雞兔同籠


教材第103~105頁(yè)的內(nèi)容及第106頁(yè)練習(xí)二十四。





1.了解“雞兔同籠”問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),掌握用列表法、假設(shè)法解決“雞兔同籠”問(wèn)題的方法,初步形成解決此類問(wèn)題的一般性策略。


2.通過(guò)自主探索,合作交流,經(jīng)歷用不同的方法解決“雞兔同籠”問(wèn)題的過(guò)程,建構(gòu)解決“雞兔同籠”問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。


3.體會(huì)解題策略的多樣性,滲透“化繁為簡(jiǎn)、從簡(jiǎn)單情況入手”的數(shù)學(xué)思想方法。





重點(diǎn):經(jīng)歷用不同的方法解決“雞兔同籠”問(wèn)題的策略,體會(huì)其中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法。


難點(diǎn):經(jīng)歷用不同的方法解決“雞兔同籠”問(wèn)題的過(guò)程,建構(gòu)解決“雞兔同籠”問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。





多媒體課件。











(課件出示教材第103頁(yè)情景圖,了解古代“雞兔同籠”問(wèn)題)


師:讀情景圖,你能讀懂情景圖中古代的“雞兔同籠”問(wèn)題嗎?


生:“今有雉兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足,問(wèn)雉兔各幾何”。這是出自大約一千五百年前,我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中記載的一道數(shù)學(xué)題。


師:你明白上面的問(wèn)題說(shuō)的什么意思嗎?


生:它的意思是說(shuō),籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù),有35個(gè)頭,從下面數(shù),有94只腳。問(wèn)題是雞和兔各有幾只?


師:你是怎樣理解“雞兔同籠”的?


生:就是雞和兔在同一個(gè)籠子里。


師:今天我們就學(xué)習(xí)“雞兔同籠”問(wèn)題。(板書:數(shù)學(xué)廣角—雞兔同籠)


【設(shè)計(jì)意圖:從我國(guó)古代數(shù)學(xué)趣題直接導(dǎo)入,讓學(xué)生感受到我國(guó)數(shù)學(xué)文化歷史的悠久與魅力,增強(qiáng)民族自豪感,激發(fā)學(xué)生探究的欲望】





師:解答“雞兔同籠”問(wèn)題,可以從例1的簡(jiǎn)單問(wèn)題入手分析。在簡(jiǎn)單問(wèn)題中找到方法和策略,然后運(yùn)用此方法和策略去解答數(shù)量較大的問(wèn)題,在數(shù)學(xué)上,這叫“化繁為簡(jiǎn)、從簡(jiǎn)單情況入手”。


(課件出示教材第104頁(yè)例1)


師:讀題,你能找出所求問(wèn)題和已知條件嗎?


生1:已知籠子里有若干只雞和兔,從上面數(shù),有8個(gè)頭,從下面數(shù),有26只腳。


生2:所求問(wèn)題是雞和兔各有幾只。


師:“從上面數(shù),有8個(gè)頭”說(shuō)明了什么?


生:“從上面數(shù),有8個(gè)頭”就是說(shuō)雞和兔一共有8只。


師:“從下面數(shù),有26只腳”說(shuō)明了什么?


生:“從下面數(shù),有26只腳”就是說(shuō)雞腳和兔腳的和是26只。


師:有了上面這些信息,誰(shuí)先來(lái)猜猜,籠子里可能會(huì)有幾只雞,幾只兔?


(給予少許時(shí)間讓學(xué)生猜測(cè))


生:雞和兔可能各有4只。


師:如果雞和兔各有4只,那么一共就有2×4+4×4=24(只)腳,對(duì)嗎?


生1:不對(duì),和題意矛盾,不吻合。


生2:可能有3只兔、5只雞。


師:如果有3只兔、5只雞,則共有3×4+2×5=22(只)腳,符合題意嗎?


生:也不符合題意。


師:看來(lái)我們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),不能亂猜,即便猜對(duì),也不是解決問(wèn)題的方法。當(dāng)數(shù)據(jù)較大時(shí),猜的過(guò)程就很煩瑣。大家有什么好方法嗎?


生:可以采取按照猜想的順序列表進(jìn)行探究。


1.列表法。


師:好,老師這里有一張表格,請(qǐng)大家來(lái)填一填,看看誰(shuí)能又快又準(zhǔn)確地找出答案來(lái),開始。


(學(xué)生獨(dú)立完成,小組討論,全班交流)


生:


師:通過(guò)列表法,你發(fā)現(xiàn)了什么?你找到答案了嗎?


(小組討論,全班交流)


生1:通過(guò)列表,發(fā)現(xiàn)雞的只數(shù)越少,則兔的只數(shù)就越多,腳的只數(shù)也就越多;雞的只數(shù)越多,兔的只數(shù)就越少,腳的只數(shù)也就越少。


生2:當(dāng)3只雞、5只兔時(shí),腳的只數(shù)和正好是26只,所以籠子里有3只雞、5只兔。


師:這個(gè)方法能幫我們解決雞兔同籠的問(wèn)題,我們把這種方法叫做列表法。(板書:列表法)


2.假設(shè)法。


師:如果假設(shè)籠子中全部是雞,會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)果?和題中給出的信息比較,發(fā)生了哪些變化?


生:假設(shè)籠子里都是雞,則腳有8×2=16(只),這樣腳比原來(lái)少了26-16=10(只)。


師:為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的結(jié)果呢?


生:因?yàn)榘淹每闯呻u,每只兔少看了4-2=2(只)腳,也就是說(shuō)兔有10÷2=5(只),這樣雞就有8-5=3(只)。


師:想一想,你能把上面的想法寫出算式嗎?


生:兔的只數(shù)是(26-2×8)÷(4-2)=5(只),雞的只數(shù)是8-5=3(只)。


師:如果假設(shè)全部是兔,你會(huì)解答嗎?


(學(xué)生嘗試獨(dú)立完成,小組討論,全班交流)


生:假設(shè)全是兔,則腳有8×4=32(只),這樣腳比實(shí)際多了32-26=6(只),因?yàn)榘岩恢煌每闯梢恢浑u,就要多出4-2=2(只)腳,所以雞一共有6÷2=3(只),這樣兔就有8-3=5(只)。


師:你能把上面的想法寫出算式嗎?


生:雞的只數(shù)是(8×4-26)÷(4-2)=3(只),兔的只數(shù)是8-3=5(只)。


3.用假設(shè)法解答《孫子算經(jīng)》中的“雞兔同籠”問(wèn)題。


師:你會(huì)用假設(shè)法解答《孫子算經(jīng)》中的“雞兔同籠”問(wèn)題嗎?


(學(xué)生嘗試獨(dú)立完成,小組討論,全班交流)


生1:假設(shè)全是雞,則兔的只數(shù)是(94-35×2)÷(4-2)=12(只),雞的只數(shù)是35-12=23(只)。


生2:假設(shè)全是兔,則雞的只數(shù)是(35×4-94)÷(4-2)=23(只),兔的只數(shù)是35-23=12(只)。


師:你能檢驗(yàn)?zāi)愕拇鸢甘欠裾_嗎?


生:12×4+23×2=94(條),所以正確。


答:雞有23只,兔有12只。





師:通過(guò)上面的學(xué)習(xí),你有哪些收獲?


生1:“雞兔同籠”問(wèn)題可以用列表法進(jìn)行分析,還可以用假設(shè)的方法解決。


生2:采用“假設(shè)法”時(shí),先假設(shè)都是同一種事物(或都是另一種事物),再根據(jù)題中給出的條件進(jìn)行修正、推算。





師:通過(guò)本課學(xué)習(xí),你有哪些收獲?


生1:我知道了“化繁為簡(jiǎn)、從簡(jiǎn)單情況入手”的數(shù)學(xué)思想方法。


生2:用不同的方法解決“雞兔同籠”問(wèn)題的策略。











雞 兔 同 籠


列表法:


假設(shè)法:


1.假設(shè)全是雞。 2.假設(shè)全部是兔。


兔:(26-2×8)÷(4-2)=5(只) 雞:(8×4-26)÷(4-2)=3(只)


雞:8-5=3(只) 兔:8-3=5(只)








A類


1.雞兔同籠,頭共20個(gè),腳共62只,雞與兔各有多少只?


2.在一個(gè)停車場(chǎng)里,現(xiàn)有機(jī)動(dòng)車41輛,汽車有4個(gè)輪子,摩托車有3個(gè)輪子,這些車共有127個(gè)輪子,那么三輪摩托車有多少輛?


(考查知識(shí)點(diǎn):“雞兔同籠”;能力要求:會(huì)運(yùn)用“假設(shè)法”解決生活中的簡(jiǎn)單問(wèn)題)


B類


1.工人運(yùn)青瓷花瓶250個(gè),規(guī)定完整運(yùn)到目的地一個(gè)給運(yùn)費(fèi)20元,損壞一個(gè)倒賠100元。運(yùn)完這批花瓶后,工人共得4400元,則損壞了多少個(gè)?


2.彩色文化用品每套19元,普通文化用品每套11元,這兩種文化用品共買了16套,用錢280元。問(wèn):兩種文化用品各買了多少套?


(考查知識(shí)點(diǎn):“雞兔同籠”;能力要求:會(huì)正確計(jì)算與“雞兔同籠”問(wèn)題相類似的實(shí)際問(wèn)題)





課堂作業(yè)新設(shè)計(jì)


A類:


1.兔:(62-20×2)÷(4-2)=11(只) 雞:20-11=9(只)


2.汽車有(127-41×3)÷(4-3)=4(輛) 三輪摩托車有41-4=37(輛)


B類:


1.本題中“損壞一個(gè)倒賠100元”的意思是運(yùn)一個(gè)完好的花瓶與損壞1個(gè)花瓶相差100+20=120(元),即損壞1個(gè)花瓶不但得不到20元的運(yùn)費(fèi),而且要賠償100元。本題可假設(shè)250個(gè)花瓶都完好,這樣可得運(yùn)費(fèi)20×250=5000(元)。這樣比實(shí)際多得5000-4400=600(元)。就是因?yàn)橛袚p壞的瓶子,損壞1個(gè)花瓶相差120元.現(xiàn)共相差600元,從而求出共損壞多少個(gè)花瓶。根據(jù)以上分析,可得損壞了600÷120=5(個(gè))。


2.假設(shè)買了16套彩色文化用品,則共需19×16=304(元),比實(shí)際多304-280=24(元),現(xiàn)在用普通文化用品去換彩色文化用品,每換一套少用19-11=8(元),所以,買普通文化用品24÷8=3(套),買彩色文化用品16-3=13(套)。


教材習(xí)題


教材第106頁(yè)練習(xí)二十四


1.大鋼珠:14顆 小鋼珠:16顆 2.大船:3條 小船:5條


3. 3個(gè) 4.一等獎(jiǎng):20個(gè) 二等獎(jiǎng):40個(gè) 5.(1)7題 (2)4題 (3)7題


6.籃球:3個(gè) 排球:3個(gè)


思考題 大和尚:25人 小和尚:75人


雞
8
7
6
兔
0
1
腳的只數(shù)
16
18
雞
8
7
6
5
4
3
2
1
0
兔
0
1
2
3
4
5
6
7
8
腳的只數(shù)
16
18
20
22
24
26
28
30
32
雞
8
7
6
5
4
3
2
1
0
兔
0
1
2
3
4
5
6
7
8
腳的只數(shù)
16
18
20
22
24
26
28
30
32

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9 數(shù)學(xué)廣角 ——雞兔同籠

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