一、選擇題


1.如圖,AC是?ABCD的對角線,當(dāng)它滿足以下:①∠1=∠2;②∠2=∠3;③∠B=∠3;④∠1=∠3中某一條件時,?ABCD是菱形,這個條件是 ( )





A.①或②


B.②或③


C.③或④


D.①或④


2.已知四邊形ABCD中,AC⊥BD,再補充一個條件使得四邊形ABCD為菱形,這個條件可以是( )


A.AC=BDB.AB=BC


C.AC與BD互相平分D.∠ABC=90°


3.如圖,用直尺和圓規(guī)作一個菱形,能得到四邊形ABCD是菱形的依據(jù)是 ( )





A.一組鄰邊相等的四邊形是菱形


B.四邊相等的四邊形是菱形


C.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形


D.每條對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形


4.如圖,ABCD是一張平行四邊形紙片,要求利用所學(xué)知識作出一個菱形,甲、乙兩位同學(xué)的作法如下.則關(guān)于甲、乙兩人的作法,下列判斷正確的是 ( )





A.僅甲正確B.僅乙正確


C.甲、乙均正確D.甲、乙均錯誤


5.如圖,兩個完全相同的三角尺ABC和DEF在直線l上滑動,可以添加一個條件,使四邊形CBFE為菱形,下列選項中錯誤的是 ( )





A.BD=AEB.CB=BF


C.BE⊥CFD.BA平分∠CBF


二、填空題


6.如圖,△ABC為等腰三角形,如果把它沿底邊BC翻折后,得到△DBC,那么四邊形ABDC為 .





7.如圖,ABCD是對角線互相垂直的四邊形,且OB=OD,請你添加一個適當(dāng)?shù)臈l件 ,使ABCD成為菱形.(只需添加一個即可)





8.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,D為斜邊AB上一點,以CD,CB為邊作平行四邊形CDEB,當(dāng)AD= 時,平行四邊形CDEB為菱形.





9.如圖,?ABCD的對角線AC,BD相交于點O,E,F,G,H分別是OA,OB,OC,OD的中點.若要使四邊形EFGH是菱形,則?ABCD應(yīng)滿足的條件是 .(寫出一種即可)








三、解答題


10.如圖,AD是△ABC的角平分線,DE∥AC,AF=ED.求證:四邊形AEDF是菱形.




















11.平行四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,且AC=4,BD=23,AB=7,求證:四邊形ABCD是菱形.


























12.如圖,在△ABC中,AB=AC,∠B=60°,∠FAC,∠ECA是△ABC的兩個外角,AD平分∠FAC,CD平分∠ECA.


求證:四邊形ABCD是菱形.


























13.如圖,在△ABC中,AB=AC,D,E,F分別是AB,BC,AC邊上的中點.





(1)求證:四邊形ADEF是菱形;


(2)若AB=24,求菱形ADEF的周長.


























14.老師布置了一個作業(yè),如下:


如圖1,已知?ABCD的對角線AC的垂直平分線EF交AD于點F,交BC于點E,交AC于點O.


求證:四邊形AECF是菱形.





某同學(xué)寫出了如圖2所示的證明過程,老師說該同學(xué)的作業(yè)是錯誤的,請你解答下列問題:


(1)能找出該同學(xué)錯誤的原因嗎?請你指出來.


(2)請你給出正確的證明過程.















































15.在△ABC中,M是AC邊上的一點,連接BM.將△ABC沿AC翻折,使點B落在點D處,當(dāng)DM∥AB時,求證:四邊形ABMD是菱形.

















16.如圖,已知四邊形ABCD是平行四邊形,E,F分別是AB,BC上的點,AE=CF,并且∠AED=∠CFD.


求證:(1)△AED≌△CFD;


(2)四邊形ABCD是菱形.

















17.如圖,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是AB邊上的中線,分別過點C,D作BA和BC的平行線,


兩線交于點E,且DE交AC于點O,連接AE.


求證:四邊形ADCE是菱形.
































18.如圖,在△ABC中,D是AB上一點,DE⊥AC于點E,F是AD的中點,FG⊥BC于點G,與DE交于點H.若FG=AF,AG平分∠CAB,連接GE,GD.





(1)求證:△ECG≌△GHD.


(2)小亮同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn):AD=AC+EC.請你幫助小亮同學(xué)證明這一結(jié)論.


(3)若∠B=30°,判定四邊形AEGF是否為菱形,并說明理由.





參考答案


一、選擇題


二、填空題


6.【解析】根據(jù)△ABC為等腰三角形可得AB=AC,然后根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AB=BD,AC=CD,所以可得到AB=CD,AC=BD,所以四邊形ABCD是平行四邊形,再根據(jù)菱形的定義可得四邊形ABDC是菱形.


【答案】 菱形


7.【解析】根據(jù)菱形的判定定理:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形可知,只需要讓ABCD判定為平行四邊形即可.根據(jù)平行四邊形的判定定理對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可知,需要添加的條件是OA=OC.


【答案】 OA=OC


8.


【提示】過點C作CF⊥AB,垂足為F.在Rt△ABC中,AB==10,則CF=.在Rt△BCF中,BF=.易得BD=2BF=,∴AD=AB-BD=10-.


9. AC⊥BD(答案不唯一)


三、解答題


10.略


11.因為四邊形ABCD是平行四邊形,AC=4,BD=23,


所以O(shè)A=12AC=2,OB=12BD=3.


又因為AB=7,


所以AB2=OA2+OB2,


所以∠AOB=90°,即AC⊥BD,


所以平行四邊形ABCD是菱形.


12.因為AB=AC,∠B=60°,


所以△ABC是等邊三角形,


所以∠FAC=∠ECA=120°,AB=BC=AC.


又因為AD平分∠FAC,CD平分∠ECA,


所以∠DAC=∠DCA=60°,


所以△ACD是等邊三角形,即AC=DC=AD,


所以AB=BC=CD=AD,


所以四邊形ABCD是菱形.


13.(1)∵D,E分別是AB,BC邊上的中點,


∴DE∥AC,DE=12AC,


同理EF∥AB,EF=12AB.


∴四邊形ADEF是平行四邊形.


又∵AB=AC,∴EF=DE,


∴四邊形ADEF是菱形.


(2)AB=24,則AD=12,


∴菱形ADEF的周長為12×4=48.


14.解:(1)該同學(xué)錯在AC和EF并不是互相平分的,EF垂直平分AC,但未證明AC垂直平分EF,需要通過證明得出.


(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形,


∴AD∥BC,∴∠FAC=∠ECA.


∵EF是AC的垂直平分線,∴OA=OC.


在△AOF與△COE中,


∴△AOF≌△COE(ASA),∴EO=FO,


∴AC垂直平分EF,∴EF與AC互相垂直平分,


∴四邊形AECF是菱形.


15.證明:由折疊得AB=AD,BM=DM,∠1=∠2.


∵DM∥AB,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴AD=DM,


∴AB=AD=DM=BM,∴四邊形ABMD是菱形.


16.證明:(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,


∴∠A=∠C.


在△AED與△CFD中,


∴△AED≌△CFD.


(2)由(1)知△AED≌△CFD,則AD=CD.


又∵四邊形ABCD是平行四邊形,


∴平行四邊形ABCD是菱形.


17.證明:∵DE∥BC,EC∥AB,


∴四邊形DBCE是平行四邊形,∴EC=DB.


在Rt△ABC中,CD為AB邊上的中線,


∴AD=DB=CD,∴EC=AD,


∴四邊形ADCE是平行四邊形.


又∵AD=CD,∴平行四邊形ADCE是菱形.


18.解:(1)∵AF=FG,∴∠FAG=∠FGA.


∵AG平分∠CAB,∴∠CAG=∠FAG,


∴∠CAG=∠FGA,∴AC∥FG.


∵DE⊥AC,∴FG⊥DE.


∵FG⊥BC,∴DE∥BC,∴AC⊥BC,


∴∠C=∠DHG=90°,∠CGE=∠GED.


∵F是AD的中點,FG∥AE,∴H是ED的中點,


∴FG是線段ED的垂直平分線,


∴GE=GD,∠GDE=∠GED,


∴∠CGE=∠GDE,∴△ECG≌△GHD.


(2)過點G作GP⊥AB于點P,


∴GC=GP,而AG=AG,


∴△CAG≌△PAG,∴AC=AP.


由(1)可得EG=DG,∴Rt△ECG≌Rt△DPG,


∴EC=PD,∴AD=AP+PD=AC+EC.


(3)四邊形AEGF是菱形.


理由:∵∠B=30°,∴∠ADE=30°,


∴AE=AD,∴AE=AF=FG.


由(1)得AE∥FG,∴四邊形AEGF是菱形.


題號
1
2
3
4
5
答案
D
C
B
C
A

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