第六章　6.3　6.3.4A組·素養(yǎng)自測一、選擇題1．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，則實數(shù)m等于(　C　)A．－ B．C．－或 D．0[解析]　由a∥b知1×2＝m2，即m＝或m＝－．2．已知點A(－1,1)，點B(2，y)，向量a＝(1,2)，若∥a，則實數(shù)y的值為(　C　)A．5 B．6C．7 D．8[解析]　＝(3，y－1)，又∥a，所以(y－1)－2×3＝0，解得y＝7．3．已知向量a＝，b＝，若a∥b，則銳角α為(　A　)A．30° B．60°C．45° D．75°[解析]　∵a∥b，∴sin 2α＝×＝，∴sin α＝±．∵α為銳角，∴α＝30°．4．已知兩點A(4,1)，B(7，－3)，則與向量共線的單位向量是(　B　)A．(3，－4) B．±C．(－6,8) D．[解析]　因為＝(7，－3)－(4,1)＝(3，－4)，由向量共線的條件可知，A，B，C選項中的向量均與共線，但A，C中向量不是單位向量，所以B選項正確．5．若a＝(1,2)，b＝(－3,0)，(2a＋b)∥(a－mb)，則m＝(　A　)A．－ B．C．2 D．－2[解析]　2a＋b＝2(1,2)＋(－3,0)＝(－1,4)，a－mb＝(1,2)－m(－3,0)＝(1＋3m,2)∵(2a＋b)∥(a－mb)∴－2＝(1＋3m)×4∴6m＝－3，解得m＝－．二、填空題6．(2021·全國乙卷)已知向量a＝(2,5)，b＝(λ，4)，若a∥b，則λ＝____．[解析]　由已知，a∥b，則2×4＝5λ，故λ＝．7．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)．若λa＋ub與a＋b共線，則λ與u的關(guān)系為__λ＝u__．[解析]　∵a＝(1,2)，b＝(－2,3)，∴a＋b＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，λa＋ub＝λ(1,2)＋u(－2,3)＝(λ－2u,2λ＋3u)．又∵(λa＋ub)∥(a＋b)，∴(－1)×(2λ＋3u)－5(λ－2u)＝0．∴λ＝u．8．已知a＝(1,1)，b＝(x2，x＋λ)且a∥b，則實數(shù)λ的最小值是__－__．[解析]　因為a∥b，所以x2－x－λ＝0，即λ＝x2－x＝2－≥－．三、解答題9．已知兩點A(3，－4)，B(－9,2)，在直線AB上求一點P使||＝||．[解析]　設(shè)點P的坐標為(x，y)，①若點P在線段AB上，則＝，∴(x－3，y＋4)＝(－9－x,2－y)．解得x＝－1，y＝－2，∴P(－1，－2)．②若點P在線段BA的延長線上，則＝－，∴(x－3，y＋4)＝－(－9－x,2－y)．解得x＝7，y＝－6，∴P(7，－6)．綜上可得，點P的坐標為(－1，－2)或(7，－6)．10．平面內(nèi)給定三個向量：a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)求3a＋b－2c；(2)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m和n；(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實數(shù)k．[解析]　(1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6)．(2)∵a＝mb＋nc，m，n∈R，∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．∴解得∴m＝，n＝．(3)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)．又∵(a＋kc)∥(2b－a)，∴(3＋4k)×2－(－5)×(2＋k)＝0．∴k＝－．B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．如圖，已知||＝||＝1，||＝，⊥，∠AOC＝30°，若＝x＋y，則x＋y＝(　C　)A．1 B．2C．3 D．4[解析]　建立如圖所示的平面直角坐標系，根據(jù)條件不妨設(shè)A(1,0)，則B，C，則由＝x＋y得＝x(1,0)＋y，所以解得x＝2，y＝1，所以x＋y＝3．2．(2022·合肥高一檢測)如圖，扇形的半徑為1，圓心角∠BAC＝150°，點P在弧BC上運動，＝λ＋μ，則λ－μ的最小值是(　D　)A．0 B．C．2 D．－1[解析]　以A為原點，AB所在直線為x軸，建立如圖所示平面直角坐標系，則A(0,0)，B(1,0)，C，設(shè)P(cos θ，sin θ)，(0°≤θ≤150°)，因為＝λ＋μ，所以(cos θ，sin θ)＝λ(1,0)＋μ，于是，解得λ＝cos θ＋sin θ，μ＝2sin θ，那么λ－μ＝sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋60°)，因為0°≤θ≤150°，所以60°≤θ＋60°≤210°，故sin(θ＋60°)≥－，因此λ－μ的最小值為－1．3．(多選題)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么(　AD　)A．k＝－1 B．k＝1C．c與d同向 D．c與d反向[解析]　∵c∥d，∴c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，又a，b不共線，∴∴．∴c＝－d，∴c與d反向．4．(多選題)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三點構(gòu)成三角形，則實數(shù)k的值可能為(　ABD　)A．k＝－2 B．k＝C．k＝1 D．k＝－1[解析]　因為若A，B，C三點不能構(gòu)成三角形，則A，B，C三點共線，則∥，又＝－＝(1,2)，＝－＝(k，k＋1)，所以2k－(k＋1)＝0，即k＝1．故選ABD．二、填空題5．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b與c共線，則k＝__1__．[解析]　a－2b＝(，3)．因為a－2b與c共線，所以＝，解得k＝1．6．已知點P1(2，－1)，點P2(－1,3)，點P在線段P1P2上，且||＝||，則求點P的坐標為____．[解析]　設(shè)點P的坐標為(x，y)，由于點P在線段P1P2上，則有＝，又＝(x－2，y＋1)，＝(－1－x,3－y)，由題意得解得∴點P的坐標為．三、解答題7．已知A、B、C三點的坐標分別為(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且＝，＝．(1)求E、F的坐標；(2)判斷與是否共線．[解析]　(1)設(shè)E(x1，y1)、F(x2，y2)，依題意得＝(2,2)，＝(－2,3)．由＝可知(x1＋1，y1)＝(2,2)＝，即，解得，∴E．由＝可知(x2－3，y2＋1)＝(－2,3)．∴，解得∴F(，0)，即E點的坐標為，F點的坐標為(，0)．(2)由(1)可知＝－＝－＝，(O為坐標原點)，又＝(4，－1)，∴＝(4，－1)＝，即與共線．8．如圖是由兩個有一個公共邊的正六邊形構(gòu)成的平面圖形，其中正六邊形邊長為2．(1)設(shè)＝x＋y，求x－y的值；(2)若點P在OD邊上運動(包括端點)，則求|＋2＋|的最大值．[解析]　(1)由題意得：兩個正六邊形全等，＝ ，則＝＋＝＋＝＋－＝2－，故由＝x＋y，可得x＝－1，y＝2，x－y＝－3 ；(2)如圖，以O為坐標原點，FC為x軸，OI為y軸建立平面直角坐標系，則A(，－3)，B(2，－2)，C(2，0)，D(，1)，則＝(－，3)，＝(，3) ，由于直線OD的方程為y＝x ，故設(shè)P點坐標為，0≤m≤ ，則＝，所以＋2＋＝，則|＋2＋|＝＝，由于0≤m≤，此時函數(shù)y＝m2＋m＋124為增函數(shù)，故當m＝時，y＝m2＋m＋124取到最大值為144，所以|＋2＋|的最大值為12． 

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

6.3 平面向量基本定理及坐標表示

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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