?6.4.3.3 余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例 第2課時(shí) 高度、角度問(wèn)題
A級(jí)　基礎(chǔ)鞏固
1.某人向正東走了x km后向左轉(zhuǎn)了150°,然后沿新方向走了3 km,結(jié)果離出發(fā)點(diǎn)恰好 km,那么x的值是 (　　)
A. B.2 C.3 D.2或
解析:根據(jù)題意畫(huà)出示意圖如圖所示,

由正弦定理,得sin∠CAB===.
因?yàn)锽C>AC,所以∠CAB>B,B=30°,
所以∠CAB=60°或∠CAB=120°.
當(dāng)∠CAB=60°時(shí),∠ACB=90°,x=2;
當(dāng)∠CAB=120°時(shí),∠ACB=30°,x=.故選D.
答案:D
2.如圖所示,某工程中要將一個(gè)長(zhǎng)為100 m,傾斜角為75°的斜坡改造成傾斜角為30°的斜坡,并保持坡高不變,則坡底需加長(zhǎng) (　　)

A.100 m B.100 m C.50(+)m D.200 m
解析:如圖所示.

由條件知AD=100sin 75°=100sin(45°+30°)=100(sin 45°cos 30°+
cos 45°sin 30°)=25(+)(m),
CD=100cos 75°=25(-)(m),
所以BD===25(3+)(m).
所以BC=BD-CD=25(3+)-25(-)=100(m).
答案:A
3.如圖所示,當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉,在其正東方向相距20 n mile的B處,有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救,甲船立即前往營(yíng)救,同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30°相距10 n mile C處的乙船,乙船立即朝北偏東θ+30°角的方向沿直線前往B處營(yíng)救,則sin θ 的值為 (　　)
A. B. C. D.
解析:如圖所示,連接BC.

在△ABC中,AC=10 n mile,AB=20 n mile,∠CAB=120°,
根據(jù)余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠CAB=100+
400+200=700,
所以BC=10 n mile.
根據(jù)正弦定理,得=,
即=,
所以sin∠ACB=,所以sin θ=.
答案:C
4.學(xué)校里有一棵樹(shù),甲同學(xué)在A地測(cè)得樹(shù)尖的仰角為45°,乙同學(xué)在B地測(cè)得樹(shù)尖的仰角為30°,量得AB=AC=10 m,樹(shù)根部為C(A,B,C在同一水平面上),則∠ACB=　　　　.?
解析:如圖所示,AC=10 m,∠DAC=45°,所以DC=10 m.

因?yàn)椤螪BC=30°,所以BC=10 m,cos∠ACB==,所以∠ACB=30°.
答案:30°
5.如圖所示,為測(cè)量山高M(jìn)N,選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn).從點(diǎn)A測(cè)得點(diǎn)M的仰角∠MAN=60°,點(diǎn)C的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;從點(diǎn)C測(cè)得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,求山高M(jìn)N.

解:如圖所示,在Rt△ABC中,BC=100 m,∠CAB=45°,

所以AC=100 m.
在△AMC中,∠CAM=75°,∠ACM=60°,
所以∠AMC=45°.已知AC=100 m,
所以由正弦定理,知=,
所以AM=100 m.
在Rt△AMN中,∠NAM=60°,
所以MN=AM·sin 60°=100×=150(m).
B級(jí)　能力提升
6.在某個(gè)位置測(cè)得某山峰仰角為θ,對(duì)著山峰在地面上前進(jìn)600 m后測(cè)得仰角為2θ,繼續(xù)在地面上前進(jìn)200 m以后測(cè)得山峰的仰角為4θ,則該山峰的高度為　　　　m.?
解析:如圖所示,

△BED,△BDC為等腰三角形,
BD=ED=600 m,BC=DC=200 m.
在△BCD中,由余弦定理可得
cos 2θ==,
所以2θ=30°,4θ=60°.
在Rt△ABC中,AB=BC·sin 4θ=200×=300(m).
答案:300
7.一只蜘蛛沿東北方向爬行x cm捕捉到一只小蟲(chóng),然后向右轉(zhuǎn)105°,爬行10 cm捕捉到另一只小蟲(chóng),這時(shí)它向右轉(zhuǎn)135°爬行可回到它的出發(fā)點(diǎn),那么x=　　　　cm.?
解析:如圖所示,在△ABC中,
AB=x,BC=10,∠ABC=180°-105°=75°,

∠BCA=180°-135°=45°,
所以∠BAC=180°-75°-45°=60°.
由正弦定理,得=,所以x=(cm).
答案:
8.某海島周圍42 n mile有暗礁,一輪船由西向東航行,初測(cè)此島在北偏東60°方向,航行30 n mile后測(cè)得此島在東北方向,若不改變航向,則此輪船　　　　觸礁危險(xiǎn)(填“有”或“無(wú)”).?
解析:如圖所示,

由題意可知,在△ABC中,
AB=30 n mile,
∠BAC=30°,
∠ABC=135°,
所以∠ACB=15°.
由正弦定理,得BC====15(+).
在Rt△BDC中,CD=BC=15(+1)

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6.4 平面向量的應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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