本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)》人教A版（2019）第十章《概率》，以下是本章的課時(shí)安排：
學(xué)好古典概型可以為其它概率的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，同時(shí)有利于理解概率的概念，有利于計(jì)算一些事件的概率，有利于解釋生活中的一些問題
1. 理解古典概型及其概率計(jì)算公式，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；
會(huì)用列舉法計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。
1.重點(diǎn)：古典概型的概念以及利用古典概型求解隨機(jī)事件的概率。
2.難點(diǎn)：運(yùn)用古典概型計(jì)算概率。
（一）新知導(dǎo)入
我們一次向上拋擲紅、黃、藍(lán)三顆骰子，可能出現(xiàn)多少種不同的結(jié)果呢？
【問題】 上述試驗(yàn)中所有不同的樣本點(diǎn)有何特點(diǎn)？
【提示】 (1)任何兩個(gè)樣本點(diǎn)之間是互斥的，(2)所有樣本點(diǎn)出現(xiàn)可能性相等.
（二）古典概型
知識(shí)點(diǎn)一 概率、古典概型的定義
(1)概率的定義：對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量(數(shù)值)稱為事件的概率．事件A的概率用P(A)表示．
(2)古典概型的特點(diǎn)：(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；(2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等．
知識(shí)點(diǎn)二 古典概型的概率計(jì)算公式
樣本空間Ω包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn)，則P(A)＝eq \f(k,n)＝eq \f(n?A?,n?Ω?)， 其中，n(A)與n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【思考1】“拋擲兩枚硬幣，至少一枚正面向上”是樣本點(diǎn)嗎？
【提示】 不是.“拋擲兩枚硬幣，至少一枚正面向上”包含一枚正面向上，兩枚正面向上，所以不是樣本點(diǎn).
【思考2】若一次試驗(yàn)的結(jié)果所包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是有限個(gè)，則該試驗(yàn)是古典概型嗎？
【提示】 不一定是，還要看每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性是否相同，若相同才是，否則不是.
【思考3】擲一枚不均勻的骰子，求出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)點(diǎn)的概率，這個(gè)概率模型還是古典概型嗎？
【提示】 不是.因?yàn)轺蛔硬痪鶆?，所以每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性不相等.
【辯一辯】判斷下列有關(guān)古典概型的說法是否正確.
(1)試驗(yàn)中樣本點(diǎn)只有有限個(gè).(√)
(2)每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相同.(√)
(3)每個(gè)事件發(fā)生的可能性相同.(×)
(4)樣本點(diǎn)的總數(shù)為n，隨機(jī)事件A包含k個(gè)樣本點(diǎn)，則P(A)＝eq \f(k,n).(√)
（三）典型例題
1.古典概型的判斷
例1.袋中有大小相同的5個(gè)白球，3個(gè)黑球和3個(gè)紅球，每球有一個(gè)區(qū)別于其它球的編號(hào)，從中摸出一個(gè)球.
(1)有多少種不同的摸法？如果把每個(gè)球的編號(hào)看作是一個(gè)樣本點(diǎn)概率模型，該模型是不是古典概型？
(2)若按球的顏色為樣本點(diǎn)，有多少個(gè)樣本點(diǎn)？以這些樣本點(diǎn)建立概率模型，該模型是不是古典概型？
【解】 (1)由于共有11個(gè)球，且每個(gè)球有不同的編號(hào).故共有11種不同的摸法，又因?yàn)樗星虼笮∠嗤?因此每個(gè)球被摸中的可能性相等，故以球的編號(hào)為樣本點(diǎn)的概率模型為古典概型.
(2)由于11個(gè)球共有3種顏色，因此共有3個(gè)樣本點(diǎn)，分別記為A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到紅球”.
因?yàn)樗星虼笮∠嗤?，所以一次摸球每個(gè)球被摸中的可能性均為eq \f(1,11).
因?yàn)榘浊蛴?個(gè)，所以一次摸球摸中白球的可能性為eq \f(5,11).
同理可知，摸中黑球、紅球的可能性均為eq \f(3,11).
顯然這三個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性不相等，
所以以顏色為樣本點(diǎn)的概率模型不是古典概型.
【類題通法】判斷一個(gè)試驗(yàn)是否是古典概型的步驟
(1)判斷隨機(jī)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)是否是有限的；
(2)判斷每一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性是否都相等．
只有這兩條都滿足了，這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)才是古典概型.
【鞏固練習(xí)1】下列概率模型中，是古典概型的個(gè)數(shù)為( )
(1)從區(qū)間[1,10]內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，求取到1的概率；
(2)從1～10中任意取一個(gè)整數(shù)，求取到1的概率；
(3)在一個(gè)正方形ABCD內(nèi)畫一點(diǎn)P，求P剛好與點(diǎn)A重合的概率；
(4)向上拋擲一枚不均勻的硬幣，求出現(xiàn)反面朝上的概率．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】第1個(gè)概率模型不是古典概型，因?yàn)閺膮^(qū)間[1,10]內(nèi)任意取出一個(gè)數(shù)，有無數(shù)個(gè)對(duì)象可取，所以不滿足“有限性”．
第2個(gè)概率模型是古典概型，因?yàn)樵囼?yàn)結(jié)果只有10個(gè)，而且每個(gè)數(shù)被抽到的可能性相等，即滿足有限性和等可能性；
第3個(gè)概率模型不是古典概型，在一個(gè)正方形ABCD內(nèi)畫一點(diǎn)P，有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，不滿足“有限性”；
第4個(gè)概率模型也不是古典概型，因?yàn)橛矌挪痪鶆?，因此兩面出現(xiàn)的可能性不相等．故選A.
答案：A
2.古典概型的概率計(jì)算
例2.某旅游愛好者計(jì)劃從3個(gè)亞洲國家A1，A2，A3和3個(gè)歐洲國家B1，B2，B3中選擇2個(gè)國家去旅游.
(1)若從這6個(gè)國家中任選2個(gè) ，求這2個(gè)國家都是亞洲國家的概率；
(2)若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個(gè)，求這2個(gè)國家包括A1但不包括B1的概率.
【解】(1)由題意知，從6個(gè)國家中任選兩個(gè)國家，其一切可能的結(jié)果組成的樣本點(diǎn)有：
{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共15個(gè).
所選兩個(gè)國家都是亞洲國家的事件所包含的樣本點(diǎn)有：
{(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)}，共3個(gè)，
則所求事件的概率為p＝eq \f(3,15)＝eq \f(1,5).
(2)從亞洲國家和歐洲國家中各任選一個(gè)，其一切可能的結(jié)果組成的樣本點(diǎn)有：
{(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)}，共9個(gè).
包括A1但不包括B1的事件所包含的樣本點(diǎn)有：
{(A1，B2)，(A1，B3)}，共2個(gè)，則所求事件的概率為p＝eq \f(2,9).
【類題通法】求古典概型概率的步驟
(1)先判斷是否為古典概型；
(2)確定樣本點(diǎn)的總數(shù)n；
(3)確定事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)m；
(4)計(jì)算事件A的概率，即P(A)＝eq \f(m,n)
【鞏固練習(xí)2】(1)有5支彩筆(除顏色外無差別)，顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫．從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(3,5) C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,5)
(2)(2018·高考江蘇卷)某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動(dòng)，則恰好選中2名女生的概率為________．
【解析】(1)從5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，有10種不同取法：(紅，黃)，(紅，藍(lán))，(紅，綠)，(紅，紫)，(黃，藍(lán))，(黃，綠)，(黃，紫)，(藍(lán)，綠)，(藍(lán)，紫)，(綠，紫)．而取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的取法有(紅，黃)，(紅，藍(lán))，(紅，綠)，(紅，紫)，共4種，故所求概率P＝eq \f(4,10)＝eq \f(2,5).
(2)記2名男生分別為A，B，3名女生分別為a，b，c，則從中任選2名學(xué)生有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10種情況，其中恰好選中2名女生有ab，ac，bc，共3種情況，故所求概率為eq \f(3,10).
【答案】 (1)C (2)eq \f(3,10)
3.古典概型的應(yīng)用
例3.從含有兩件正品a1，a2和一件次品b1的3件產(chǎn)品中每次任取一件，每次取出后不放回，連續(xù)取兩次.
(1)求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率；
(2)如果將“每次取出后不放回”這一條件換成“每次取出后放回”，則取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率是多少？
【解】 (1)每次取一件，取后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可能的結(jié)果組成的樣本空間Ω＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}，其中小括號(hào)內(nèi)左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)品.Ω由6個(gè)樣本點(diǎn)組成，這些樣本點(diǎn)的出現(xiàn)是等可能的.用A表示“取出的兩件中，恰好有一件次品”這一事件，則A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}.
事件A由4個(gè)樣本點(diǎn)組成，所以P(A)＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3).
(2)有放回地連續(xù)取出兩件，其一切可能的結(jié)果組成的樣本空間Ω＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)}，共9個(gè)樣本點(diǎn).
用B表示“恰有一件次品”這一事件，則B＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}.
事件B由4個(gè)樣本點(diǎn)組成，所以P(B)＝eq \f(4,9).
【類題通法】解決有序和無序問題應(yīng)注意兩點(diǎn)
(1)關(guān)于不放回抽樣，計(jì)算樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，既可以看作是有順序的，也可以看作是無順序的，其最后結(jié)果是一致的.但不論選擇哪一種方式，觀察的角度必須一致，否則會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤.
(2)關(guān)于有放回抽樣，應(yīng)注意在連續(xù)取出兩次的過程中，因?yàn)橄群箜樞虿煌?a1，b1)，(b1，a1)不是同一個(gè)樣本點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是要清楚無論是“不放回抽取”還是“有放回抽取”，每一件產(chǎn)品被取出的機(jī)會(huì)都是均等的.
【鞏固練習(xí)3】已知某校甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240，160，160.現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛心活動(dòng)．
(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？
(2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作．
(i)試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；
(ii)設(shè)M為事件“抽取的2名同學(xué)來自同一年級(jí)”，求事件M發(fā)生的概率．
【解】(1)由已知，甲，乙，丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．
(2)(i)從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為
(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(A，G)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(B，G)，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(C，G)，(D，E)，(D，F(xiàn))，(D，G)，(E，F(xiàn))，(E，G)，(F，G)，共21種．
(ii)由(1)設(shè)抽出的7名同學(xué)中，來自甲年級(jí)的是A，B，C，來自乙年級(jí)的是D，E，來自丙年級(jí)的是F，G，則從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取的2名同學(xué)來自同一年級(jí)的所有可能結(jié)果為(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(F，G)，共5種．所以事件M發(fā)生的概率P(M)＝eq \f(5,21).
（四）操作演練 素養(yǎng)提升
1.下列是古典概型的是( )
①從6名同學(xué)中，選出4人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，每人被選中的可能性的大小．
②同時(shí)擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)和為7的概率．
③近三天中有一天降雨的概率．
④10個(gè)人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率．
A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③④
2、甲、乙兩人有三個(gè)不同的學(xué)習(xí)小組A，B，C可以參加，若每人必須參加并且僅能參加一個(gè)學(xué)習(xí)小組(兩人參加各個(gè)小組的可能性相同)，則兩人參加同一個(gè)學(xué)習(xí)小組的概率為 ( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,5) D.eq \f(1,6)
3、從甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)人中選取三人參加演講比賽，則甲、乙都當(dāng)選的概率為( )
A.eq \f(2,5) B.eq \f(1,5) C.eq \f(3,10) D.eq \f(3,5)
4、在1，2，3，4四個(gè)數(shù)中，可重復(fù)地選取兩個(gè)數(shù)，其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的2倍的概率是________．
【答案】1.B 2.A 3.C 4.eq \f(1,4)
【設(shè)計(jì)意圖】通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。
（五）課堂小結(jié)，反思感悟
1.知識(shí)總結(jié)：
2.學(xué)生反思：
（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？


（2）在解決問題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？


【設(shè)計(jì)意圖】
通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力。
完成教材：第238頁 練習(xí) 第1，2,3題
第244頁 習(xí)題10.1 第7,8,9題










第十章 概率
課時(shí)內(nèi)容
10.1 隨機(jī)事件與概率
10.2 事件的相互獨(dú)立性
10.3 頻率與概率
所在位置
教材第226頁
教材第246頁
教材第251頁
新教材內(nèi)容分析
教材首先在認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，利用集合論的知識(shí)，抽象出樣本點(diǎn)、樣本空間；類比集合的關(guān)系與運(yùn)算，理解事件的關(guān)系與運(yùn)算；通過古典概型的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步理解規(guī)律的意義，掌握建立規(guī)律模型的一般方法。
事件的獨(dú)立性是事件之間的一種重要的關(guān)系，它不同于事件的包含、相等、互斥和對(duì)立關(guān)系，需要用概率來定義，在實(shí)際問題中，可以利用乘法公式，求積事件AB的概率。
頻率的穩(wěn)定性是概率論的基礎(chǔ)，說明隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性是客觀存在的，事件發(fā)生的可能性的大小是可以度量的。我們結(jié)合具體的隨機(jī)試驗(yàn)，通過具體的試驗(yàn)或借助計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)來認(rèn)識(shí)頻率與概率的關(guān)系。
核心素養(yǎng)培養(yǎng)
通過樣本點(diǎn)、樣本空間的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；通過事件的關(guān)系與運(yùn)算，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)；通過古典概型的計(jì)算，提升數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。
通過相互獨(dú)立事件的判斷，體會(huì)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；通過相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的計(jì)算，提升數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。
通過理解頻率與概率的關(guān)系，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)。
教學(xué)主線
隨機(jī)事件的概率

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10.1 隨機(jī)事件與概率

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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