第六章　6.4　6.4.1、2A組·素養(yǎng)自測一、選擇題1．若向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分別表示兩個(gè)力F1、F2，則|F1＋F2|為(　C　)A．(5,0) B．(－5,0)C． D．－[解析]　∵＝(1,1)，＝(－3，－2)，∴|＋|＝＝，故選C．2．(2022·四川綿陽期末)△ABC中，設(shè)＝c，＝a，＝b，若c·(c＋a－b)＜0，則△ABC是(　C　)A．直角三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．無法確定形狀[解析]　由已知，·(＋－)＝·2＜0，∴A為鈍角，故選C．3．加強(qiáng)體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分，某學(xué)生做引體向上運(yùn)動(dòng)，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時(shí)，若兩只胳膊的夾角為60°，每只胳膊的拉力大小均為400 N，則該學(xué)生的體重(單位：kg)約為(　B　)(參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為g＝10 m/s2，≈1.732)A．63 B．69C．75 D．81[解析]　由題意知，F1＝F2＝400，夾角θ＝60°，所以G＋F1＋F2＝0，即G＝－(F1＋F2)；所以G2＝(F1＋F2)2＝4002＋2×400×400×cos 60°＋4002＝3×4002；|G|＝400(N)，則該學(xué)生的體重(單位：kg)約為40＝40×1.732≈69(kg)．4．點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足·＝·＝·，則點(diǎn)O是△ABC的(　D　)A．三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn) B．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C．三條中線的交點(diǎn) D．三條高線的交點(diǎn)[解析]　由·＝·，得·－·＝0，∴·(－)＝0，即·＝0．∴⊥．同理可證⊥，⊥．∴OB⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB，即點(diǎn)O是△ABC的三條高線的交點(diǎn)．5．兩個(gè)大小相等的共點(diǎn)力F1、F2，當(dāng)它們的夾角為90°時(shí)，合力大小為20 N，當(dāng)它們的夾角為120°時(shí)，合力大小為(　B　)A．40 N B．10 NC．20 N D．40 N[解析]　如圖，以F1、F2為鄰邊作平行四邊形，F為這兩個(gè)力的合力．由題意，易知|F|＝|F1|，|F|＝20 N，∴|F1|＝|F2|＝10 N．當(dāng)它們的夾角為120°時(shí)，以F1、F2為鄰邊作平行四邊形，此平行四邊形為菱形，此時(shí)|F合|＝|F1|＝10 N．二、填空題6．一物體受到相互垂直的兩個(gè)力f1，f2的作用，兩力大小都為5 N，則兩個(gè)力的合力的大小為__5__ N．[解析]　根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，合力f的大小為×5＝5(N)．7．力F＝(－1，－2)作用于質(zhì)點(diǎn)P，使P產(chǎn)生的位移為s＝(3,4)，則力F對質(zhì)點(diǎn)P做的功是__－11__J．[解析]　∵W＝F·s＝(－1，－2)·(3,4)＝－11，則力F對質(zhì)點(diǎn)P做的功是－11 J．8．若平面向量α、β滿足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β為鄰邊的平行四邊形的面積為，則α與β的夾角θ的取值范圍是__[，]__．[解析]　以α，β為鄰邊的平行四邊形的面積為：S＝|α||β|sin θ＝|β|sin θ＝，所以sin θ＝，又因?yàn)閨β|≤1，所以≥，即sin θ≥且θ∈[0，π]，所以θ∈．三、解答題9．如圖所示，一個(gè)物體受到同一平面內(nèi)三個(gè)力F1，F2，F3的作用，沿北偏東45°的方向移動(dòng)了8 m，其中|F1|＝2 N，方向?yàn)楸逼珫|30°；|F2|＝4 N，方向?yàn)楸逼珫|60°；|F3|＝6 N，方向?yàn)楸逼?0°，求合力F所做的功．[解析]　以O為原點(diǎn)，正東方向?yàn)?/span>x軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則F1＝(1，)，F2＝(2，2)，F3＝(－3,3)，所以F＝F1＋F2＋F3＝(2－2,2＋4)．又＝(4，4)，故F·＝(2－2)×4＋(2＋4)×4＝4×6＝24．合力F所做的功為24 J．10．如圖所示，四邊形ABCD是菱形，AC和BD是它的兩條對角線，試用向量證明：AC⊥BD．[解析]　∵＝＋，＝－，∴·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝0．∴⊥．∴AC⊥BD．B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．點(diǎn)P在平面上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度v＝(4，－3)，設(shè)開始時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－10,10)，則5秒后點(diǎn)P的坐標(biāo)為(速度單位：m/s，長度單位：m)(　C　)A．(－2,4) B．(－30,25)C．(10，－5) D．(5，－10)[解析]　5秒后點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)．2．若O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，＋＋＝0，則O為△ABC的(　D　)A．內(nèi)心 B．外心C．垂心 D．重心[解析]　如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接OE，則＋＝2．又＋＋＝0．所以＝－2．又O為公共點(diǎn)，所以O，C，E三點(diǎn)共線，且||＝2||．所以O為△ABC的重心．3．若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足3－－＝0，則△ABM與△ABC的面積之比為(　B　)A．1∶2 B．1∶3C．1∶4 D．2∶5[解析]　 如圖，D為BC邊的中點(diǎn)，則＝(＋)．因?yàn)?－－＝0，所以3＝2，所以＝，所以S△ABM＝S△ABD＝S△ABC．4．(多選題)如圖所示，小船被繩索拉向岸邊，船在水中運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)水的阻力大小不變，那么小船勻速靠岸過程中，下列說法中正確的是(　AC　)A．繩子的拉力不斷增大 B．繩子的拉力不斷變小C．船的浮力不斷變小 D．船的浮力保持不變[解析]　設(shè)水的阻力為f，繩的拉力為F，F與水平方向的夾角為θ．則|F|cos θ＝|f|，所以|F|＝．因?yàn)閨F|sin θ增大，所以船的浮力減?。?/span>二、填空題5．作用于同一點(diǎn)的兩個(gè)力F1、F2的夾角為，且|F1|＝3，|F2|＝5，則|F1＋F2|的大小為____．[解析]　|F1＋F2|2＝(F1＋F2)2＝F＋2F1·F2＋F＝32＋2×3×5×cos ＋52＝19，所以|F1＋F2|＝．6．在△ABC中，AB＝3，AC邊上的中線BD＝，·＝5，則AC的長為__2__．[解析]　設(shè)∠BAC＝θ，AD＝x(x＞0)，則·＝2x·3·cos θ＝5，∴x·cos θ＝．作DE⊥AB于點(diǎn)E(圖略)，由DE2＋EB2＝BD2，得(x·sin θ)2＋(3－x·cos θ)2＝5，解得x＝1．∴AC＝2x＝2．三、解答題7．一物體受到平面上的三個(gè)力F1，F2，F3(單位：牛頓)的作用處于平衡狀態(tài)，已知F1，F2的夾角為60°，F1，F2的模分別為3和4，求cos 〈F1，F3〉的值．[解析]　∵－F3＝F1＋F2，∴|F3|2＝|F1＋F2|2＝F＋2F1·F2＋F＝9＋2×3×4×＋16＝37，則|F3|＝，又∵－F2＝F1＋F3，∴|F2|2＝|F1|2＋2F1·F3＋|F3|2，即16＝9＋2F1·F3＋37，解得F1·F3＝－15．∴cos 〈F1，F3〉＝＝＝－．8．在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝6，M是AC邊上靠近A點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，試問：在線段BM(端點(diǎn)除外)上是否存在點(diǎn)P使得PC⊥BM?[解的]　以B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．由于AB＝AC＝5，BC＝6，所以B(0,0)，A(3,4)，C(6,0)．則＝(3，－4)，由于M點(diǎn)是AC邊上靠近A點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)．所以＝＝，于是M，所以＝，假設(shè)在BM上存在點(diǎn)P使得PC⊥BM，則設(shè)＝λ，且0＜λ＜1，即＝λ＝，所以＝＋＝(－6,0)＋＝，由于PC⊥BM，所以·＝0，得4(4λ－6)＋λ·＝0，解得λ＝．由于λ＝?(0,1)，所以線段BM上不存在點(diǎn)P使得PC⊥BM． 

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

6.4 平面向量的應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

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