10.3.1　頻率的穩(wěn)定性10.3.2　隨機(jī)模擬
1．頻率的穩(wěn)定性大量的試驗(yàn)證明，在任何確定次數(shù)的隨機(jī)試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有_________.一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)_______，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)，我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的_________.因此我們可以用頻率fn(A)估計(jì)___________.
頻率的穩(wěn)定性與隨機(jī)模擬
2．隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生(1)標(biāo)號(hào)：把n個(gè)_____________相同的小球分別標(biāo)上1,2,3，…，n.(2)攪拌：放入一個(gè)袋中，把它們___________.(3)摸?。簭闹忻鯻______.這個(gè)球上的數(shù)就稱為從1～n之間的隨機(jī)整數(shù)，簡(jiǎn)稱隨機(jī)數(shù).
3．偽隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生(1)規(guī)則：依照確定的算法.(2)特點(diǎn)：具有周期性(周期很長(zhǎng)).(3)性質(zhì)：它們具有類似_________的性質(zhì).計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)并不是真正的隨機(jī)數(shù)，我們稱為___________.4．產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的常用方法①_______________；②_______________；③_________.
5．隨機(jī)模擬方法(蒙特卡洛方法)利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)來做模擬試驗(yàn)，通過模擬試驗(yàn)得到的_______來估計(jì)_______，這種用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器模擬試驗(yàn)的方法稱為隨機(jī)模擬方法或蒙特卡洛方法.
[知識(shí)解讀]　1．頻率與概率的關(guān)系概率可以通過頻率來“測(cè)量”或者說頻率是概率的一個(gè)近似，概率從數(shù)量上反映了一個(gè)事件發(fā)生的可能性的大小.說明：(1)頻率本身是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定，做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗(yàn)得到事件的頻率會(huì)不同.而概率是一個(gè)確定的常數(shù)，是客觀存在的，與每次試驗(yàn)無關(guān).(2)頻率是概率的近似值，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率會(huì)越來越接近概率.
2．用隨機(jī)模擬法估計(jì)概率(1)隨機(jī)模擬法估計(jì)概率的思想隨機(jī)模擬法是通過將一次試驗(yàn)所有可能發(fā)生的結(jié)果數(shù)字化，用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)來替代每次試驗(yàn)的結(jié)果.其基本思想是，用產(chǎn)生整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)的頻率估計(jì)事件發(fā)生的概率.(2)隨機(jī)模擬法的優(yōu)點(diǎn)不需要對(duì)試驗(yàn)進(jìn)行具體操作，是一種簡(jiǎn)單、實(shí)用的科研方法，可以廣泛地應(yīng)用到生產(chǎn)生活的各個(gè)領(lǐng)域中去.
(3)隨機(jī)模擬法的步驟①建立概率模型；②進(jìn)行模擬試驗(yàn)(可用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)進(jìn)行)；③統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果.
④頻率是不能脫離n次隨機(jī)試驗(yàn)的試驗(yàn)值，而概率是脫離隨機(jī)試驗(yàn)的客觀值；⑤概率是頻率的穩(wěn)定值.A．①④⑤　　B．①②C．②③　　D．②③⑤[答案]　 A[解析]　根據(jù)頻率與概率的定義，可知①正確；概率不是頻率，而②中所給的是事件A發(fā)生的頻率，因此②錯(cuò)誤；概率是一個(gè)數(shù)值，可以是百分?jǐn)?shù)也可以是小數(shù)，因此③錯(cuò)誤；根據(jù)概率的定義可知，概率是一個(gè)客觀值，頻率是一個(gè)試驗(yàn)值，因此④正確，⑤正確.故選A．
[歸納提升]　(1)頻率是概率的近似值，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率會(huì)越來越接近概率.(2)頻率本身是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定.(3)概率是一個(gè)確定的常數(shù)，是客觀存在的，在試驗(yàn)前已經(jīng)確定，與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān).
[解析]　A錯(cuò)誤，概率小不代表一定不發(fā)生；B錯(cuò)誤，概率不等同于頻率；C錯(cuò)誤，概率是預(yù)測(cè)，不必然出現(xiàn)；D正確，隨機(jī)事件發(fā)生的概率是多次試驗(yàn)的穩(wěn)定值，與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān).
　某公司在過去幾年內(nèi)使用某種型號(hào)的燈管共1 000支，該公司對(duì)這些燈管的使用壽命(單位：小時(shí))進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示：(1)將各組的頻率填入表中；(2)根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)結(jié)果，估計(jì)燈管使用壽命不足1 500小時(shí)的概率.
[解析]　(1)利用頻率的定義可得：[700,900)的頻率是0.048；[900,1 100)的頻率是0.121；[1 100,1 300)的頻率是0.208；[1 300,1 500)的頻率是0.223；[1 500,1 700)的頻率是0.193；[1 700,1 900)的頻率是0.165；[1 900，＋∞)的頻率是0.042．所以頻率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193，0.165，0.042．(2)樣本中使用壽命不足1 500小時(shí)的燈管的頻率是0.048＋0.121＋0.208＋0.223＝0.6，所以估計(jì)燈管使用壽命不足1 500小時(shí)的概率是0.6．
[歸納提升]　由于概率體現(xiàn)了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性，所以在現(xiàn)實(shí)生活中我們可以根據(jù)隨機(jī)事件概率的大小去預(yù)測(cè)事件能否發(fā)生.從而對(duì)某些事情作出決策.當(dāng)某隨機(jī)事件的概率未知時(shí)，可用樣本出現(xiàn)的頻率去近似估計(jì)總體中該事件發(fā)生的概率.
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?　假設(shè)甲、乙兩種品牌的同類產(chǎn)品在某地區(qū)市場(chǎng)上銷售量相等，為了解它們的使用壽命，現(xiàn)從這兩種品牌的產(chǎn)品中分別隨機(jī)抽取100個(gè)進(jìn)行測(cè)試，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如圖所示：
(1)估計(jì)甲品牌產(chǎn)品壽命小于200 h的概率；(2)這兩種品牌產(chǎn)品中，某個(gè)產(chǎn)品已使用了200 h，試估計(jì)該產(chǎn)品是甲品牌的概率.
一份測(cè)試題包括6道選擇題，每題4個(gè)選項(xiàng)且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，如果一個(gè)學(xué)生對(duì)每一道題都隨機(jī)猜一個(gè)答案，用隨機(jī)模擬方法估計(jì)該學(xué)生至少答對(duì)3道題的概率.(已知計(jì)算機(jī)或計(jì)算器做模擬試驗(yàn)可以模擬每次猜對(duì)的概率是25%)
[解析]　我們通過設(shè)計(jì)模擬試驗(yàn)的方法來解決問題，利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器可以產(chǎn)生0到3之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，我們用0表示猜的選項(xiàng)正確，1,2,3表示猜的選項(xiàng)錯(cuò)誤，這樣可以體現(xiàn)猜對(duì)的概率是25%，因?yàn)楣膊?道題，所以每6個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組，例如，產(chǎn)生25組隨機(jī)數(shù)：330130　302220　133020　022011　313121222330　231022　001003　213322　030032100211　022210　231330　321202　031210232111　210010　212020　230331　112000102330　200313　303321　012033　321230
[歸納提升]　用隨機(jī)數(shù)模擬法求事件概率的方法在使用整數(shù)隨機(jī)數(shù)模擬試驗(yàn)時(shí)，首先要確定隨機(jī)數(shù)的范圍和用哪個(gè)代表試驗(yàn)結(jié)果.(1)試驗(yàn)的基本結(jié)果是等可能時(shí)，樣本點(diǎn)的總數(shù)即為產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的范圍，每個(gè)隨機(jī)數(shù)代表一個(gè)樣本點(diǎn).(2)研究等可能事件的概率時(shí)，用按比例分配的方法確定表示各個(gè)結(jié)果的數(shù)字個(gè)數(shù)及總個(gè)數(shù).
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?　一個(gè)袋中有7個(gè)大小、形狀相同的小球，6個(gè)白球，1個(gè)紅球，現(xiàn)任取1個(gè)，若為紅球就停止，若為白球就放回，攪拌均勻后再接著取，試設(shè)計(jì)一個(gè)模擬試驗(yàn)計(jì)算恰好第三次摸到紅球的概率.[解析]　用1,2,3,4,5,6表示白球，7表示紅球，利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1到7之間(包括1和7)取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù).因?yàn)橐笄『玫谌蚊郊t球的概率，所以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組.如下，產(chǎn)生20組隨機(jī)數(shù)：666　743　671　464　571　561　156　567　732　375716　116　614　445　117　573　552　274　114　662
　某同學(xué)擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，共有8次反面向上，于是他指出：“擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)反面向上的概率應(yīng)為0.8”.你認(rèn)為他的結(jié)論正確嗎？為什么？
對(duì)頻率與概率的關(guān)系理解不清
[錯(cuò)因分析]　得出概率為0.8，顯然是對(duì)概率的統(tǒng)計(jì)性定義的曲解.事實(shí)上，概率定義中用頻率的近似值刻畫概率，要求試驗(yàn)次數(shù)足夠多.[正解]　不正確.因?yàn)楦怕适鞘挛锏谋举|(zhì)屬性，不隨試驗(yàn)次數(shù)的改變而改變，用頻率的近似值刻畫概率時(shí)，要求試驗(yàn)次數(shù)足夠多.[誤區(qū)警示]　隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)并趨于穩(wěn)定，用這個(gè)常數(shù)來刻畫該隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小，即稱為這一事件發(fā)生的概率的近似值，而概率是一個(gè)確定的常數(shù)，與試驗(yàn)的次數(shù)無關(guān).

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10.3 頻率與概率

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