生活中有哪些事物給我們以平面的形象？
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（無所謂面積）
練習(xí)一判斷下列各題的說法正確與否：1、一個(gè)平面長 4 米，寬 2 米； ( )2、平面有邊界； ( )3、一個(gè)平面的面積是 25 cm 2； ( )4、菱形的面積是 4 cm 2； ( )5、一個(gè)平面可以把空間分成兩部分. ( )
(1)水平放置的平面：
(2)垂直放置的平面：
通常把表示平面的平行四邊形的銳角畫成45°。我們常用希臘文字α、β、γ等表示平面。如平面α，平面β等。并將它們寫在代表平面的平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角內(nèi)；也可以用代表平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，或者相對的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫英文字母表示。如圖1也可以表示為平面ABCD，平面AC或平面BD。
思考1：我們知道，兩點(diǎn)可以確定一條直線，那么幾點(diǎn)可以確定一個(gè)平面？
基本事實(shí)一：過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。 不共線三點(diǎn)確定一個(gè)平面（確定平面依據(jù)）
直線上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)點(diǎn)。直線、平面都可以看成點(diǎn)的集合。點(diǎn)A在直線l上，記作A∈l；點(diǎn)B在直線l外，記作B?l;點(diǎn)A在平面α內(nèi)，記作A∈α，點(diǎn)P在平面α外，記作P?α。
練習(xí)二：把下列語句用集合符號表示，并畫出直觀圖.(1) 點(diǎn)A在平面?內(nèi)，點(diǎn)B不在平面?內(nèi)， 點(diǎn)A，B都在直線a上；
思考二：如果直線l與平面α有一個(gè)公共點(diǎn)P，直線l是否在平面α內(nèi)？如果直線l與平面α有兩個(gè)公共點(diǎn)呢？
在實(shí)際生活中，我們有這樣的經(jīng)驗(yàn)：如果一根直尺邊緣上的任意兩點(diǎn)在桌面上，那么直尺的整個(gè)邊緣就落在了桌面上。而一個(gè)點(diǎn)是不可以確定的。
基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線就在這個(gè)平面內(nèi)（判斷直線是否在平面內(nèi)）
平面內(nèi)有無數(shù)條直線，平面可以看成是直線的集合，如果直線l上所有點(diǎn)都在平面α內(nèi)，記作l α；否則，就說直線l不在平面α內(nèi)，記作l .基本事實(shí)二也可以用符號表示為 A∈l,B∈l,且A∈α，B∈α則
把下列語句用集合符號表示，并畫出直觀圖.平面?與平面?相交于直線m，直線a在平面?內(nèi)且平行于直線m.
思考三：把三角尺的一個(gè)角立在課桌面上面，三角尺所在平面與課桌面所在平面是否只相交與一點(diǎn)B?為什么？
想象三角尺所在的無限延展的平面，用它去穿越課桌面。可以想象，兩個(gè)平面相交于一條直線。教室里相鄰的墻面處有一個(gè)公共點(diǎn)，這兩個(gè)墻面相交于過這個(gè)點(diǎn)的一條直線，由此我們得到又一個(gè)基本事實(shí)。
基本事實(shí)三：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線
基本事實(shí)三用符號表示 P∈α。且P∈β則α∩β=l,且P∈l
補(bǔ)充：在畫兩個(gè)平面相交時(shí)，如果其中一個(gè)平面的一部分被另一個(gè)平面擋住，通常把被擋住的部分畫成虛線或不畫，這樣可使畫出的圖形立體感更強(qiáng)一些，如圖。
下列命題正確的是（ ）經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)平面經(jīng)過一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面四邊形確定一個(gè)平面
解：A，根據(jù)平面基本性質(zhì)知，不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故錯(cuò)誤；B，根據(jù)平面基本性質(zhì)公理一的推論，直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，故錯(cuò)誤；C，根據(jù)公理一可知，不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，而兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線，在三個(gè)不共線的交點(diǎn)確定的唯一平面內(nèi)，所以兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面，正確；D，空間四邊形不能確定一個(gè)平面，故錯(cuò)誤；綜上知選C
利用基本事實(shí)一和二再結(jié)合“兩點(diǎn)確定一條直線”可得到下面三個(gè)推論。推輪一：經(jīng)過一條直線和直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。推論二：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面。推論三：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面。
三個(gè)推論用來確定一個(gè)平面
推論一證明:如圖，設(shè)點(diǎn)A是直線l外一點(diǎn)，在直線a上任取兩點(diǎn)B、C，則由基本事實(shí)一，經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)確定一個(gè)平面α，再由基本事實(shí)二。直線l也在平面α內(nèi)，因此平面α經(jīng)過直線l和點(diǎn)A。即一條直線和這條直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面。
已知直線b∥c，且直線a與b，c都相交，求證：直線a，b，c共面．
證明 ∵b∥c，∴不妨設(shè)b，c共面于平面α，設(shè)a∩b＝A，a∩c＝B，∴A∈a，B∈a，A∈b，B∈c，又b?α，∴A∈α，同理B∈α，即a?α，∴三線共面．
如圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都不在平面α內(nèi)，它的三邊AB，BC，AC延長后分別交平面α于點(diǎn)P，Q，R.求證：P，Q，R三點(diǎn)在同一條直線上．
證明：由已知AB的延長線交平面α于點(diǎn)P，根據(jù)基本事實(shí)3，平面ABC與平面α必相交于一條直線，設(shè)為l.∵P∈直線AB，∴P∈平面ABC.又AB∩α＝P，∴P∈平面α，∴P是平面ABC與平面α的公共點(diǎn)．∵平面ABC∩α＝l，∴P∈l.同理，Q∈l，R∈l.∴P，Q，R三點(diǎn)在同一條直線l上．
點(diǎn)共線問題就是證明三個(gè)或三個(gè)以上的點(diǎn)在同一條直線上，主要依據(jù)是基本事實(shí)3.此類問題的證明常用以下兩種方法：(1)首先找出兩個(gè)平面，然后證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)基本事實(shí)3知這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上；(2)選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其他點(diǎn)也在這條直線上．
如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1P＝2PA1，C1Q＝2QA1.求證：直線AA1，BP，CQ相交于一點(diǎn)．
證明：如圖，連接PQ.由B1P＝2PA1，C1Q＝2QA1，得PQ//B1C1，且PQ＝ B1C1.又BC // B1C1，∴PQ//BC，且PQ＝ BC，∴四邊形BCQP為梯形，∴直線BP，CQ相交，設(shè)交點(diǎn)為R，則R∈BP，R∈CQ.
證明三線共點(diǎn)的思路：先證明兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過這個(gè)點(diǎn)，把問題歸結(jié)為證明點(diǎn)在直線上的問題．
一、判斷下列命題是否正確。書桌面是平面 平面α與平面β相交，他們只有有限個(gè)公共點(diǎn) 如果兩個(gè)平面有三個(gè)不共線的公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合
二、下列命題正確的是( )A 三點(diǎn)確定一個(gè)平面B 一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面C 圓心和圓上的兩點(diǎn)可確定一個(gè)平面D 梯形可確定一個(gè)平面
三、如圖，AB//CD，AB∩α=B，CD∩α=D，AC∩α=A。求證：B、E、D三點(diǎn)共線
證明：∵AB//CD,∴AB，CD可確定一個(gè)平面設(shè)為平面β，∴AC在平面β內(nèi)，即E在平面β內(nèi)。而AB∩α=B，CD∩α=D，AC∩α=E，可知B，D，E為平面α與平面β的公共點(diǎn)，根據(jù)公理3可得B、D、E三點(diǎn)共線。

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6.4 平面向量的應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

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