10.1　隨機(jī)事件與概率
10.1.2　事件的關(guān)系和運(yùn)算
事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生　
事件A與事件B同時(shí)發(fā)生　
[知識(shí)解讀]　1．互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系(1)區(qū)別：兩個(gè)事件A與B是互斥事件，包括如下三種情況：①若事件A發(fā)生，則事件B就不發(fā)生；②若事件B發(fā)生，則事件A就不發(fā)生；③事件A，B都不發(fā)生.而兩個(gè)事件A，B是對(duì)立事件，僅有前兩種情況，因此事件A與B是對(duì)立事件，則A∪B是必然事件，但若A與B是互斥事件，則不一定是必然事件，即事件A的對(duì)立事件只有一個(gè)，而事件A的互斥事件可以有多個(gè).
(2)聯(lián)系：互斥事件和對(duì)立事件在一次試驗(yàn)中都不可能同時(shí)發(fā)生，而事件對(duì)立是互斥的特殊情況，即對(duì)立必互斥，但互斥不一定對(duì)立.2．從集合的角度理解互斥事件與對(duì)立事件(1)幾個(gè)事件彼此互斥，是指由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集.(2)事件A的對(duì)立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集.
(1)(2020·河南省南陽(yáng)市期中)一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是(　　)A．兩次都中靶　　B．至少有一次中靶C．兩次都不中靶　　D．只有一次中靶
(2)(2020·湖南省懷化市期末)一個(gè)人連續(xù)射擊三次，則事件“至少擊中兩次”的對(duì)立事件是(　　)A．恰有一次擊中　　B．三次都沒擊中C．三次都擊中　　D．至多擊中一次[解析]　(1)事件“至多有一次中靶”包含“只有一次中靶”和“兩次都不中靶”，因此不會(huì)與其同時(shí)發(fā)生的事件是“兩次都中靶”.(2)根據(jù)題意，一個(gè)人連續(xù)射擊三次，事件“至少擊中兩次”包括“擊中兩次”和“擊中三次”兩個(gè)事件，其對(duì)立事件為“一次都沒有擊中和擊中一次”，即“至多擊中一次”.
[歸納提升]　判斷事件間關(guān)系的方法(1)要考慮試驗(yàn)的前提條件，無論是包含、相等，還是互斥、對(duì)立其發(fā)生的條件都是一樣的.(2)考慮事件間的結(jié)果是否有交事件，可考慮利用Venn圖分析，對(duì)較難判斷關(guān)系的，也可列出全部結(jié)果，再進(jìn)行分析.
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?　有一個(gè)游戲，其規(guī)則是甲、乙、丙、丁四個(gè)人從同一地點(diǎn)隨機(jī)地向東、南、西、北四個(gè)方向前進(jìn)，每人一個(gè)方向，事件“甲向南”與事件“乙向南”是(　　)A．互斥但非對(duì)立事件　　B．對(duì)立事件C．非互斥事件　　D．以上都不對(duì)[解析]　由于每人一個(gè)方向，故“甲向南”意味著“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是對(duì)立事件.
在擲骰子的試驗(yàn)中，可以定義許多事件.例如，事件C1＝{出現(xiàn)1點(diǎn)}，事件C2＝{出現(xiàn)2點(diǎn)}，事件C3＝{出現(xiàn)3點(diǎn)}，事件C4＝{出現(xiàn)4點(diǎn)}，事件C5＝{出現(xiàn)5點(diǎn)}，事件C6＝{出現(xiàn)6點(diǎn)}，事件D1＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1}，事件D2＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3}，事件D3＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5}，事件E＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7}，事件F＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}，事件G＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)}，請(qǐng)根據(jù)上述定義的事件，回答下列問題：(1)請(qǐng)舉出符合包含關(guān)系、相等關(guān)系的事件；(2)利用和事件的定義，判斷上述哪些事件是和事件.
[解析]　(1)因?yàn)槭录﨏1，C2，C3，C4發(fā)生，則事件D3必發(fā)生，所以C1?D3，C2?D3，C3?D3，C4?D3．同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5．且易知事件C1與事件D1相等，即C1＝D1．
(2)因?yàn)槭录﨑2＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3}＝{出現(xiàn)4點(diǎn)或出現(xiàn)5點(diǎn)或出現(xiàn)6點(diǎn)}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6).同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F(xiàn)＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5．
[歸納提升]　事件運(yùn)算應(yīng)注意的2個(gè)問題(1)進(jìn)行事件的運(yùn)算時(shí)，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考查同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時(shí)可利用Venn圖或列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析.(2)在一些比較簡(jiǎn)單的題目中，需要判斷事件之間的關(guān)系時(shí)，可以根據(jù)常識(shí)來判斷.但如果遇到比較復(fù)雜的題目，就得嚴(yán)格按照事件之間關(guān)系的定義來推理.
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?　盒子里有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取3個(gè)球，設(shè)事件A＝{3個(gè)球中有1個(gè)紅球2個(gè)白球}，事件B＝{3個(gè)球中有2個(gè)紅球1個(gè)白球}，事件C＝{3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球}，事件D＝{3個(gè)球中既有紅球又有白球}.問：(1)事件D與A，B是什么樣的運(yùn)算關(guān)系？(2)事件C與A的交事件是什么事件？(3)設(shè)事件E＝{3個(gè)紅球}，事件F＝{3個(gè)球中至少有1個(gè)白球}，那么事件C與B，E是什么運(yùn)算關(guān)系？C與F的交事件是什么？
[解析]　(1)對(duì)于事件D，可能的結(jié)果為1個(gè)紅球2個(gè)白球或2個(gè)紅球1個(gè)白球，故D＝A∪B.(2)對(duì)于事件C，可能的結(jié)果為1個(gè)紅球2個(gè)白球或2個(gè)紅球1個(gè)白球或3個(gè)均為紅球，故C∩A＝A.(3)由事件C包括的可能結(jié)果有1個(gè)紅球2個(gè)白球，2個(gè)紅球1個(gè)白球，3個(gè)紅球三種情況，故B?C，E?C，而事件F包括的可能結(jié)果有1個(gè)白球2個(gè)紅球，2個(gè)白球1個(gè)紅球，3個(gè)白球，所以C∩F＝{1個(gè)紅球2個(gè)白球，2個(gè)紅球1個(gè)白球}＝D.
設(shè)A，B，C表示三個(gè)隨機(jī)事件，試將下列事件用A，B，C表示出來.(1)三個(gè)事件都發(fā)生；(2)三個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生；(3)A發(fā)生，B，C不發(fā)生；(4)A，B都發(fā)生，C不發(fā)生；(5)A，B至少有一個(gè)發(fā)生，C不發(fā)生；(6)A，B，C中恰好有兩個(gè)發(fā)生.
[歸納提升]　利用隨機(jī)事件的運(yùn)算與集合運(yùn)算的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以有效地解決此類問題.
進(jìn)行拋擲一枚骰子的試驗(yàn)，有下列各組事件：(1)“出現(xiàn)1點(diǎn)”與“出現(xiàn)2點(diǎn)”；(2)“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”與“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”；(3)“出現(xiàn)大于3的點(diǎn)”與“出現(xiàn)大于4的點(diǎn)”.其中是對(duì)立事件的組數(shù)是(　　)A．0　　B．1　　C．2　　D．3
不能正確區(qū)分對(duì)立事件和互斥事件致錯(cuò)
[錯(cuò)解]　C[錯(cuò)因分析]　錯(cuò)解混淆了互斥事件與對(duì)立事件，誤將互斥事件當(dāng)作了對(duì)立事件.只有(2)“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”與“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”是對(duì)立事件，而(1)中“出現(xiàn)1點(diǎn)”與“出現(xiàn)2點(diǎn)”是互斥事件，但不是對(duì)立事件，(3)中“出現(xiàn)大于3的點(diǎn)”與“出現(xiàn)大于4的點(diǎn)”不是互斥事件，所以也不是對(duì)立事件.[正解]　B
[誤區(qū)警示]　對(duì)立事件一定是互斥事件，而互斥事件卻不一定是對(duì)立事件.忽略互斥事件與對(duì)立事件之間的區(qū)別與聯(lián)系，對(duì)“恰”“至少”“都”等詞語(yǔ)理解不透徹.判斷兩個(gè)事件是否互斥，就要看它們是否能同時(shí)發(fā)生；判斷兩個(gè)互斥事件是否對(duì)立，就要看它們是否有一個(gè)必然發(fā)生.
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?　(2020·廣東省茂名市期末)若干人站成一排，其中為互斥事件的是(　　)A．“甲站排頭”與“乙站排頭”B．“甲站排頭”與“乙站排尾”C．“甲站排頭”與“乙不站排頭”D．“甲不站排頭”與“乙不站排頭”[解析]　根據(jù)互斥事件不能同時(shí)發(fā)生，判斷A是互斥事件；B，C，D中兩事件能同時(shí)發(fā)生，故不是互斥事件.

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