10.2　事件的相互獨立性
對任意兩個事件A與B，如果P(AB)＝___________成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立.
當(dāng)事件A，B相互獨立時，則事件____與事件_____相互獨立，事件_____與事件____相互獨立，事件_____與事件_____相互獨立.
[知識解讀]　1．公式的推廣如果事件A1，A2，…，An相互獨立，那么這n個事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An).2．兩個事件獨立與互斥的區(qū)別兩個事件互斥是指兩個事件不可能同時發(fā)生；兩個事件相互獨立是指一個事件的發(fā)生與否對另一事件發(fā)生的概率沒有影響.一般地，兩個事件不可能既互斥又相互獨立，因為互斥事件不可能同時發(fā)生，而相互獨立事件是以它們能夠同時發(fā)生為前提.
3．相互獨立事件與互斥事件的概率計算
　下列每對事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互獨立事件？(1)1 000張有獎銷售的獎券中某張獎券是一等獎與該張獎券是二等獎；(2)甲，乙兩人同時購買同一期的雙色球彩票各一張，甲中獎與乙中獎；
(3)甲組3名男生、2名女生，乙組2名男生、3名女生，現(xiàn)從甲，乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽，“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”；(4)容器內(nèi)盛有5個白球和3個黃球，“從8個球中任意取出1個，取出的是白球”與“從剩下的7個球中任意取出1個，取出的還是白球”.
[解析]　(1)一張獎券不可能既是一等獎又是二等獎，即這兩個事件不可能同時發(fā)生，故它們是互斥事件.(2)由雙色球的中獎規(guī)則可知，甲是否中獎對乙是否中獎沒有影響，反之亦然，故它們是相互獨立事件.(3)“從甲組中選出1名男生”這一事件是否發(fā)生對“從乙組中選出1名女生”這一事件發(fā)生的概率沒有影響，反之亦然，所以它們是相互獨立事件.
[歸納提升]　兩種方法判斷兩事件是否具有獨立性(1)定義法：直接判定兩個事件發(fā)生是否相互影響.(2)公式法：檢驗P(AB)＝P(A)P(B)是否成立.
【對點練習(xí)】?　(1)甲、乙兩名射手同時向一目標(biāo)射擊，設(shè)事件A：“甲擊中目標(biāo)”，事件B：“乙擊中目標(biāo)”，則事件A與事件B(　　)A．相互獨立但不互斥　　B．互斥但不相互獨立C．相互獨立且互斥　　D．既不相互獨立也不互斥(2)擲一枚正方體骰子一次，設(shè)事件A：“出現(xiàn)偶數(shù)點”，事件B：“出現(xiàn)3點或6點”，則事件A，B的關(guān)系是(　　)A．互斥但不相互獨立　　B．相互獨立但不互斥C．互斥且相互獨立　　D．既不相互獨立也不互斥
[歸納提升]　1．求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的步驟：(1)首先確定各事件之間是相互獨立的；(2)確定這些事件可以同時發(fā)生；(3)求出每個事件的概率，再求積.2．使用相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式時，要掌握公式的適用條件，即各個事件是相互獨立的，而且它們同時發(fā)生.3．明確事件中的“至少有一個發(fā)生”“至多有一個發(fā)生”“恰好有一個發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞語的意義.
【對點練習(xí)】?　某機(jī)械廠制造一種汽車零件，已知甲機(jī)床的正品率是0.96，乙機(jī)床的次品率是0.05，現(xiàn)從它們制造的產(chǎn)品中各任意抽取一件，試求：(1)兩件產(chǎn)品都是正品的概率；(2)恰有一件是正品的概率；(3)至少有一件是正品的概率.
(1)假設(shè)甲、乙、丙三人同時進(jìn)行理論與實際操作兩項考試，誰獲得合格證書的可能性最大？(2)這三人進(jìn)行理論與實際操作兩項考試后，求恰有兩人獲得合格證書的概率.
[歸納提升]　求較為復(fù)雜事件的概率的方法(1)列出題中涉及的各事件，并且用適當(dāng)?shù)姆柋硎荆?2)理清事件之間的關(guān)系(兩事件是互斥還是對立，或者是相互獨立)，列出關(guān)系式；(3)根據(jù)事件之間的關(guān)系準(zhǔn)確選取概率公式進(jìn)行計算；(4)當(dāng)直接計算符合條件的事件的概率較復(fù)雜時，可先間接地計算對立事件的概率，再求出符合條件的事件的概率.
　甲投籃的命中率為0.8，乙投籃的命中率為0.7，每人投3次，兩人恰好都命中2次的概率是多少？[錯解]　記A＝“甲恰好命中2次”，B＝“乙恰好命中2次”，則P(兩人恰好都命中2次)＝P(A)＋P(B)＝3×0.82×0.2＋3×0.72×0.3＝0.825．
混淆互斥事件和獨立事件的概念
[錯因分析]　錯誤地把相互獨立事件當(dāng)成互斥事件來考慮，將“兩人恰好都命中2次的概率”理解成A＝“甲恰好命中2次”與B＝“乙恰好命中2次”的概率之和.[正解]　記A＝“甲恰好命中2次”，B＝“乙恰好命中2次”，A，B為相互獨立事件，兩人恰好都命中2次的概率為P(AB)，則P(AB)＝P(A)P(B)＝3×0.82×0.2×3×0.72×0.3≈0.169．[誤區(qū)警示]　首先理解清楚互斥事件與相互獨立事件的概念，并且區(qū)分計算概率的公式.A，B為互斥事件時，有概率公式為P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，A，B為獨立事件時，有概率公式為P(AB)＝P(A)P(B).

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10.2 事件的相互獨立性

版本： 人教A版 (2019)

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