課題
6.4平面向量的應(yīng)用
單元
第六單元
學(xué)科
數(shù)學(xué)
年級(jí)
高一
教材分析
本節(jié)內(nèi)容是平面向量的應(yīng)用，是在學(xué)習(xí)了平面向量概念及其運(yùn)算的基礎(chǔ)上展開(kāi)的,將平面向量與解析幾何有效結(jié)合，有助于解決很多實(shí)際問(wèn)題。
教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)
1.數(shù)學(xué)抽象：利用平面向量解決實(shí)際問(wèn)題；
2.邏輯推理：通過(guò)課堂探究逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力；
3.數(shù)學(xué)建模：掌握平面向量的應(yīng)用；
4.直觀想象：利用平面向量解決一系列實(shí)際問(wèn)題；
5.數(shù)學(xué)運(yùn)算:能夠正確運(yùn)用平面向量解決實(shí)際問(wèn)題；
6.數(shù)據(jù)分析:通過(guò)經(jīng)歷提出問(wèn)題—推導(dǎo)過(guò)程—得出結(jié)論—例題講解—練習(xí)鞏固的過(guò)程，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性和嚴(yán)密性。
重點(diǎn)
平面向量的應(yīng)用
難點(diǎn)
平面向量的應(yīng)用
教學(xué)過(guò)程
教學(xué)環(huán)節(jié)
教師活動(dòng)
學(xué)生活動(dòng)
設(shè)計(jì)意圖
導(dǎo)入新課
舊知導(dǎo)入：
思考：你還記得平面向量學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)嗎？
平面向量的定義； 2、平面向量的加、減、數(shù)乘三種線性運(yùn)算；3、平面向量的數(shù)量積運(yùn)算；4、平面向量基本定理；5、平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算；
平面向量在解決數(shù)學(xué)和實(shí)際問(wèn)題中有舉足輕重的作用，那么，接下來(lái)我們將借助向量的運(yùn)算探索三角形邊長(zhǎng)與角度的關(guān)系，把解直角三角形問(wèn)題拓展到解任意三角形問(wèn)題。
學(xué)生思考問(wèn)題，引出本節(jié)新課內(nèi)容。
設(shè)置問(wèn)題情境，回顧舊知，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，并引出本節(jié)新課。
講授新課
知識(shí)探究（一）：平面幾何中的向量方法
有了運(yùn)算，向量的力量無(wú)限；沒(méi)有運(yùn)算，向量就只是一個(gè)路標(biāo)。
你能體會(huì)到這句話的含義嗎？我們一起用兩個(gè)具體實(shí)例來(lái)說(shuō)明向量方法在平面幾何中的應(yīng)用。

方法總結(jié)
用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三部曲”：
（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；
（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；
（3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。


小試牛刀
1、已知正方形ABCD，P為對(duì)角線AC上任意一點(diǎn)，PE垂直AB于點(diǎn)E，PF垂直BC于點(diǎn)F，連接DP，EF。求證DP垂直EF。

2、如圖，平行四邊形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，對(duì)角線BD＝2，求對(duì)角線AC的長(zhǎng)．
解 設(shè)eq \(AD,\s\up16(→))＝a，eq \(AB,\s\up16(→))＝b，則eq \(BD,\s\up16(→))＝a－b，eq \(AC,\s\up16(→))＝a＋b，
而|eq \(BD,\s\up16(→))|＝|a－b|＝eq \r(a2－2a·b＋b2)＝eq \r(1＋4－2a·b)＝eq \r(5－2a·b)＝2，
∴5－2a·b＝4，∴a·b＝eq \f(1,2).
又|eq \(AC,\s\up16(→))|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴|eq \(AC,\s\up16(→))|＝eq \r(6)，即AC＝eq \r(6).
方法總結(jié)：向量在平面幾何中常見(jiàn)的應(yīng)用
(1)證明線段平行或點(diǎn)共線問(wèn)題，以及相似問(wèn)題，常用平行向量基本定理
a∥b?a＝λb(λ∈R，b≠0)?x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))
(2)證明線段垂直問(wèn)題，如證明四邊形是矩形、正方形，判斷兩直線(或線段)是否垂直等，常用向量垂直的條件：
a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))
(3)求線段的長(zhǎng)度或說(shuō)明線段相等，常用公式：|a|=eq \r(a2)＝eq \r(x2＋y2) (a＝(x，y))或AB＝|eq \(AB,\s\up16(→))|＝eq \r(?x1－x2?2＋?y1－y2?2) (A(x1，y1)，B(x2，y2))
知識(shí)探究（二）：向量在物理中的應(yīng)用舉例
下面，我們?cè)賮?lái)感受下向量在物理中的應(yīng)用。


思考：
小試牛刀
1、如圖，已知兩個(gè)力的大小和方向，則合力的大小為_(kāi)____N；若在圖示坐標(biāo)系中，用坐標(biāo)表示合力，則合力的坐標(biāo)為_(kāi)____.

2、一個(gè)物體受到同一平面內(nèi)三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3的作用，沿北偏東45°的方向移動(dòng)了8 m，其中|F1|＝2 N，方向?yàn)楸逼珫|30°；|F2|＝4 N，方向?yàn)楸逼珫|60°；|F3|＝6 N，方向?yàn)楸逼?0°，求合力F所做的功．
解：如圖建立坐標(biāo)系，則F1＝(1，eq \r(3))，F(xiàn)2＝(2eq \r(3)，2)，F(xiàn)3＝(－3，3eq \r(3))，則F＝F1＋F2＋F3＝(2eq \r(3)－2，2＋4eq \r(3))．又位移s＝(4eq \r(2)，4eq \r(2))，故合力F所做的功為W＝F·s＝(2eq \r(3)－2)×4eq \r(2)＋(2＋4eq \r(3))×4eq \r(2)＝4eq \r(2)×6eq \r(3)＝24eq \r(6)(J)，所以合力F所做的功為24eq \r(6) J.
力做的功是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體位移的乘積，實(shí)質(zhì)是力和位移兩個(gè)向量的數(shù)量積，即W＝F·s＝|F||s|csθ(θ為F和s的夾角)．
3、在風(fēng)速為75(eq \r(6)－eq \r(2)) km/h的西風(fēng)中，飛機(jī)以150 km/h的航速向西北方向飛行，求沒(méi)有風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航速和航向．
解：設(shè)w＝風(fēng)速，va＝有風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航行速度，vb＝無(wú)風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航行速度，vb＝va－w.如右圖所示．
∴vb，va，w構(gòu)成三角形．
設(shè)|eq \(AB,\s\up16(→))|＝|va|，|eq \(CB,\s\up16(→))|＝|w|，|eq \(AC,\s\up16(→))|＝|vb|，
作AD∥BC，CD⊥AD于點(diǎn)D，BE⊥AD于點(diǎn)E，則∠BAD＝45°.
設(shè)|eq \(AB,\s\up16(→))|＝150，則|eq \(CB,\s\up16(→))|＝75(eq \r(6)－eq \r(2))．
∴|eq \(CD,\s\up16(→))|＝|eq \(BE,\s\up16(→))|＝|eq \(EA,\s\up16(→))|＝75eq \r(2)，|eq \(DA,\s\up16(→))|＝75eq \r(6).
從而|eq \(AC,\s\up16(→))|＝150eq \r(2)，∠CAD＝30°.
∴|vb|＝150eq \r(2) km/h，方向?yàn)楸逼?0°.
方法總結(jié)：向量在物理學(xué)中的應(yīng)用一般涉及力或速度的合成與分解，充分借助向量的平行四邊形法則把物理問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，該題涉及解三角形，同時(shí)正確作圖是前提．
知識(shí)探究（三）：余弦定理
思考1：我們知道，兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等。這說(shuō)明，給定兩邊及其夾角的三角形是唯一確定的。也就是說(shuō)，三角形的其他邊、角都可以用這兩邊及其夾角來(lái)表示。那么，表示的公式是什么？

余弦定理：
三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。即

利用余弦定理，我們可以從三角形已知的兩邊及其夾角直接求出第三邊。
思考3：余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個(gè)角之間的關(guān)系。應(yīng)用余弦定理，我們可以解決已知三角形的三邊確定三角形的角的問(wèn)題，怎么確定呢？
由余弦定理可得如下推論：

利用推論，可以由三角形的三邊直接計(jì)算出三角形的三個(gè)角。
思考4：勾股定理指出了直角三角形中三邊之間的關(guān)系，余弦定理則指出了三角形的三邊與其中的一個(gè)角之間的關(guān)系。你能說(shuō)說(shuō)這兩個(gè)定理之間的關(guān)系嗎？

小試牛刀
1、判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)余弦定理只適用于已知三邊和已知兩邊及其夾角的情況．( × )
(2)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣．( √ )
(3)已知△ABC中的三邊，可結(jié)合余弦定理判斷三角形的形狀．( √ )
例7、在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角為120°，求此三角形的最大邊長(zhǎng)．
解：已知a－b＝4，且a>b，且a＝b＋4，又a＋c＝2b，則b＋4＋c＝2b，所以b＝c＋4，則b>c，從而a>b>c，所以a為最大邊，A＝120°，b＝a－4，c＝a－8.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccsA＝(a－4)2＋(a－8)2＋(a－4)(a－8)，即a2－18a＋56＝0，解得a＝4或a＝14.又b＝a－4>0，所以a＝14.即此三角形的最大邊長(zhǎng)為14.
方法總結(jié)：
(1)已知兩邊和兩邊夾角，直接應(yīng)用余弦定理求出第三邊，然后根據(jù)邊角關(guān)系應(yīng)用
(2)已知三角形的三邊求角時(shí)，可先利用余弦定理求解出各角的大?。?br>(3)若已知三角形三邊的比例關(guān)系，常根據(jù)比例的性質(zhì)引入k，從而轉(zhuǎn)化為已知三邊求解．在已知三邊求三個(gè)角時(shí)，一般先求小角后求大角．
例8、在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2csAsinB＝sinC，試確定△ABC的形狀．
解：由2csAsinB＝sinC，得
2csAsinB＝sinAcsB＋csAsinB，
∴sin(A－B)＝0，又A與B均為△ABC的內(nèi)角，
∴A＝B．
由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，得
(a＋b)2－c2＝3ab，∴a2＋b2－c2＝ab，
∴由余弦定理，得csC＝eq \f(1,2)，C＝60°，∴△ABC為等邊三角形
方法總結(jié)：
利用余弦定理判斷三角形形狀的方法及注意事項(xiàng)
(1)利用余弦定理(有時(shí)還要結(jié)合三角恒等變換等知識(shí))把已知條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，通過(guò)因式分解、配方等方法得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．
(2)統(tǒng)一成邊的關(guān)系后，注意等式兩邊不要輕易約分，否則可能會(huì)出現(xiàn)漏解．
知識(shí)探究（四）：正弦定理
思考1：余弦定理及其推論分別給出了已知兩邊及其夾角、已知三邊直接解三角形的公式。如果已知兩角和一邊，是否也有相應(yīng)的直接解三角形的公式呢？
初中我們學(xué)過(guò)：
1、等邊對(duì)等角；2、大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角。
我們可以作如下轉(zhuǎn)化：


利用正弦定理，既可以解決“已知兩角和一邊，解三角形”的問(wèn)題，還可以解決“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形”的問(wèn)題。
思考2：向量的數(shù)量積運(yùn)算中出現(xiàn)了角的余弦，而我們需要的是角的正弦，如何實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化？

方法總結(jié)：
已知三角形的兩角和任一邊解三角形的基本思路
(1)當(dāng)所給邊是已知角的對(duì)邊時(shí)，可由正弦定理求另一角所對(duì)邊，由三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角，再由正弦定理求第三邊．
(2)當(dāng)所給邊不是已知角的對(duì)邊時(shí)，先由三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角，再由正弦定理求另外兩邊．
思考3：例10中的C為什么有兩種情況？
方法總結(jié)：
已知三角形兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形的方法
(1)首先由正弦定理求出另一邊對(duì)角的正弦值．
(2)如果已知的角為大邊所對(duì)的角，由三角形中“大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊”的法則能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，由正弦值可求銳角(唯一)．
(3)如果已知的角為小邊所對(duì)的角，則不能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，這時(shí)由正弦值可求得兩個(gè)角，要分類討論．

知識(shí)探究（五）：余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例
例11 在△ABC中，若sinA＝2sinBcsC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，試判斷三角形的形狀
解：由正弦定理，得eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)＝eq \f(c,sinC).
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2.
∴A＝eq \f(π,2)，B＋C＝eq \f(π,2).
∵sinA＝2sinBcsC，即sinA＝2sinBcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－B))，
∴1＝2sin2B，∵B∈(0，π)，∴sinB＝eq \f(\r(2),2)，∴B＝eq \f(π,4)，∴△ABC為等腰直角三角形．
方法總結(jié)：
判斷三角形形狀的方法
判斷三角形的形狀，可以從考查三邊的關(guān)系入手，也可以從三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系入手，從條件出發(fā)，利用正弦定理進(jìn)行代換、轉(zhuǎn)化，呈現(xiàn)出邊與邊的關(guān)系或求出角與角的關(guān)系或大小，從而作出準(zhǔn)確判斷。

方法總結(jié)：
解三角形在實(shí)際測(cè)量中的常見(jiàn)問(wèn)題
(1)距離問(wèn)題
解決問(wèn)題策略
選擇合適的輔助測(cè)量點(diǎn)，構(gòu)造三角形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求某個(gè)三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題，從而利用正、余弦定理求解．
(2)高度問(wèn)題
解決問(wèn)題策略
測(cè)量高度問(wèn)題往往是空間中的問(wèn)題，因此先要選好所求線段所在的平面．將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，利用“解直角三角形”與“解斜三角形”結(jié)合，全面分析所有三角形，仔細(xì)規(guī)劃解題思想．
(3)角度問(wèn)題
測(cè)量角度就是在三角形內(nèi)利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根據(jù)需要得出所求的角．
解決問(wèn)題策略
測(cè)量角度問(wèn)題主要指在海上或空中測(cè)量角度的問(wèn)題，如確定目標(biāo)的方位，觀察某一建筑物的視角等，解決它們的關(guān)鍵是根據(jù)題意和圖形的有關(guān)概念，確定所求的角在哪個(gè)三角形中，該三角形中已知哪些量，需求哪些量，從實(shí)際問(wèn)題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后通過(guò)解這些三角形，得到所求量．
正、余弦定理的綜合運(yùn)用
1.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2csC(acsB＋bcsA)＝c.
(1)求C；(2)若c＝eq \r(7)，△ABC的面積為eq \f(3\r(3),2)，求△ABC的周長(zhǎng)．
解：(1)2csC(acsB＋bcsA)＝c，
由正弦定理，得2csC(sinAcsB＋sinBcsA)＝sinC，2csCsin(A＋B)＝sinC．
因?yàn)锳＋B＋C＝π，A，B，C∈(0，π)，
所以sin(A＋B)＝sinC>0，所以2csC＝1，csC＝eq \f(1,2).因?yàn)镃∈(0，π)，所以C＝eq \f(π,3).
(2)由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcsC,7＝a2＋b2－2ab·eq \f(1,2)，即(a＋b)2－3ab＝7，
S＝eq \f(1,2)absinC＝eq \f(\r(3),4)ab＝eq \f(3\r(3),2)，
所以ab＝6，所以(a＋b)2－18＝7，a＋b＝5，
所以△ABC的周長(zhǎng)為a＋b＋c＝5＋eq \r(7).
2、如圖所示，海中小島A周?chē)?8海里內(nèi)有暗礁，一船正向南航行，在B處測(cè)得小島A在船的南偏東30°，航行30海里后，在C處測(cè)得小島在船的南偏東45°，如果此船不改變航向，繼續(xù)向南航行，有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？
解、在△ABC中，BC＝30海里，B＝30°，∠ACB＝135°，∴∠BAC＝15°，
由正弦定理eq \f(BC,sinA)＝eq \f(AC,sinB)，即eq \f(30,sin15°)＝eq \f(AC,sin30°)，
AC＝eq \f(15,sin15°)＝eq \f(15,sin?45°－30°?)＝eq \f(15,sin45°cs30°－cs45°sin30°)
＝eq \f(15,\f(\r(6)－\r(2),4))＝15(eq \r(6)＋eq \r(2))(海里)，
∴A到直線BC的距離為d＝ACsin45°＝15(eq \r(3)＋1)≈40.98海里>38海里，所以繼續(xù)向南航行，沒(méi)有觸礁危險(xiǎn).
學(xué)生探究平面向量在幾何中的應(yīng)用。
學(xué)生根據(jù)環(huán)環(huán)相扣的思考題，探究平面向量在向量及解三角形中的應(yīng)用。
學(xué)生通過(guò)練習(xí)題，鞏固平面向量的應(yīng)用，并能夠靈活運(yùn)用.
學(xué)生和教師共同探究完成提升訓(xùn)練。
探究得出平面向量在幾何中的應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生探索的精神.
通過(guò)思考，培養(yǎng)學(xué)生探索新知的精神和能力.
利用練習(xí)題，化抽象為具體，提高學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力。
通過(guò)提升訓(xùn)練，鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，發(fā)散學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和對(duì)數(shù)學(xué)的探索精神。
課堂小結(jié)
學(xué)生回顧本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)，教師補(bǔ)充。
讓學(xué)生掌握本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)，并能夠靈活運(yùn)用。
板書(shū)

教學(xué)反思

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

6.4 平面向量的應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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