荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾說：“與其說是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，還不如說是學(xué)習(xí)‘?dāng)?shù)學(xué)化’；與其說是學(xué)習(xí)公理系統(tǒng)，還不如說是學(xué)習(xí)‘公理化’；與其說是學(xué)習(xí)形式體系，還不如說是學(xué)習(xí)‘形式化’?！?
數(shù)學(xué)教育家米山國藏指出：“學(xué)生進(jìn)入社會(huì)后，幾乎沒有機(jī)會(huì)應(yīng)用它們?cè)诔踔谢蚋咧兴鶎W(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)，因而這種作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，通常在學(xué)生出校門后不到一兩年就忘掉了，然而不管從事什么業(yè)務(wù)工作，那種銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法，卻長期地在他們的生活和工作中發(fā)揮著重要作用。”
所以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)忘記了，但數(shù)學(xué)化不會(huì)忘記，學(xué)習(xí)公理，公理忘記了，但公理化不會(huì)忘記，學(xué)習(xí)形式體系，形式體系忘記了，但形式化不會(huì)忘記。也就是數(shù)學(xué)化、公理化、形式化一輩子都對(duì)你產(chǎn)生影響。
《2017版高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》修訂組組長史寧中教授認(rèn)為：
數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)教育階段最為重要的學(xué)科之一，其終極培養(yǎng)目標(biāo)可以描述為：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界；會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界；會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。
如何把隨機(jī)試驗(yàn)數(shù)學(xué)化、符號(hào)化？
為何要把隨機(jī)試驗(yàn)數(shù)學(xué)化、符號(hào)化？
一、使概率這門學(xué)科更加的嚴(yán)格，只有學(xué)科嚴(yán)格化，這門學(xué)科才是科學(xué)的、精密的，才能用來指導(dǎo)實(shí)踐的。
二、只有數(shù)學(xué)化、符號(hào)化后我們就可以科學(xué)的研究這門學(xué)科，發(fā)展這門學(xué)科，完善這門學(xué)科，于是可以指導(dǎo)我們的生活生產(chǎn)實(shí)踐。
上一節(jié)課，我們已經(jīng)把隨機(jī)試驗(yàn)數(shù)學(xué)化到這里了，大家還記得嗎？
思考2.在體育彩票搖號(hào)實(shí)驗(yàn)中，搖出“球的號(hào)碼是奇數(shù)”是隨機(jī)事件嗎？搖出“球的號(hào)碼為3的倍數(shù)”是否也是隨機(jī)事件？如果用集合的形式來表示它們，那么這些集合與樣本空間有什么關(guān)系？
顯然，“球的號(hào)碼為奇數(shù)”和“球的號(hào)碼為3的倍數(shù)”都是隨機(jī)事件. 我們用A表示隨機(jī)事件“球的號(hào)碼為奇數(shù)”，則A發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)搖出的號(hào)碼為1,3,5,7,9之一，即事件A發(fā)生等價(jià)于搖出的號(hào)碼屬于集合{1,3,5,7,9}. 因此可以用樣本空間Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}的子集{1,3,5,7,9}表示隨機(jī)事件A. 類似地，可以用樣本空間的子集{0,3,6,9}表示隨機(jī)事件“球的號(hào)碼為3的倍數(shù)”
同學(xué)們，有沒有感受到數(shù)學(xué)的不可思議？可以用集合與集合的關(guān)系把隨機(jī)試驗(yàn)數(shù)學(xué)化。
一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的子集來表示.為了敘述方便，我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機(jī)事件（randm event),簡稱事件，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件（elementary event). 隨機(jī)事件一般用大寫字母A,B,C,···表示，在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件A發(fā)生.
Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以Ω總會(huì)發(fā)生，我們稱Ω為必然事件.
而空集Φ不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，我們?chǔ)捣Q為不可能事件.
必然事件與不可能事件不具有隨機(jī)性.為了方便統(tǒng)一處理，將必然事件和不可能事件作為隨機(jī)事件的兩個(gè)極端情形。這樣，每個(gè)事件都是樣本空間Ω的一個(gè)子集.
同學(xué)們，我們可以用集合論的語言來數(shù)學(xué)化隨機(jī)試驗(yàn)，你想得到嗎？
下面繼續(xù)數(shù)學(xué)化隨機(jī)試驗(yàn)，同學(xué)們會(huì)發(fā)現(xiàn)我們可以用集合論來數(shù)學(xué)化隨機(jī)試驗(yàn)。
數(shù)學(xué)化隨機(jī)試驗(yàn)的方法就是類比。
在擲骰子實(shí)驗(yàn)中,可以定義許多事件,
從前面的學(xué)習(xí)中可以看到,我們?cè)谝粋€(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中可以定義很多隨機(jī)事件。這些事件有的簡單,有的復(fù)雜,我們希望從簡單事件的概率推算出復(fù)雜事件的概率,所以需要研究事件之間的關(guān)系和運(yùn)算.
例如：Ci=“點(diǎn)數(shù)為i”,i=1,2,3,4,5,6;D1=“點(diǎn)數(shù)不大于3”；D2=“點(diǎn)數(shù)大于3”；E1=“點(diǎn)數(shù)為1或2”；E2=“點(diǎn)數(shù)為2或3”；F=“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”；G=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”；
你還能寫出這個(gè)試驗(yàn)中其他一些事件嗎？請(qǐng)用集合的形式表示這些事件
借助集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算,你能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎？
事實(shí)上,利用樣本空間的子集表示事件,使我們可以利用集合的知識(shí)研究隨機(jī)事件,從而為研究概率的性質(zhì)和計(jì)算等提供有效而簡便的方法.
1.用集合的形式表示事件C1=“點(diǎn)數(shù)為1”和事件G=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”,它們分別是C1={1}和G={1,3,5}. 顯然,如果事件C1發(fā)生,那么事件G一定發(fā)生,事件之間的這種關(guān)系用集合的形式表示,就是{1}?{1,3,5},即C1?G. 這時(shí)我們說事件G包含事件C1.
2.用集合的形式表示事件D1=“點(diǎn)數(shù)不大于3”、事件E1=“點(diǎn)數(shù)為1或2”和事件E2=“點(diǎn)數(shù)為2或3”,它們分別是D1={1,2,3},E1={1,2}和E2={2,3}. 可以發(fā)現(xiàn),事件E1和事件E2至少有一個(gè)發(fā)生,相當(dāng)于事件D1發(fā)生. 事件之間的這種關(guān)系用集合的形式表示,就是(1,2)∪{2,3}={1,2,3},即E1∪E2=D1,這時(shí)我們稱事件D1為事件E1和事件E2的并事件.
一般地,事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生,這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)或者在事件A中,或者在事件B中,我們稱這個(gè)事件為事件A與事件B的并事件(或和事件）,記作AUB(或A+B).
可以用圖中的綠色區(qū)域和黃色區(qū)域表示這個(gè)并事件.
3.事件C2=“點(diǎn)數(shù)為2”可以用集合的形式表示為C2={2}. 可以發(fā)現(xiàn),事件E1=“點(diǎn)數(shù)為1或2”和事件E2=“點(diǎn)數(shù)為2或3”同時(shí)發(fā)生,相當(dāng)于事件C2發(fā)生.事件之間的這種關(guān)系用集合的形式表示,就是{1,2}∩{2,3}={2},即E1∩E2=C2.我們稱事件C2為事件E1和E2的交事件.
一般地,事件A與事件B同時(shí)發(fā)生,這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)既在事件A中,也在事件B中,我們稱這樣的一個(gè)事件為事AB件A與事件B的交事件(或積事件）,記作A∩B(或AB).
可以用圖中的藍(lán)色區(qū)域表示這個(gè)交事件.
4.用集合的形式表示事件C3=“點(diǎn)數(shù)為3”和事件C4=“點(diǎn)數(shù)為4”. 它們分別是C3={3},C4={4}. 顯然,事件C3與事件C4不可能同時(shí)發(fā)生,用集合的形式表示這種關(guān)系,就是{3}∩{4}=Φ, 即C3∩ C4=Φ,這時(shí)我們稱事件C3與事件C4互斥.
可以用圖表示這兩個(gè)事件互斥.
其含義是,事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生．
5.用集合的形式表示事件F=“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”、事件G= “點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”,它們分別是F={2,4,6},G={1,3,5}. 在任何一次試驗(yàn)中,事件F與事件G兩者只能發(fā)生其中之一,而且也必然發(fā)生其中之一.事件之間的這種關(guān)系,用集合的形式可以表示為 {2,4,6}∪{1,3,5}={1,2,3,4,5,6},即F∪G=Ω,且{2,4,6}∩(1,3,5}=Φ,即F∩G= Φ.此時(shí)我們稱事件F與事件G互為對(duì)立事件.事件D1與D2也有這種關(guān)系.
一般地,如果事件A和事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生,即 A∪B=Ω,且A∩B=Φ,那么稱事件A與事件B互為對(duì)立.
其含義是：事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生．
注：對(duì)立事件是特殊的互斥事件。
綜上所述,事件的關(guān)系或運(yùn)算的含義,以及相應(yīng)的符號(hào)表示如下
類似地,我們可以定義多個(gè)事件的和事件以及積事件. 例如,對(duì)于三個(gè)事件A,B,C,AUBUC(或A+B+C)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A,B,C中至少一個(gè)發(fā)生,A∩B∩C(或ABC)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A,B,C同時(shí)發(fā)生,等等.
例5 如圖,由甲、乙兩個(gè)元件組成一個(gè)并聯(lián)電路,每個(gè)元件可能正?；蚴?設(shè)事件A=“甲元件正?！?B=“乙元件正?！? (1)寫出表示兩個(gè)元件工作狀態(tài)的樣本空間； (2)用集合的形式表示事件A,B以及它們的對(duì)立事件； (3)用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B,并說明它們的含義及關(guān)系.
分析：注意到試驗(yàn)由甲、乙兩個(gè)元件的狀態(tài)組成,所以可以用數(shù)組(x1,x2)表元樣本點(diǎn).這樣,確定事件A,B所包含的樣本點(diǎn)時(shí),不僅要考慮甲元件的狀態(tài),還要考用乙元件的狀態(tài).
同學(xué)們，這就是把一個(gè)具體的隨機(jī)試驗(yàn)數(shù)學(xué)化后的樣子。有點(diǎn)簡單問題復(fù)雜化，但注意學(xué)到以后就知道隨機(jī)試驗(yàn)數(shù)學(xué)化的好處了。
例6一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球,其中有2個(gè)紅色球(標(biāo)號(hào)為1和2),2個(gè)綠色球(標(biāo)號(hào)為3和4),從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球.設(shè)事件R1=“第一次摸到紅球”,R2=“第二次摸到紅球”,R=“兩次都摸到紅球”,G=“兩次都摸到綠球”,M=“兩個(gè)球顏色相同”,N=“兩個(gè)球顏色不同” (1)用集合的形式分別寫出試驗(yàn)的樣本空間以及上述各事件； (2)事件R與R1,R與G,M與N之間各有什么關(guān)系？ (3)事件R與事件G的并事件與事件M有什么關(guān)系？事件R1與事件R2的交事件與事件R有什么關(guān)系？
1.某人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，下列事件中與事件“至少一次中靶”互為對(duì)立的是( ). (A)至多一次中靶 (B)兩次都中靶 (C)只有一次中靶 (D)兩次都沒有中靶
2.拋挪一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：Ci=“點(diǎn)數(shù)為i”，其中i=1,2,3,4,5,6;D1=“點(diǎn)數(shù)不大于2”，D2=“點(diǎn)數(shù)大于2”，D3=“點(diǎn)數(shù)大于4”；E=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，F(xiàn)=“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”。 判斷下列結(jié)論是否正確. (1)C1與C2互斥； (2)C2,C3為對(duì)立事件; (3)C3?D2; (4)D3 ?D2; (5)D1∪D2=Ω,D1D2=Φ; (6)D3=C5∪C6; (7)E=C1∪C3∪C5; (8)E,F為對(duì)立事件； (9)D2∪D3=D2; (10)D2∩D3=D3.
1.同時(shí)拋擲兩枚硬幣,向上面都是正面為事件M,
向上面至少有一枚是正面為事件N,則有( )
B. M?N C.M=N D.M

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10.1 隨機(jī)事件與概率

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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