第六章　6.3　6.3.5A組·素養(yǎng)自測一、選擇題1．已知點A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，則·等于(　B　)A．－1 B．0C．1 D．2[解析]　∵＝(2,3)－(1,2)＝(1,1)，＝(－2,5)－(1,2)＝(－3,3)，∴·＝1×(－3)＋1×3＝0．2．(2021·全國甲卷改編)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,0)，c＝a＋kb．若a⊥c，則k＝(　B　)A． B．－C． D．－[解析]　c＝(3＋k,1)，a·c＝0?3(3＋k)＋1＝0．所以k＝－．3．已知a＝(1，n)，b＝(－1，n)．若2a－b與b垂直，則|a|＝(　C　)A．1 B．C．2 D．4[解析]　由2a－b與b垂直，得(2a－b)·b＝0，即2a·b－b2＝0．故2(－1＋n2)－(1＋n2)＝0，解得n2＝3．所以，|a|＝＝＝2．4．已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，且ka－b與a＋b的夾角為120°，則k等于(　C　)A．－1＋ B．－1－C．－1± D．1[解析]　∵|ka－b|＝，|a＋b|＝＝，∴(ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)＝k－k－2＝－2，又ka－b與a＋b的夾角為120°，∴cos 120°＝，即－＝，化簡并整理，得k2＋2k－2＝0，解得k＝－1±．5．(2022·樂山高一檢測)已知＝(－5,4)，＝(3，－2)，BC邊的中點為D，則AD的長為(　D　)A． B．1C．2 D．[解析]　因為＝(－5,4)，＝(3，－2)，則＝(＋)＝(－1,1)；所以AD的長為：＝．二、填空題6．已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，則cos 〈a，b〉＝__－__．[解析]　∵a＝(2,2)，b＝(－8,6)，∴a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，|a|＝＝2，|b|＝＝10．∴cos 〈a，b〉＝＝＝－．7．若a＝(3，－1)，b＝(x，－2)，且〈a，b〉＝，則x＝__1__．[解析]　cos ＝，解得x＝1或x＝－4(舍)．8．(2020·北京卷)已知正方形ABCD的邊長為2，點P滿足＝(＋)，則||＝____；·＝__－1__．[解析]　以點A為坐標(biāo)原點，AB、AD所在直線分別為x、y軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則點A(0,0)、B(2,0)、C(2,2)、D(0,2)，＝(＋)＝(2,0)＋(2,2)＝(2,1)，則點P(2,1)，∴＝(－2,1)，＝(0，－1)，因此，||＝＝，·＝0×(－2)＋1×(－1)＝－1．三、解答題9．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b與a－3b垂直，求k的值．[解析]　ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．又ka＋b與a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－3b)＝0．即(k－3)·10＋(2k＋2)·(－4)＝0得k＝19．10．(1)已知三點A(2，－2)，B(5,1)，C(1,4)，求∠BAC的余弦值；(2)a＝(3,0)，b＝(－5,5)，求a與b的夾角．[解析]　(1)∵＝(5,1)－(2，－2)＝(3,3)，＝(1,4)－(2，－2)＝(－1,6)，∴·＝3×(－1)＋3×6＝15．又||＝＝3，||＝＝，∴cos ∠BAC＝＝＝．(2)a·b＝3×(－5)＋0×5＝－15，|a|＝3，|b|＝5．設(shè)a與b的夾角為θ，則cos θ＝＝＝－．又0≤θ≤π，∴θ＝．B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．(多選題)已知{e1，e2}是平面α內(nèi)的一個基底，O為α內(nèi)的定點，對于α內(nèi)任意一點P，當(dāng)＝xe1＋ye2時，則稱有序?qū)崝?shù)對(x，y)為點P的廣義坐標(biāo)．若點A，B的廣義坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，關(guān)于下列命題正確的是(　AC　)A．線段AB的中點的廣義坐標(biāo)為B．A、B兩點間的距離為C．向量平行于向量的充要條件是x1y2＝x2y1D．向量垂直于的充要條件是x1x2＋y1y2＝0[解析]　由已知得＝x1e1＋y1e2，＝x2e1＋y2e2，則線段AB的中點C滿足＝(＋)＝e1＋e2，所以點C的廣義坐標(biāo)為，故A正確；＝－＝(x2－x1)e1＋(y2－y1)e2，由于e1·e2＝0不一定成立，所以||＝不一定成立，故B錯誤；若向量平行于向量，則存在實數(shù)λ，使得＝λ，x1e1＋y1e2＝λ(x2e1＋y2e2)，因為e1，e2不共線，所以x1＝λx2且y1＝λy2，所以x1y2＝x2y1，故C正確；向量垂直于的充要條件是(x1e1＋y1e2)·(x2e1＋y2e2)＝0，x1x2e＋(x1y2＋y1x2)e1·e2＋y1y2e＝0，顯然不是x1x2＋y1y2＝0，故D不正確．2．角α頂點在坐標(biāo)原點O，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，點P在α的終邊上，點Q(－3，－4)，且tan α＝－2，則與夾角的余弦值為(　C　)A．－ B．C．或－ D．或[解析]　∵tan α＝－2，∴可設(shè)P(x，－2x)，cos 〈，〉＝＝，當(dāng)x＞0時，cos 〈，〉＝，當(dāng)x＜0時，cos 〈，〉＝－．3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c滿足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，則c＝(　D　)A． B．C． D．[解析]　不妨設(shè)c＝(m，n)，則a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，對于(c＋a)∥b，則有－3(1＋m)＝2(2＋n)．又c⊥(a＋b)，則有3m－n＝0，∴m＝－，n＝－，故選D．4．(多選題)設(shè)平面向量a＝(cos α，sin α)(0≤α＜2π)，b＝，若兩個向量a＋b與a－b的模相等，則角α＝(　AC　)A． B．C．π D．π[解析]　|a|＝1，|b|＝1，由題意知(a＋b)2＝(a－b)2，化簡得a·b＝0，所以－cos α＋sin α＝0，所以tan α＝．又0≤α＜2π，所以α＝或α＝．故選AC．二、填空題5．已知兩個單位向量a、b的夾角為60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，則t＝__2__．[解析]　∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝，|b|2＝1，∵b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝t＋(1－t)＝1－t＝0，∴t＝2．6．如果正方形OABC的邊長為1，點D，E分別為AB，BC的中點，那么cos ∠DOE的值為____．[解析]　法一：以O為坐標(biāo)原點，OA，OC所在的直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則由已知條件，可得＝，＝．故cos ∠DOE＝＝＝．法二：∵＝＋＝＋，＝＋＝＋，∴||＝，||＝，·＝2＋2＝1，∴cos ∠DOE＝＝．三、解答題7．已知a，b，c是同一平面內(nèi)的三個向量，其中a＝(1,2)．(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐標(biāo)；(2)若|b|＝，且a＋2b與2a－b垂直，求a與b的夾角θ．[解析]　(1)設(shè)c＝(x，y)，∵|c|＝2，∴＝2，∴x2＋y2＝20．由c∥a和|c|＝2，可得解得或故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，∴2×5＋3a·b－2×＝0，整理得a·b＝－，∴cos θ＝＝－1．又θ∈[0，π]，∴θ＝π．8．在△ABC中，已知A(3,1)，B(1,0)，C(2,3)．(1)判斷△ABC的形狀；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點，＝m(m∈R)，且(－m)∥，求||．[解析]　(1)由兩點間的距離公式，得|AB|＝|AC|＝．∵＝(－2，－1)，＝(－1,2)，∴·＝2－2＝0，即AB⊥AC．∴△ABC為等腰直角三角形．(2)由題可知＝(2,3)，＝(1,3)，則－m＝(－2－2m，－1－3m)．又(－m)∥，則有3(－2－2m)＋(1＋3m)＝0，解得m＝－，由兩點間的距離公式，得|OC|＝．∴||＝．∴||＝|m|·||＝． 

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

6.3 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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