高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修第二冊10.1 隨機(jī)事件與概率優(yōu)質(zhì)學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

?第十章概率
10.1　隨機(jī)事件與概率
一、隨機(jī)試驗(yàn)的概念和特點(diǎn)
1.隨機(jī)試驗(yàn)：我們把對的實(shí)現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，常用字母E來表示．
2.隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)：
①試驗(yàn)可以在相同條件下進(jìn)行；
②試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是的，并且不止一個；
③每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果．
【答案】隨機(jī)現(xiàn)象重復(fù) 明確可知
二、樣本點(diǎn)和樣本空間

定義
字母表示
樣本點(diǎn)
我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的稱為樣本點(diǎn)
用表示樣本點(diǎn)
樣本空間
全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間
用表示樣本空間
有限樣本空間
如果一個隨機(jī)試驗(yàn)有n個可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間
Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}
【答案】每個可能的基本結(jié)果 ω Ω
三、三種事件的定義
隨機(jī)事件
我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機(jī)事件，簡稱事件，并把只包含樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件．隨機(jī)事件一般用大寫字母A，B，C，…表示．在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個樣本點(diǎn)出現(xiàn)時，稱為事件A發(fā)生
必然事件
Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個樣本點(diǎn)發(fā)生，所以Ω總會發(fā)生，我們稱Ω為必然事件
不可能事件
空集?不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會發(fā)生，我們稱?為不可能事件
【答案】一個
四、事件的運(yùn)算

定義
表示法
圖示
并事件
，稱這個事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)
(或 )

交事件
，稱這樣一個事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)
(或 )

【答案】事件A與事件B至少有一個發(fā)生事件A與事件B同時發(fā)生 A∪B A＋B A∩B AB
五、事件的關(guān)系

定義
表示法
圖示
包含
關(guān)系
若事件A發(fā)生，事件B ，稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)
(或 )

互斥
事件
如果事件A與事件B ，稱事件A與事件B互斥(且互不相容)
若，則A與B互斥

對立
事件
如果事件A和事件B在任何一次試驗(yàn)中，稱事件A與事件B互為對立，事件A的對立事件記為
若，且A∪B＝Ω，則A與B對立

【答案】一定發(fā)生不能同時發(fā)生有且僅有一個發(fā)生 B?A A?B A∩B＝? A∩B＝?
六、隨機(jī)事件的概率
對隨機(jī)事件發(fā)生的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件A的概率用表示.
【答案】可能性大小 P(A)
七、古典概型的特點(diǎn)
①有限性：試驗(yàn)的樣本空間的樣本點(diǎn)只有；
②等可能性：每個樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性．
【答案】有限個相等
八、古典概型的概率公式
對任何事件A，P(A)＝＝ .
【答案】
九、概率的幾個基本性質(zhì)
(1)對任意的事件A，都有 .
(2)必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0.
(3)如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝．
(4)如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)＝，P(A)＝．
(5)如果A?B，那么．
(6)設(shè)A，B是一個隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個事件，我們有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
【答案】P(A)≥0. P(A)＋P(B) 1－P(A) 1－P(B) P(A)≤P(B)
一、選擇題
1．下列事件中，隨機(jī)事件的個數(shù)是（　?。?
①2022年8月18日，北京市不下雨；②在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在4℃時結(jié)冰；③從標(biāo)有1，2，3，4的4張?zhí)柡炛腥稳∫粡?，恰?號簽；④ ，則的值不小于0．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】①2022年8月18日，北京市不下雨，隨機(jī)事件；
②在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在4℃時結(jié)冰，不可能事件；
③從標(biāo)有1，2，3，4的4張?zhí)柡炛腥稳∫粡?，恰?號簽，是隨機(jī)事件；
④ ，則的值不小于0，必然事件；
∴隨機(jī)事件有①、③。
故答案為：B
2．有下列事件：
①在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到時會沸騰；
②實(shí)數(shù)的絕對值不小于零；
③某彩票中獎的概率為，則買100000張這種彩票一定能中獎．
其中必然事件是（　　）
A．② B．③ C．①②③ D．②③
【答案】A
【解析】事件分為隨機(jī)事件、必然事件和不可能事件，必然事件是一次試驗(yàn)中必然發(fā)生的事件.
因?yàn)樵跇?biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到才會沸騰，所以①不是必然事件；
因?yàn)閷?shí)數(shù)的絕對值不小于零，所以②是必然事件；
因?yàn)槟巢势敝歇劦母怕蕿? ，僅代表可能性，所以買100000張這種彩票不一定能中獎，即③不是必然事件．
故答案為：A．
3．下雨天開車，由于道路條件變差，司機(jī)的視線受阻，會給交通安全帶來很大的影響．交警統(tǒng)計了某個路口300天的天氣和交通情況，300天中有90天下雨，有50天發(fā)生了交通事故，其中有30天既下雨又發(fā)生了交通事故，則估計該路口“下雨天發(fā)生交通事故的概率”是“非雨天發(fā)生交通事故概率”的（　?。?br /> A．1.5倍 B．2.5倍 C．3.5倍 D．4.5倍
【答案】C
【解析】下雨天發(fā)生交通事故的概率為，
非雨天發(fā)生交通事故概率為，
倍.
故答案為：C
4．在一次年級數(shù)學(xué)競賽中，高二（20）班有10%的同學(xué)成績優(yōu)秀．已知高二（20）班人數(shù)占該年級的5%，而年級數(shù)學(xué)優(yōu)秀率為2%．現(xiàn)從該年級任意選取一位同學(xué)，如果此人成績優(yōu)秀，則他來自高二（20）班的概率為（　?。?
A．10% B．15% C．20% D．25%
【答案】D
【解析】設(shè)該年級的人數(shù)為人，則高二（20）班的人數(shù)為，
高二（20）班成績優(yōu)秀的人數(shù)為，
而該年級的成績優(yōu)秀的人數(shù)為：，
所以所求事件的概率為，
故答案為：D
5．袋內(nèi)分別有紅?白?黑球3，2，1個，從中任取2個，則互斥而不對立的兩個事件是（　?。?br /> A．至少有一個白球；都是白球
B．至少有一個白球；至少有一個紅球
C．恰有一個白球；一個白球一個黑球
D．至少有一個白球；紅?黑球各一個
【答案】D
【解析】對于A，“至少有一個白球”說明有白球，白球的個數(shù)可能為1或2，而“都是白球”說明兩個全是白球，這兩個事件可以同時發(fā)生，A不是互斥的；
對于B，當(dāng)兩球一個白球一個紅球時，“至少有一個白球”與“至少有一個紅球”均發(fā)生，故不互斥；
對于C，“恰有一個白球”，表示黑球個數(shù)為0或1，這與“一個白球一個黑球”不互斥；
對于D，“至少一個白球”發(fā)生時，“紅?黑球各一個”不會發(fā)生，故互斥，但不對立。
故答案為：D
6．小王同學(xué)進(jìn)行投籃練習(xí)，若他第1球投進(jìn)，則第2球投進(jìn)的概率為；若他第1球投不進(jìn)，則第2球投進(jìn)的概率為 .若他第1球投進(jìn)概率為，他第2球投進(jìn)的概率為（　?。?
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】第2球投進(jìn)的事件M是第一球投進(jìn)，第2球投進(jìn)的事件M1與第一球沒投進(jìn)，第2球投進(jìn)的事件M2的和，M1與M2互斥，
，，則，
所以第2球投進(jìn)的概率為 .
故答案為：A
二、填空題
7．甲?乙兩人下棋，甲獲勝的概率為，和棋的概率為，則乙不輸?shù)母怕蕿椤? 　.
【答案】
【解析】解：記“甲勝”為事件A，‘和棋’為事件B，“乙勝”為事件C，
則
則
則乙不輸?shù)母怕蕿镻=PB∪C=PB+PC=12+310=45
故答案為：
8．已知事件A與互斥，且，，則　　，　　.
【答案】0.6；0.9
【解析】因?yàn)槭录? 與是對立事件，且，所以；因?yàn)槭录嗀與互斥，所以
故答案為：0.6，0.9
三、解答題
9．進(jìn)行垃圾分類收集可以減少垃圾處理量和處理設(shè)備，降低處理成本，減少土地資源的消耗，具有社會?經(jīng)濟(jì)?生態(tài)等多方面的效益，是關(guān)乎生態(tài)文明建設(shè)全局的大事.為了普及垃圾分類知識，某學(xué)校舉行了垃圾分類知識考試，試卷中只有兩道題目，已知甲同學(xué)答對每題的概率都為，乙同學(xué)答對每題的概率都為，且在考試中每人各題答題結(jié)果互不影響.已知每題甲，乙同時答對的概率為，恰有一人答對的概率為 .
（1）求和的值；
（2）試求兩人共答對3道題的概率.
【答案】（1）解：設(shè) {甲同學(xué)答對第一題}， {乙同學(xué)答對第一題}，則， .
設(shè) {甲、乙二人均答對第一題}， {甲、乙二人中恰有一人答對第一題}，
則， .
由于二人答題互不影響，且每人各題答題結(jié)果互不影響，所以與相互獨(dú)立，與相互互斥，所以，
.
由題意可得
即解得或
由于，所以， .
（2）解：設(shè) {甲同學(xué)答對了道題}， {乙同學(xué)答對了道題}，，1，2.
由題意得，，，
， .
設(shè) {甲乙二人共答對3道題}，則 .
由于和相互獨(dú)立，與相互互斥，
所以 .
所以，甲乙二人共答對3道題的概率為 .
【解析】(1)根據(jù)互斥事件和對立事件的概率公式即可得到關(guān)于p和q的方程組，求解出結(jié)果即可。
(2)首先求出兩個人答對一道題的概率，答對兩道題的概率以及兩人共答對3道題分情況討論：每人答對一道題，一個人答對2道題的概率；結(jié)合互斥事件和獨(dú)立事件的概率公式代入數(shù)值計算出結(jié)果即可。
10．高一軍訓(xùn)時，某同學(xué)射擊一次，命中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別為0.13,0.28,0.31.
（1）求射擊一次，命中10環(huán)或9環(huán)的概率；
（2）求射擊一次，至少命中8環(huán)的概率；
（3）求射擊一次，命中環(huán)數(shù)小于9環(huán)的概率．
【答案】（1）解：設(shè)事件“射擊一次，命中i環(huán)”為事件Ai(0≤i≤10，且i∈N)，且Ai兩兩互斥．
由題意知P(A10)＝0.13，P(A9)＝0.28，P(A8)＝0.31.
記“射擊一次，命中10環(huán)或9環(huán)”的事件為A，那么P(A)＝P(A10)＋P(A9)＝0.13＋0.28＝0.41.
（2）解：記“射擊一次，至少命中8環(huán)”的事件為B，那么P(B)＝P(A10)＋P(A9)＋P(A8)＝0.13＋0.28＋0.31＝0.72.
（3）解：“射擊一次，命中環(huán)數(shù)小于9環(huán)”的事件為C，則C與A是對立事件，
∴P(C)＝1－P(A)＝1－0.41＝0.59.
【解析】（1）利用互斥事件概率加法公式求解．
（2）利用互斥事件概率加法公式求解．
（3）利用對立事件概率公式求解．

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