課題
7.1復(fù)數(shù)的概念
單元
第七單元
學科
數(shù)學
年級
高一
教材分析
本節(jié)內(nèi)容是復(fù)數(shù)的概念，基于之前所學的數(shù)系的發(fā)展歷程，由一元二次方程的根的問題導(dǎo)入，將數(shù)學擴充到復(fù)數(shù)范圍，并研究復(fù)數(shù)的概念及幾何意義，為復(fù)數(shù)的運算打好基礎(chǔ)。
教學目標與核心素養(yǎng)
1.數(shù)學抽象：利用坐標系和平面向量將復(fù)數(shù)具體刻畫出來，便于更好的理解復(fù)數(shù)的幾何意義；2.邏輯推理：通過課堂探究逐步培養(yǎng)學生的邏輯思維能力；
3.數(shù)學建模：通過數(shù)系擴充將數(shù)擴大到復(fù)數(shù)范圍，以便于解決更多的實際問題，例如：一元二次方程判別式小于0時方程的解的問題；
4.直觀想象：利用數(shù)形結(jié)合法探究復(fù)數(shù)相關(guān)概念；
5.數(shù)學運算:能夠正確理解復(fù)數(shù)的概念及其幾何意義；
6.數(shù)據(jù)分析:通過經(jīng)歷提出問題—推導(dǎo)過程—得出結(jié)論—例題講解—練習鞏固的過程，讓學生認識到數(shù)學知識的邏輯性和嚴密性。
重點
數(shù)系擴充、復(fù)數(shù)概念及復(fù)數(shù)的幾何意義
難點
復(fù)數(shù)概念及復(fù)數(shù)的幾何意義
教學過程
教學環(huán)節(jié)
教師活動
學生活動
設(shè)計意圖
導(dǎo)入新課
舊知導(dǎo)入：
思考1：你還記得實數(shù)的發(fā)展歷程嗎？
數(shù)系的擴充
自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)
并用圖形表示其包含關(guān)系。
思考2：為什么要將數(shù)系進行擴充？
數(shù)系每次擴充的基本原則：
第一、增加新元素；
第二、原有的運算性質(zhì)仍然成立；
第三、新數(shù)系能解決舊數(shù)系中的矛盾.
思考3：
方程無實數(shù)解；因為負實數(shù)不能開平方。
為了解決正方形對角線的度量，以及 這樣的方程在有理數(shù)集中無解的問題，人們把有理數(shù)集擴充到了實數(shù)集。根據(jù)這個方法，為了使負實數(shù)也能開平方，我們將數(shù)系進行擴充。
依照這種思想，為了解決這樣的方程在實數(shù)系中無解的問題，我們設(shè)想引入一個新數(shù)i，使得x=i是方程的解。
學生思考問題，引出本節(jié)新課內(nèi)容。
設(shè)置問題，回顧舊知，激發(fā)學生學習興趣，并引出本節(jié)新課。
講授新課
知識探究（一）：數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念
思考4：把新引進的數(shù)i添加到實數(shù)集中，我們希望數(shù)i和實數(shù)之間仍然能像實數(shù)那樣進行加法和乘法運算，并希望加法和乘法滿足交換律、結(jié)合律，以及乘法對加法滿足分配率。
那么，實數(shù)系經(jīng)過擴充后，得到的新數(shù)系由哪些數(shù)組成呢？
依照以上設(shè)想，把實數(shù)b與i相乘，結(jié)果記作bi；把實數(shù)a與bi相加，結(jié)果記作a+bi.
思考5：以上這些數(shù)有什么特點呢？
所有實數(shù)以及i都可以寫成a+bi的形式，從而這些數(shù)都在擴充后的新數(shù)集中。
復(fù)數(shù)的概念
復(fù)數(shù)的代數(shù)形式
其中，a是實部，b是虛部，i為虛數(shù)單位，
復(fù)數(shù)的相等
虛數(shù)與純虛數(shù)


思考：復(fù)數(shù)集C和實數(shù)集R有什么聯(lián)系？
我們已經(jīng)知道復(fù)數(shù)有如下分類：

顯然，實數(shù)集R是復(fù)數(shù)集C的真子集。
由此可得，數(shù)的發(fā)展歷程如下：
自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)、復(fù)數(shù)
小試牛刀
1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若a，b為實數(shù)，則z＝a＋bi為虛數(shù)．(×)
(2)若z＝m＋ni(m，n∈C)，則當且僅當m＝0，n≠0時，z為純虛數(shù)．( √ )
(3)bi是純虛數(shù)．( × )
(4)如果兩個復(fù)數(shù)的實部的差和虛部的差都等于0，那么這兩個復(fù)數(shù)相等．( √ )
2、判斷以下復(fù)數(shù)哪些是虛數(shù)？哪些是純虛數(shù)；并說出實部和虛部。
例題講解
例2、已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求實數(shù)m的值．
解： ∵M∪P＝P，∴M?P，
即(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－2m＝－1，,m2＋m－2＝0，))解得m＝1.
方法總結(jié)：
解決復(fù)數(shù)相等問題的步驟是：分別分離出兩個復(fù)數(shù)的實部和虛部，利用實部與實部相等、虛部與虛部相等列方程(組)求解．
知識探究（二）：復(fù)數(shù)的幾何意義
思考1:我們知道，實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，因此實數(shù)可以用數(shù)軸上的點來表示。那么，復(fù)數(shù)有什么幾何意義呢？
規(guī)定：
這個建立了直角坐標系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面。x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸。
顯然，實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)。
按照這種表示方法，每一個復(fù)數(shù)，有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個點與它對應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個點，有唯一的一個復(fù)數(shù)與它對應(yīng)。
由此可知，復(fù)數(shù)集C中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點按如下方式建立了一一對應(yīng)關(guān)系。


這就是復(fù)數(shù)的第一種幾何意義。
思考2:在平面直角坐標系中，每一個平面向量都可以用一個有序?qū)崝?shù)對來表示，而有序?qū)崝?shù)對與復(fù)數(shù)是一一對應(yīng)的，那么，你能用平面向量來表示復(fù)數(shù)嗎？


這就是復(fù)數(shù)的另一種幾何意義。
變式訓練
1.在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i對應(yīng)點(1)在虛軸上；(2)在第二象限；(3)在直線y＝x上，分別求實數(shù)m的取值范圍．
解：復(fù)數(shù)z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的實部為m2－m－2，虛部為m2－3m＋2.
(1)由題意得m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.
(2)由題意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－m－20，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1

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7.1 復(fù)數(shù)的概念

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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