它們連乘的積就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。
【易錯(cuò)二】北京冬奧會(huì)、冬殘奧會(huì)的籌辦舉辦推動(dòng)了我國(guó)冰雪運(yùn)動(dòng)跨越式發(fā)展，參與冰雪運(yùn)動(dòng)人數(shù)達(dá)到3.46億，冰天雪地成為鄉(xiāng)村振興的“金山銀山”。1月22日是寒假的第一天，小冰和小雪開始了假期的滑雪訓(xùn)練。從這天起，小冰總是訓(xùn)練1天，休息3天；小雪總是訓(xùn)練1天，休息5天。小冰和小雪下一次同時(shí)訓(xùn)練是( )月( )日。
【解題思路】由題意可知，小冰每（3＋1）天訓(xùn)練1天，小雪每（5＋1）天訓(xùn)練1天，小冰和小雪同時(shí)訓(xùn)練的經(jīng)過(guò)天數(shù)是4和6的公倍數(shù)，求兩人下次同時(shí)訓(xùn)練的日期，先求出兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，再加上開始日期，據(jù)此解答。
【完整解答】3＋1＝4（天）
5＋1＝6（天）

4和6的最小公倍數(shù)為：2×2×3＝12
1月22日＋12日＝2月3日
所以，小冰和小雪下一次同時(shí)訓(xùn)練是2月3日。
【點(diǎn)睛】本題主要考查應(yīng)用最小公倍數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，準(zhǔn)確求出兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)并掌握日期的推算方法是解答題目的關(guān)鍵。
【易錯(cuò)三】樂(lè)樂(lè)家的空氣加濕器，每6天會(huì)亮一次燈（提醒清洗），每15天會(huì)響一次提醒音（提醒消毒）。9月1日的時(shí)候既亮燈又響鈴了，下一次既亮燈又響鈴是在哪一天？
【解題思路】由題意可知，先求出6和15的最小公倍數(shù)，再用9月1日加上它們的最小公倍數(shù)即可。
【完整解答】6＝2×3
15＝3×5
則6和15的最小公倍數(shù)是2×3×5＝30
9月1日＋30＝10月1日
答：下一次既亮燈又響鈴是在10月1日。
【點(diǎn)睛】本題考查最小公倍數(shù)，明確求最小公倍數(shù)的方法是解題的關(guān)鍵。
【易錯(cuò)四】三人讀同一篇文章，芳芳用了小時(shí)，大力用了小時(shí)，小明用了小時(shí)，誰(shuí)讀得最快？（????）
A．芳芳 B．大力 C．小明 D．無(wú)法比較
【解題思路】同樣一篇文章，誰(shuí)用的時(shí)間少，誰(shuí)的速度就快；利用異分母分?jǐn)?shù)大小的比較方法先將它們化成同分母分?jǐn)?shù)，再比較大小即可。
【完整解答】



故答案為：A
【點(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是將這幾個(gè)數(shù)化成同分母分?jǐn)?shù)，再比較大小。
【易錯(cuò)五】尚好飲品店進(jìn)了三種總?cè)萘肯嗤娘嬈?，星期六整天的銷售情況如下表，如果你是這家飲品的一名員工，你想對(duì)老板提些什么好建議？（要求先比較大小再提出一個(gè)好建議）
咖啡奶
椰奶
果汁
售出占
售出占
售出占
【解題思路】咖啡奶的銷售量占總銷售量的，椰奶的銷售量占總銷售量的，果汁的銷售量占總銷售量的，它們所對(duì)應(yīng)的單位“1”相同，都是總銷售量，所以只需要比較分率的大小，即可說(shuō)明哪種飲品的銷售量更多；因此利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，將三個(gè)分?jǐn)?shù)化成同分母分?jǐn)?shù)，即可比較大小，如果哪種飲品售出的多，就應(yīng)該多進(jìn)貨，問(wèn)題即可得解。
【完整解答】＝＝
＝＝
＝＝
＜＜
說(shuō)明果汁的銷售量最多。
答：通過(guò)比較大小，可知果汁售出的更多，對(duì)老板提的建議是：多進(jìn)一些果汁，加強(qiáng)廣告宣傳。
【點(diǎn)睛】此題的解題關(guān)鍵是掌握異分母異分子分?jǐn)?shù)的大小比較的方法。



一、選擇題
1．下列說(shuō)法正確的是（????）。
A．兩個(gè)奇數(shù)的差一定是奇數(shù)；
B．鈍角三角形只有一條高；
C．兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)一定是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)；
D．所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)。
2．和的分?jǐn)?shù)單位相比較（????）。
A．的分?jǐn)?shù)單位大 B．的分?jǐn)?shù)單位大 C．一樣大
3．一筐蘋果，3個(gè)3個(gè)地拿，4個(gè)4個(gè)地拿，6個(gè)6個(gè)地拿都正好拿完，沒(méi)有剩余。這筐蘋果最少有（????）個(gè)。
A．12 B．24 C．6
4．一個(gè)分?jǐn)?shù)，分子不變，分母擴(kuò)大到原來(lái)的3倍。這個(gè)分?jǐn)?shù)值就會(huì)（????）。
A．不變 B．?dāng)U大 C．縮小 D．無(wú)法確定
5．“綠色”小分隊(duì)帶了一些樹苗去植樹，已知每行植的棵數(shù)一樣多，如果每行植8棵或者每行植10棵，那都會(huì)剩下3棵，問(wèn)他們至少帶了（????）棵樹苗。
A．83 B．80 C．40 D．43
6．把約分得到最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)后，下面說(shuō)法正確的是（????）。
A．分?jǐn)?shù)單位變小了 B．分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)增加了
C．分?jǐn)?shù)單位變大了 D．分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)不變
7．五（1）班的學(xué)生少于50人，每2人分一組，剩1人，每3人分一組，剩1人，每5人分一組，也剩1人。五（1）班有（????）名學(xué)生。
A．29 B．30 C．31 D．46
8．用3、4或7去除都余2的數(shù)中，最小的是（????）。
A．82 B．84 C．86 D．88
二、填空題
9．用若干張長(zhǎng)9cm、寬6cm的長(zhǎng)方形紙擺正方形，擺出的正方形邊長(zhǎng)最小是( )cm，需要( )張這樣的長(zhǎng)方形紙。
10．小明出生的月份數(shù)是質(zhì)數(shù)，他在這個(gè)月的最后一天出生，日期剛好是2、3、5的公倍數(shù)，他的生日是( )月( )日。
11．兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是它們最小公倍數(shù)的( )。
12．有一些橘子，若平均分成3堆則缺1個(gè)，若平均分成4堆則缺1個(gè)，若平均分成5堆也缺1個(gè)。這堆橘子至少有( )個(gè)。
13．m和n是兩個(gè)非零自然數(shù)，，那么m和n的最小公倍數(shù)是( )。
14．一筐蘋果，三個(gè)三個(gè)數(shù)，四個(gè)四個(gè)數(shù)，五個(gè)五個(gè)地?cái)?shù)都正好數(shù)完。這筐蘋果至少有( )個(gè)。
15．有一條小路，左邊每隔5米種一棵桃樹、右邊每隔6米種一棵梨樹，而且兩端都種上樹，共有5處桃樹與梨樹相對(duì)。這條路長(zhǎng)( )米。
16．已知，且a、b、c、d四個(gè)數(shù)均不為0，那么在這四個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)是( )，最小的數(shù)是( )。
三、判斷題
17．約分是把分?jǐn)?shù)變小了，通分是把分?jǐn)?shù)變大了。( )
18．小于而又大于的分?jǐn)?shù)只有一個(gè)。( )
19．在＜＜中，括號(hào)里可以填大于3小于8的數(shù)。( )
20．兩個(gè)非0且不相等的自然數(shù)，它們的公因數(shù)是有限的，公倍數(shù)是無(wú)限的。( )
四、計(jì)算題
21．求下面各組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。
12和18???????????????????22和11
7和8?????????????????????1和15
22．把下面各組分?jǐn)?shù)通分并比較大小。
和??????????????和

五、解答題
23．某廣場(chǎng)的噴泉由內(nèi)外雙層構(gòu)成，外層每隔10分鐘噴一次，里層每隔6分鐘噴一次。18時(shí)同時(shí)噴過(guò)一次后，下次同時(shí)噴水是幾時(shí)幾分？



24．偃師802路和803路公交車早上7時(shí)同時(shí)從起始站發(fā)車，802路車每10分鐘發(fā)一輛，803路車每15分鐘發(fā)一輛。這兩路車第二次同時(shí)發(fā)車是什么時(shí)間？



25．端午節(jié)，劉阿姨買了一大箱粽子，粽子總數(shù)不超過(guò)280個(gè)。3個(gè)3個(gè)地?cái)?shù)，4個(gè)4個(gè)地?cái)?shù)，7個(gè)7個(gè)地?cái)?shù)都恰好數(shù)完。請(qǐng)你計(jì)算劉阿姨這箱粽子最多有多少個(gè)？



26．學(xué)校啦啦隊(duì)30多名隊(duì)員，可以6個(gè)人一組，也可以9人一組，都正好分完。學(xué)校啦啦隊(duì)共有多少人？



27．五（2）班學(xué)生進(jìn)行隊(duì)列表演，每行12人或8人都正好排完。已知這個(gè)班的學(xué)生接近50人，你知道這個(gè)班有學(xué)生多少人嗎？



28．五（1）班42名同學(xué)參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中有12名同學(xué)獲得名次，五（2）班45名同學(xué)參加，有15名同學(xué)獲得名次，兩個(gè)班獲得名次的人數(shù)各占本班人數(shù)的幾分之幾？哪個(gè)班的獲獎(jiǎng)率高？



29．美術(shù)課上，小紅用了20分鐘畫了一幅畫，小剛用的時(shí)間是整節(jié)課的。一節(jié)課40分鐘，誰(shuí)用的時(shí)間長(zhǎng)？



30．在全縣小學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)跳遠(yuǎn)冠亞軍爭(zhēng)奪賽上，劉軍最后成績(jī)是米，黃誠(chéng)最后成績(jī)是米，誰(shuí)是冠軍？誰(shuí)是亞軍？（比較作答）



31．五（1）班在學(xué)校種植園里種一些蔬菜，種哪種蔬菜的面積最大？（寫出你的思考過(guò)程）
種植種類
西紅柿
黃瓜
豆角
占種植園幾分之幾






32．學(xué)校有三個(gè)水龍頭在滴水。第一個(gè)水龍頭小時(shí)滴了1桶水；第二個(gè)水龍頭小時(shí)滴了1桶水；第三個(gè)水龍頭小時(shí)滴了1桶水，每個(gè)桶裝的水一樣多，哪個(gè)水龍頭滴水最慢？









參考答案
1．C
【分析】根據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可知：①奇數(shù)＋奇數(shù)＝偶數(shù)；②奇數(shù)－奇數(shù)＝偶數(shù)；
依據(jù)三角形分類及其高的特點(diǎn)即可作答；
兩個(gè)或多個(gè)整數(shù)公有的倍數(shù)叫做它們的公倍數(shù)，其中除0以外最小的一個(gè)公倍數(shù)就叫做這幾個(gè)整數(shù)的最小公倍數(shù)。全部公有的質(zhì)因數(shù)和各自獨(dú)立的質(zhì)因數(shù)，它們連乘的積就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。所以兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)一定是其最小公倍數(shù)的倍數(shù)，據(jù)此解答；
質(zhì)數(shù)是指除了1和它本身的兩個(gè)因數(shù)以外再?zèng)]有其他的因數(shù)的數(shù)。不能被2整除的自然數(shù)叫奇數(shù)，能被2整除的自然數(shù)叫偶數(shù)。據(jù)此解答。
【詳解】A．根據(jù)分析得，奇數(shù)－奇數(shù)＝偶數(shù)，兩個(gè)奇數(shù)的差是偶數(shù)，原題說(shuō)法錯(cuò)誤；
B．鈍角三角形是有三條高的。鈍角三角形的三條高只有一條是在三角形內(nèi)，另外的兩條在三角形外，原題說(shuō)法錯(cuò)誤；
C．根據(jù)分析得，兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)一定是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)，原題說(shuō)法正確；
D．2是質(zhì)數(shù)，但2不是奇數(shù)，而是偶數(shù)，原題說(shuō)法錯(cuò)誤；
故答案為：C
【點(diǎn)睛】此題主要考查奇數(shù)和偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、三角形的高、公倍數(shù)與最小公倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、奇數(shù)以及偶數(shù)的意義。
2．B
【分析】一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母是幾，這個(gè)分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位就是幾分之一；然后根據(jù)分?jǐn)?shù)比較大小的方法，分子相同，比較分母，分母小的反而大。據(jù)此選擇即可。
【詳解】由分析可知：
的分?jǐn)?shù)單位是，的分?jǐn)?shù)單位是，因?yàn)椋迹缘姆謹(jǐn)?shù)單位大。
故答案為：B
【點(diǎn)睛】本題考查分?jǐn)?shù)單位，明確分?jǐn)?shù)單位的定義是解題的關(guān)鍵。
3．A
【分析】由題意可知，蘋果的數(shù)量是3、4、6的最小公倍數(shù)，根據(jù)求最小公倍數(shù)的方法，求出3、4、6的最小公倍數(shù)即可。
【詳解】因?yàn)?是3的2倍，所以3和6的最小公倍數(shù)是6；


所以4和6的最小公倍數(shù)是
所以3、4、6的最小公倍數(shù)是12。則這筐蘋果最少有12個(gè)。
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查最小公倍數(shù)，明確求最小公倍數(shù)的方法是解題的關(guān)鍵。
4．C
【分析】根據(jù)商的變化規(guī)律：被除數(shù)不變，除數(shù)擴(kuò)大到幾倍或縮小到原來(lái)的幾分之一（0除外），商反而縮小到原來(lái)的幾分之一或擴(kuò)大相同的倍數(shù)。根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，可得分子不變，分母擴(kuò)大到幾倍或縮小到原來(lái)的幾分之一，分?jǐn)?shù)值反而縮小到原來(lái)的幾分之一或擴(kuò)大相同的倍數(shù)。據(jù)此解答。
【詳解】根據(jù)分析可知，一個(gè)分?jǐn)?shù)，分子不變，分母擴(kuò)大到原來(lái)的3倍。這個(gè)分?jǐn)?shù)值就會(huì)縮?。?br /> 例如：


故答案為：C
【點(diǎn)睛】本題考查了分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系以及分?jǐn)?shù)的變化規(guī)律。
5．D
【分析】每行植8棵或者每行植10棵，那都會(huì)剩下3棵，說(shuō)明樹苗的棵數(shù)比10和8的公倍數(shù)多3棵，求出10和8的最小公倍數(shù)，加上3，就是至少帶的棵數(shù)，據(jù)此分析。
【詳解】10＝2×5
8＝2×2×2
2×2×2×5＝40（棵）
40＋3＝43（棵）
他們至少帶了43棵樹苗。
故答案為：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握最小公倍數(shù)的求法，全部公有的質(zhì)因數(shù)和各自獨(dú)立的質(zhì)因數(shù)，它們連乘的積就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。
6．C
【分析】分母是幾分?jǐn)?shù)單位就是幾分之一，分?jǐn)?shù)比大小，分子相同看分母，分母小的分?jǐn)?shù)大，據(jù)此分析。
【詳解】，的分?jǐn)?shù)單位是，的分?jǐn)?shù)單位是，＜，分?jǐn)?shù)單位變大了。
故答案為：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是理解分?jǐn)?shù)單位的含義，掌握分?jǐn)?shù)大小比較方法。
7．C
【分析】根據(jù)題意，每2人分一組，剩1人，每3人分一組，剩1人，每5人分一組，也剩1人；說(shuō)明五（1）班的學(xué)生總?cè)藬?shù)比2、3、5的公倍數(shù)還多1；先求出2、3、5的最小公倍數(shù)，再求最小公倍數(shù)在50以內(nèi)的倍數(shù)，最后加上1，就是五（1）班的學(xué)生總?cè)藬?shù)。
【詳解】2、3、5的最小公倍數(shù)：2×3×5＝30
30×2＝60，60＞50，不符合題意；
30＋1＝31（名）
五（1）班有31名學(xué)生。
故答案為：C
【點(diǎn)睛】本題考查最小公倍數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，利用求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法解決問(wèn)題。
8．C
【分析】由題可知，這個(gè)數(shù)是3、4和7的最小公倍數(shù)再加2。
【詳解】3、4和7的最小公倍數(shù)是：3×4×7＝84，
這個(gè)數(shù)是：84＋2＝86
86÷3＝28……2
86÷4＝21……2
86÷7＝12……2
故答案為：C
【點(diǎn)睛】本題考查如何去求幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，本題求得的結(jié)果后可以用除法驗(yàn)證是否正確。
9．???? 18???? 6
【分析】用若干張長(zhǎng)9cm、寬6cm的長(zhǎng)方形紙擺正方形，那么正方形的邊長(zhǎng)是9和6公倍數(shù)；求擺出的正方形的最小邊長(zhǎng)，就是求9和6的最小公倍數(shù)。再看正方形的最小邊長(zhǎng)分別需要幾個(gè)長(zhǎng)、幾個(gè)寬，然后相乘即可。
【詳解】9＝3×3
6＝2×3
9和6的最小公倍數(shù)是：2×3×3＝18；
即正方形的邊長(zhǎng)最小是18cm。
18÷9＝2
18÷6＝3
一共：2×3＝6（張）
擺出的正方形邊長(zhǎng)最小是18cm，需要6張這樣的長(zhǎng)方形紙。
【點(diǎn)睛】本題考查求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法及應(yīng)用，利用求最小公倍數(shù)的方法計(jì)算出正方形的最小邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵。
10．???? 11???? 30
【分析】?jī)蓚€(gè)或多個(gè)整數(shù)公有的倍數(shù)叫作它們的公倍數(shù)，其中最小的一個(gè)公倍數(shù)就叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。
一個(gè)月最多有31天，可先確定2、3、5的最小公倍數(shù)，是30；因?yàn)?0日有可能是一個(gè)月的最后一天，且一個(gè)月最多有31天，所以不需要再繼續(xù)求30以外的公倍數(shù)；再看哪個(gè)月份數(shù)是質(zhì)數(shù)，且這個(gè)月份的最后一天是30日即可。
【詳解】由分析得：
2、3、5的最小公倍數(shù)是30，且只有11月份的最后一天是30日，同時(shí)11是質(zhì)數(shù)。則小明的出生日是11月30日。
【點(diǎn)睛】解答本題，需要考慮的條件較復(fù)雜，且這些條件同時(shí)存在；在解答時(shí)能很好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。
11．因數(shù)
【分析】?jī)蓚€(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是這兩個(gè)數(shù)公有質(zhì)因數(shù)的乘積，兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是這兩個(gè)數(shù)公有質(zhì)因數(shù)和各自獨(dú)有質(zhì)因數(shù)的乘積，它們的最大公因數(shù)一定是最小公倍數(shù)的因數(shù)，據(jù)此解答。
【詳解】?jī)蓚€(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是它們最小公倍數(shù)的因數(shù)，如：12和16，12＝2×2×3，16＝2×2×2×2，12和16的最大公因數(shù)為2×2＝4，12和16的最小公倍數(shù)為2×2×3×2×2＝48，4是48的因數(shù)。
【點(diǎn)睛】?jī)蓚€(gè)數(shù)的最大公因數(shù)一定是最小公倍數(shù)的因數(shù)，最小公倍數(shù)一定是最大公因數(shù)的倍數(shù)。
12．59
【分析】根據(jù)題意，一些橘子平均分成3堆、4堆、5堆都缺1個(gè)，說(shuō)明這堆橘子的個(gè)數(shù)比3、4、5的公倍數(shù)還少1；先求出3、4、5的最小公倍數(shù)，再減1，就是這堆橘子至少的個(gè)數(shù)。
【詳解】3、4、5的最小公倍數(shù)是：3×4×5＝60
這堆橘子至少有：60－1＝59（個(gè)）
【點(diǎn)睛】本題考查最小公倍數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，利用求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法解決問(wèn)題。
13．mn
【分析】根據(jù)，n×1＋1＝m，所以m、n是相鄰的兩個(gè)自然數(shù)，所以m和n的最小公倍數(shù)是它們兩個(gè)數(shù)的乘積。
【詳解】因?yàn)?，所以m和n是相鄰的兩個(gè)自然數(shù)，所以m和n的最小公倍數(shù)是mn。
【點(diǎn)睛】本題考查了最小公倍數(shù)，互質(zhì)的兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是它們兩個(gè)數(shù)的乘積。
14．60
【分析】由題意可知，蘋果的數(shù)量應(yīng)是3、4、5的最小公倍數(shù)，據(jù)此解答即可。
【詳解】3×4×5
＝12×5
＝60（個(gè)）
這筐蘋果至少有60個(gè)。
【點(diǎn)睛】本題考查求最小公倍數(shù)，明確求最小公倍數(shù)的方法是解題的關(guān)鍵。
15．120
【分析】5和6的最小公倍數(shù)是30，也就是說(shuō)每30米左右兩邊是相對(duì)的，有5處相對(duì)，所以中間就有4個(gè)30米，這條路就是120米。
【詳解】5×6＝30
30×（5－1）
＝30×4
＝120（米）
【點(diǎn)睛】此題解答的關(guān)鍵是先求出5和6的最小公倍數(shù)，然后根據(jù)題意，得出中間有4個(gè)30米，進(jìn)而列式，得出結(jié)論。
16．???? d???? c
【分析】因?yàn)樗膫€(gè)算式的得數(shù)相等，可以設(shè)，根據(jù)因數(shù)＝積÷另外一個(gè)因數(shù)，被除數(shù)＝商×除數(shù)，分別求出a、b、c、d的值，然后根據(jù)異分母異分子分?jǐn)?shù)大小比較的方法，先通分，轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)再比較大小，分母相等，分子越大，分?jǐn)?shù)值就越大；據(jù)此可得出答案。
【詳解】設(shè)，
則a：
b：
c：
d：
把a(bǔ)、b、c、d的值通分： ，，，
因?yàn)椋荆荆荆?br /> 所以d＞b＞a＞c。
【點(diǎn)睛】此題的關(guān)鍵是運(yùn)用賦值法，根據(jù)乘法、除法中各部分的關(guān)系計(jì)算出a、b、c、d的值，再進(jìn)行比較。
17．×
【分析】通分是指把異分母的分?jǐn)?shù)變?yōu)橥帜傅姆謹(jǐn)?shù)；約分是指分子和分母同時(shí)除以一個(gè)不為0的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小不變；通分和約分依據(jù)的都是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，通分或約分后分?jǐn)?shù)的大小不變。
【詳解】由分析可知：
一個(gè)分?jǐn)?shù)無(wú)論是通分或約分后，分?jǐn)?shù)的大小都不變。所以原題干說(shuō)法錯(cuò)誤。
故答案為：×
【點(diǎn)睛】本題考查通分和約分，明確通分和約分依據(jù)的是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。
18．×
【分析】利用分?jǐn)?shù)的大小比較，分子相同，分母越大分?jǐn)?shù)值越小；＜＜，看似1個(gè)，而實(shí)際上，把分子分母擴(kuò)大到10倍，分?jǐn)?shù)值不變，在和間的分?jǐn)?shù)，有很多，把分子分母擴(kuò)大到100倍、1000倍……，在兩個(gè)分?jǐn)?shù)之間的分?jǐn)?shù)更多，無(wú)窮無(wú)盡；因此得解。
【詳解】小于而又大于的分?jǐn)?shù)有無(wú)數(shù)個(gè)，如、、、…
所以小于而又大于的分?jǐn)?shù)有無(wú)數(shù)個(gè)。原題干說(shuō)法錯(cuò)誤。
故答案為：×
【點(diǎn)睛】此題主要利用分?jǐn)?shù)的意義、分?jǐn)?shù)單位以及分?jǐn)?shù)的大小比較來(lái)解決問(wèn)題。
19．√
【分析】因?yàn)槿齻€(gè)分?jǐn)?shù)的分子相同，分母大的這個(gè)分?jǐn)?shù)就??；又因?yàn)榉肿佣际?，所以分母只能填大于3小于8的數(shù)，即7、6、5、4這四個(gè)數(shù)。
【詳解】在＜＜中，括號(hào)里可以填大于3小于8的數(shù)。此說(shuō)法正確。
故答案為：√
【點(diǎn)睛】此題根據(jù)前后兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小即可推出結(jié)果，考查學(xué)生的分?jǐn)?shù)大小比較的方法掌握。
20．√
【分析】?jī)蓚€(gè)數(shù)公有的因數(shù)叫做它們的公因數(shù)，兩個(gè)數(shù)公因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，最小公因數(shù)是1，兩個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)叫做它們的公倍數(shù)，兩個(gè)數(shù)公倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，沒(méi)有最大公倍數(shù)，據(jù)此解答。
【詳解】分析可知，兩個(gè)非0且不相等的自然數(shù)，它們的公因數(shù)是有限的，公倍數(shù)是無(wú)限的，如：2和4，2和4的公因數(shù)有1，2；2和4的公倍數(shù)有4，8，12，16…
故答案為：√
【點(diǎn)睛】?jī)蓚€(gè)數(shù)的公因數(shù)是最大公因數(shù)的因數(shù)，公因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)是最小公倍數(shù)的倍數(shù)，公倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的。
21．6，36；11，22；
1，56；1，15
【分析】求最大公因數(shù)也就是這幾個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積，最小公倍數(shù)是共有質(zhì)因數(shù)與獨(dú)有質(zhì)因數(shù)的連乘積。當(dāng)兩個(gè)數(shù)為互質(zhì)數(shù)時(shí)，它們的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是這兩個(gè)數(shù)的乘積；進(jìn)而解答即可。當(dāng)兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系時(shí)，較大的數(shù)是它們的最小公倍數(shù)，較小的數(shù)是它們的最大公因數(shù)。
【詳解】12＝2×2×3，18＝2×3×3，
所以12和18的最大公因數(shù)是2×3＝6，最小公倍數(shù)是2×2×3×3＝36。
22÷11＝2，22和11是倍數(shù)關(guān)系，
所以22和11的最大公因數(shù)是11，最小公倍數(shù)是22。
7和8是互質(zhì)數(shù)，所以7和8的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是7×8＝56。
15÷1＝15，15和1是倍數(shù)關(guān)系，
所以1和15的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是15。
22．＝；＝；＜；＝；＝；＞
【分析】分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)大小不變；分?jǐn)?shù)比較大?。悍肿雍头帜覆煌雀鶕?jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)通分，再比較分子，分子大的數(shù)較大，分子小的數(shù)較小。
【詳解】
＝
＝

＝
＝
因?yàn)椋?br /> 所以＜

＝
＝

＝
＝
因?yàn)椋?br /> 所以＞
23．18時(shí)30分
【分析】求下次同時(shí)噴水是幾時(shí)幾分，先求出10和6的最小公倍數(shù)，即同時(shí)噴水的間隔時(shí)間，然后加上18時(shí)即可。
【詳解】10＝2×5
6＝2×3
所以10和6的公倍數(shù)是2×3×5＝30
即間隔30分鐘同時(shí)噴水，
18時(shí)＋30分鐘＝18時(shí)30分
答：下次同時(shí)噴水是18時(shí)30分。
【點(diǎn)睛】此題主要考查幾個(gè)數(shù)最小公倍數(shù)的求法及用此知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。
24．7時(shí)30分
【分析】?jī)陕奋噺?時(shí)同時(shí)發(fā)出后，到第二次再同時(shí)發(fā)出的間隔時(shí)間是10和15的最小公倍數(shù)?？上扔枚坛ㄇ蟪?0和15的最小公倍數(shù)，再用7時(shí)加上間隔的時(shí)間求出兩路車第二次同時(shí)發(fā)車的時(shí)間。
【詳解】
10和15的最小公倍數(shù)是5×2×3＝30。即30分鐘后，兩車第二次同時(shí)發(fā)車。
7時(shí)分時(shí)30分
答：這兩路車第二次同時(shí)發(fā)車是7時(shí)30分。
【點(diǎn)睛】解決這類問(wèn)題時(shí)，找準(zhǔn)最小公倍數(shù)是關(guān)鍵。
25．252個(gè)
【分析】根據(jù)題意，3個(gè)3個(gè)地?cái)?shù)，4個(gè)4個(gè)地?cái)?shù)，7個(gè)7個(gè)地?cái)?shù)都恰好數(shù)完，說(shuō)明這箱粽子的總數(shù)是3、4、7的公倍數(shù)；先求出3、4、7的最小公倍數(shù)，再求最小公倍數(shù)在280以內(nèi)的倍數(shù)且最接近280的數(shù)，就是這箱粽子最多的個(gè)數(shù)。
【詳解】3、4、7的最小公倍數(shù)是：3×4×7＝84
84×3＝252（個(gè)）????
84×4＝336（個(gè)）
252＜280＜336
答：這箱粽子最多有252個(gè)。
【點(diǎn)睛】本題考查最小公倍數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，利用求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法解決問(wèn)題。
26．36人
【分析】根據(jù)題意，可以6個(gè)人一組，也可以9人一組，都正好分完，那么啦啦隊(duì)的總?cè)藬?shù)是6和9的公倍數(shù)；先求出6和9的最小公倍數(shù)，再求最小公倍數(shù)在30～40以內(nèi)的倍數(shù)，就是啦啦隊(duì)的總?cè)藬?shù)。
【詳解】6＝2×3
9＝3×3
6和9的最小公倍數(shù)是：2×3×3＝18
18×2＝36（人）
答：學(xué)校啦啦隊(duì)共有36人。
【點(diǎn)睛】本題考查最小公倍數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，利用求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法解決問(wèn)題。
27．48人
【分析】由題意得：要求這個(gè)班有多少人，因?yàn)檫@個(gè)班的學(xué)生不到50人，所以也就是求12和8的公倍數(shù)是多少，先求出兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，再適當(dāng)列舉出公倍數(shù)，觀察哪個(gè)數(shù)和50最接近，據(jù)此解答。
【詳解】12＝2×2×3
8＝2×2×2
12和8的最小公倍數(shù)是：2×2×2×3＝24
所以12和8的公倍數(shù)有24、48、72等等。
因?yàn)檫@個(gè)班的學(xué)生接近50人，所以人數(shù)是：
24×2＝48（人）
答：這個(gè)班有48人。
【點(diǎn)睛】此題主要考查求兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法：兩個(gè)數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)與每個(gè)數(shù)獨(dú)有質(zhì)因數(shù)的連乘積是最小公倍數(shù)。
28．； ；五（2）班獲獎(jiǎng)率高
【分析】分別用兩個(gè)班獲得名次的人數(shù)÷本班人數(shù)＝獲得名次的人數(shù)占本班人數(shù)的幾分之幾；根據(jù)分?jǐn)?shù)大小比較方法，比較兩個(gè)班獲得名次的人數(shù)的對(duì)應(yīng)分率，對(duì)應(yīng)分率大的獲獎(jiǎng)率高，據(jù)此分析。
【詳解】12÷42＝＝??
15÷45＝＝
＝
＝
＜
答：五（1）班獲得名次的人數(shù)占本班人數(shù)的，五（2）班獲得名次的人數(shù)占本班人數(shù)的，五（2）班獲獎(jiǎng)率高。
【點(diǎn)睛】求一個(gè)數(shù)占另一個(gè)數(shù)的幾分之幾用除法，異分母分?jǐn)?shù)比較大小，先通分再比較。
29．小剛
【分析】根據(jù)求一個(gè)數(shù)占另一個(gè)數(shù)的幾分之幾，用一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)，則用小紅用的時(shí)間除以整節(jié)課的時(shí)間，即可求出小紅用的時(shí)間占整節(jié)課的幾分之幾，再和小剛占整節(jié)課的進(jìn)行比較即可。
【詳解】

因?yàn)?br /> 所以
答：小剛用的時(shí)間長(zhǎng)。
【點(diǎn)睛】本題考查了求一個(gè)數(shù)占另一個(gè)數(shù)的幾分之幾，用除法計(jì)算以及分?jǐn)?shù)帶大小的比較。
30．黃誠(chéng)是冠軍，劉軍是亞軍
【分析】比較劉軍與黃誠(chéng)的跳遠(yuǎn)成績(jī)，誰(shuí)跳得遠(yuǎn)，誰(shuí)就是冠軍。
和的整數(shù)部分相同，把它們的真分?jǐn)?shù)通分成同分母的分?jǐn)?shù)，再根據(jù)分母相同時(shí)，分子越大，分?jǐn)?shù)值就越大，進(jìn)行比較大小，得出結(jié)論。
【詳解】＝
＝
因?yàn)椋?，所以＜?br /> 答：黃誠(chéng)是冠軍，劉軍是亞軍。
【點(diǎn)睛】本題考查分?jǐn)?shù)大小比較的方法，帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分相同，只需比較真分?jǐn)?shù)的大小即可。
31．豆角；過(guò)程見詳解
【分析】比較三種蔬菜所占種植園的幾分之幾，對(duì)應(yīng)分?jǐn)?shù)最大的面積最大，異分母分?jǐn)?shù)比較大小，先通分再比較。
【詳解】＝、＝、＝
＞＞
答：種豆角的面積最大。
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握分?jǐn)?shù)大小比較方法。
32．第二個(gè)水龍頭
【分析】要求哪個(gè)水龍頭滴水最慢，根據(jù)相同的工作量需要的時(shí)間長(zhǎng)的就是慢的，比較分?jǐn)?shù)大小即可解答。
【詳解】＝，＝，＝，
因?yàn)椋迹?，所以第二個(gè)水龍頭滴水最慢。
【點(diǎn)睛】此題考查的是分?jǐn)?shù)的比較，解答此題應(yīng)注意先通分再比較。

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