1.視角
視角是指觀察物體的兩端 張開的角度.
2.仰角和俯角
與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的 和目標(biāo)視線的夾角.目標(biāo)視線在 時(shí)叫仰角,目標(biāo)視線在 時(shí)叫俯角.
3.方位角
從指北方向 轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的水平角.其取值范圍為 .
4.方向角與方位角是相同的角嗎?
一、單選題
1.從地面上觀察一建在山頂上的建筑物,測(cè)得其視角為α,同時(shí)測(cè)得建筑物頂部仰角為β,則山頂?shù)难鼋菫? )
A.α+βB.α-β
C.β-αD.α
2.如圖所示,飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛垂面內(nèi),若飛機(jī)的高度為18 km,速度為1 000 km/h,飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0°,經(jīng)過1 min后又看到山頂?shù)母┙菫?5°,則山頂?shù)母叨葹?精確到0.1 km,參考數(shù)據(jù):≈1.732)( )
A.11.4 kmB.6.6 km
C.6.5 kmD.5.6 km
3.如圖所示,在坡度一定的山坡A處測(cè)得山頂上一建筑物CD的頂端C對(duì)于山坡的斜度為15°,向山頂前進(jìn)100 m到達(dá)B處,又測(cè)得C對(duì)于山坡的斜度為45°,若CD=50 m,山坡對(duì)于地平面的坡角為θ,則csθ=( )
A. B.2- C.-1 D.
4.如圖,無人機(jī)在離地面高200 m的A處,觀測(cè)到山頂M處的仰角為15°、山腳C處的俯角為45°,已知∠MCN=60°,則山的高度MN為( )
A.150 mB.200 m
C.300 mD.300 m
二、多選題
5.甲、乙兩樓相距20米,從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°,從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°,則( )
A.甲樓高20米
B.甲樓高米
C.乙樓高米
D.乙樓高40米
6.一艘客船上午9:30在A處,測(cè)得燈塔S在它的北偏東30°方向,之后它以每小時(shí)32 nmile的速度繼續(xù)沿正北方向勻速航行,上午10:00到達(dá)B處,此時(shí)測(cè)得客船與燈塔S相距8 nmile,則燈塔S可能在B處的( )
A.北偏東75°
B.南偏東15°
C.東北方向
D.東南方向
三、填空題
7.如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600 m后到達(dá)B處,測(cè)得此山頂在西偏北75°的方向上,仰角為30°,則此山的高度CD= m.
8.(教材改編題)甲船在A處觀察乙船,乙船在它的北偏東60°方向的B處,兩船相距a n mile,乙船向正北行駛,若甲船的速度是乙船的倍,則甲船應(yīng)沿 方向行駛才能追上乙船;追上時(shí)甲船行駛了 n mile.
四、解答題
9.(教材改編題)在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角α=60°,在塔底C處測(cè)得點(diǎn)A的俯角β=45°,已知鐵塔BC部分高32米,求山高CD.
10.如圖,某市郊外景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路經(jīng)過三個(gè)景點(diǎn)A,B,C.為增加景區(qū)人民的收入,景區(qū)管委會(huì)又開發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點(diǎn)D.經(jīng)測(cè)量景點(diǎn)D位于景點(diǎn)A的北偏東30°方向8 km處,位于景點(diǎn)B的正北方向上,還位于景點(diǎn)C的北偏西75°方向上,已知AB=5 km,AD>BD.
(1)景區(qū)管委會(huì)準(zhǔn)備由景點(diǎn)D向景點(diǎn)B修建一條筆直的公路,不考慮其他因素,求出這條公路的長(zhǎng);
(2)求∠ACD的正弦值.
一、選擇題
1.飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi),已知飛機(jī)的高度為海拔15 000 m,速度為1 000 km/h,飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?8°,經(jīng)過108 s后又看到山頂?shù)母┙菫?8°,則山頂?shù)暮０胃叨葹? )
A. km
B. km
C. km
D. km
2.在燈塔A的正東方向,相距40海里的B處,有一艘漁船遇險(xiǎn),在原地等待營(yíng)救.海警船在燈塔A的南偏西30°,相距20海里的C處.現(xiàn)海警船要沿直線CB方向,盡快前往B處救援,則sin∠ACB等于( )
A. B. C. D.
二、填空題
3.(教材改編題)如圖,測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D,測(cè)得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30米,并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為60°,則塔高為 米.
4.如圖,Rt△ABC中,∠BAC=90°,四邊形ABHL,ACFG,BCDE都是正方形,AN⊥DE于點(diǎn)N,交BC于點(diǎn)M.可證△ABE與△HBC全等,進(jìn)而得到矩形BENM與正方形ABHL面積相等;同理可得到矩形CDNM與正方形ACFG面積相等.在該圖中,若tan∠BAE=,則sin∠BEA= .
三、解答題
5.如圖所示,在地面上共線的三點(diǎn)A,B,C處測(cè)得一建筑物的仰角分別為30°,45°,60°,且AB=BC=60 m,求建筑物的高度.
6.如圖,某運(yùn)動(dòng)員從A市出發(fā)沿海岸一條筆直公路以每小時(shí)15 km的速度向東進(jìn)行長(zhǎng)跑訓(xùn)練,長(zhǎng)跑開始時(shí),在A市南偏東方向距A市75 km,且與海岸距離為45 km的海上B處有一艘劃艇與運(yùn)動(dòng)員同時(shí)出發(fā),要追上這位運(yùn)動(dòng)員.
(1)劃艇至少以多大的速度行駛才能追上這位運(yùn)動(dòng)員?
(2)求劃艇以最小速度行駛時(shí)的行駛方向與AB所成的角.
(3)若劃艇每小時(shí)最快行駛11.25 km,劃艇全速行駛,應(yīng)沿何種路線行駛才能盡快追上這名運(yùn)動(dòng)員,最快需多長(zhǎng)時(shí)間?
第4課時(shí) 余弦定理、正弦定理
應(yīng)用舉例——高度、角度問題
必備知識(shí)·落實(shí)
1.視線
2.水平視線 水平視線上方 水平視線下方
3.順時(shí)針 0°~360°({θ|0°≤θ8,舍去,所以x=4-3,
所以這條公路的長(zhǎng)為(4-3)km.
(2)在△ADB中,=,
所以sin∠DAB==,
所以cs∠DAB=,
在△ACD中,∠ADC=∠ADB+∠BDC=30°+75°=105°,
所以cs∠ADC=cs105°=cs(60°+45°)
=cs60°cs45°-sin60°sin45°=,
sin∠ADC=sin105°=sin(60°+45°)=,
所以sin∠ACD=sin[180°-(∠DAC+∠ADC)]
=sin(∠DAC+∠ADC)
=sin∠DAC·cs∠ADC+cs∠DAC·sin∠ADC
=×+×=.
【素養(yǎng)提升組】
1.D 如圖,作CD⊥AB于點(diǎn)D,
∠A=18°,∠ACB=78°-18°=60°,
因?yàn)?08 s=0.03 h,所以AB=1 000×0.03=30(km).
在△ABC中,由正弦定理可得=,
可得BC==20sin18°,
因?yàn)镃D⊥AD,所以C到AB邊的距離為CD=BCsin∠CBD=BCsin78°=20sin18°sin78°,
所以山頂?shù)暮０胃叨葹?15-20sin18°sin78°)km.
2.A 在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,
由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cs120°
=1 600+400-2×40×20×(-)=2 800,
所以BC=20,由正弦定理得sin∠ACB=·sin∠BAC=×=.
3.【解析】在△BCD中,∠CBD=180°-15°-30°=135°,
由正弦定理得=,
所以BC==15.
在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=15tan 60°=15(米).
所以塔高AB=15米.
答案:15
4.【解析】設(shè)AB=k,AC=m,BC=n,可得k2+m2=n2,
又△ABE≌△HBC,
可得AE=CH==,
在△ABE中,tan∠BAE==,
又sin2∠BAE+cs2∠BAE=1,
解得sin∠BAE=,cs∠BAE=,
由cs∠BAE=
=
===,
化為8k2-2km-m2=0,解得m=2k,
又k2+m2=n2,可得n=k,
在△ABE中,=,即=,
可得sin∠BEA=.
答案:
5.【解析】設(shè)建筑物的高度為h,
由題圖知,PA=2h,PB=h,PC=h,
所以在△PBA和△PBC中,分別由余弦定理,
得cs∠PBA=,①
cs∠PBC=.②
因?yàn)椤螾BA+∠PBC=180°,
所以cs∠PBA+cs∠PBC=0.③
由①②③,解得h=30或h=-30(舍去),
即建筑物的高度為30m.
6.【解析】(1)設(shè)劃艇以v km/h的速度從B處出發(fā),沿BC方向(如圖),t h后與運(yùn)動(dòng)員在C處相遇,過B作AC的垂線BD,則BD=45,AD=60,
在△ABC中,AB=75,AC=15t,BC=vt,
則sin∠BAC==,cs∠BAC=.
由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AB·ACcs∠BAC,
得v2t2=(15t)2+752-2×75×15t×.
整理得:v2=-+225
=5 625(-)2+81.
當(dāng)=,即t=時(shí),v2取得最小值81,即vmin=9 km/h,
所以劃艇至少以9 km/h的速度行駛才能追上這位運(yùn)動(dòng)員.
(2)當(dāng)v=9 km/h時(shí),
在△ABC中,AB=75,AC=15×=,BC=9×=,
由余弦定理得cs∠ABC=
==0,
所以∠ABC=90°,所以劃艇以最小速度行駛時(shí)的行駛方向與AB所成的角為90°.
(3)劃艇每小時(shí)最快行駛11.25 km,全速行駛,假設(shè)劃艇沿著垂直于海岸的方向,即BD方向行駛,而BD=45,此時(shí)到海岸距離最短,需要的時(shí)間最少,所以需要=4(h),而4 h時(shí)運(yùn)動(dòng)員向東跑了15×4=60(km),而AD=60,
即4 h時(shí),劃艇和運(yùn)動(dòng)員相遇在點(diǎn)D.
所以劃艇應(yīng)垂直于海岸向北的方向行駛才能盡快追上這名運(yùn)動(dòng)員,最快需要4 h.

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