?北師大版數(shù)學 九上 第一章 1.1菱形的現(xiàn)在與判定 測試卷A卷
一． 選擇題（共30分）
1.如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，連接DE，DF，當△ABC滿足下列哪個條件時，四邊形AEDF為菱形（　?。?br />
A．AB＝AC B．∠B＝∠A C．BD＝DF D．DE⊥DF
【答案】A
【知識點】等腰三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：要使四邊形AEDF是菱形，則應(yīng)有DE＝DF＝AE＝AF，
∵E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點
∴AE＝BE，AF＝FC，
應(yīng)有DE＝BE，DF＝CF，則應(yīng)有△BDE≌△CDF，應(yīng)有BD＝CD，
∴當點D應(yīng)是BC的中點，而AD⊥BC，
∴△ABC應(yīng)是等腰三角形，
∴應(yīng)添加條件：AB＝AC或∠B＝∠C.
則當△ABC滿足條件AB＝AC或∠B＝∠C時，四邊形AEDF是菱形.
故答案為：A.

2.矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（）
A．對角線互相垂直 B．對角線相等
C．對角線互相平分 D．鄰邊相等
【答案】B
【知識點】菱形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵矩形具有的性質(zhì)：對角線相等，對角線互相平分；
菱形具有的性質(zhì)：鄰邊相等，對角線互相平分，對角線互相垂直；
∴矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是：對角線相等.
故答案為：B.

3.如圖，某同學剪了兩條寬均為3的紙條，交叉疊放在一起，且它們的交角為60°，則它們重疊部分的面積為（　?。?br />
A．3 B．23 C．36 D．6
【答案】B
【知識點】菱形的判定與性質(zhì)
【解析】【解答】如圖，過點A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，

由題意可得AE=AF=3，∠AEB=∠AFD=90°．
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABE=∠ADF=60°．
在△AEB和△AFD中，∠ABE=∠ADF∠AEB=∠AFDAE=AF，
∴△AEB≌△AFD(AAS)，
∴AB=AD，
∴四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC．
在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=3，∠ABE=60°，
∴BE=AEtan60°=1，AB=AEsin60°=2，
∴BC=AB=2，
∴重疊部分的面積是BC×AE=23．
故答案為：B．

4.如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，如果添加一個條件，可推出?ABCD是菱形，那么這個條件可以是（　?。?br />
A．AB=AC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥AC
【答案】C
【知識點】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵AB=BC（一組鄰邊相等即可），四邊形ABCD是平行四邊形，
∴四邊形ABCD是菱形，故A，B不符合題意；
∵AC⊥BD，四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ABCD是菱形，故C符合題意，D不符合題意；
故答案為：C

5.菱形ABCD的兩條對角線AC＝8cm，BD＝6cm，那么菱形的邊長是(　　)
A．6cm B．5cm C．4cm D．8cm
【答案】B
【知識點】勾股定理；菱形的性質(zhì)
【解析】【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，BO＝OD＝12BD＝12×6＝3cm，AO＝OC＝12AC＝12×8＝4cm，
∴AB＝AO2+BO2=42+32＝5cm，即菱形的邊長是5cm，
故答案為：B．
6.下列是關(guān)于某個四邊形的三個結(jié)論：①它的對角線互相垂直；②它是一個正方形；③它是一個菱形．下列推理過程正確的是（　　）
A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③
C．由③推出①，由①推出③ D．由①推出③，由③推出②
【答案】A
【知識點】菱形的判定
【解析】【解答】解：正方形是特殊的菱形，而菱形不一定是正方形；
菱形的對角線互相垂直， 而對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形；
正方形擁有菱形的一切性質(zhì)，故②可以推出③和①，③可以推出①，而①推不出②和③，③推不出②；
故答案為：A．

7.如圖，在菱形ABCD中，點E是AB的中點，點F是AC的中點，連接EF，如果EF=4，那么菱形ABCD的周長為（　?。?br />
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】D
【知識點】菱形的性質(zhì)；三角形的中位線定理
【解析】【解答】解：∵E為AB中點，F(xiàn)為AC中點，
∴線段EF為△ABC的中位線，
∴BC=2EF=2×4=8.
∵四邊形ABCD為菱形，
∴該菱形的周長=4×8=32.
故答案為：D.

8.如圖，在菱形ABCD中， AB=4 ， ∠BAD=120° ， △AEF 為等邊三角形點E，F(xiàn)分別在菱形的邊BC，CD上滑動，且E，F(xiàn)不與B，C，D重合，則四邊形AECF的面積是（　?。?

A．4 B．43 C．8 D．83
【答案】B
【知識點】菱形的性質(zhì)；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】連接AC，如圖所示，

∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝∠DAC＝60°，BC＝AB＝4，
∴∠1+∠EAC＝60°，∠3+∠EAC＝60°，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAD＝120°，BC∥AD，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴△ABC、△ACD為等邊三角形，
∴∠4＝60°，AC＝AB，
在△ABE和△ACF中，
∠1=∠3AB=AC∠ABC=∠4 ，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴S△ABE＝S△ACF，
故S四邊形AECF＝S△AEC+S△ACF＝S△AEC+S△ABE＝S△ABC，是定值，
過A作AH⊥BC于H，則BH＝ 12 BC＝2，
∴AH＝ AB2?BH2=42?22=23 ，
S四邊形AECF＝S△ABC＝ 12 BC?AH＝ 12 ×4×2 3 ＝4 3 ，
故答案為：B．

9.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC=6，BD=8，點E、F分別是邊AB、BC的中點，點P在AC上運動和過程中，PE+PF的最小值是（　?。?br />
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知識點】勾股定理；菱形的性質(zhì)；軸對稱的應(yīng)用-最短距離問題
【解析】【解答】解：作點E關(guān)于AC的對稱點E′，連接E′F，則PE+PF的最小值為E′F.

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=12AC=12×8=4，BO=12BD=12×6=3，
∴AB2=32+42=25，
∴AB=5.
由菱形的軸對稱性可知E′為AD的中點，
∴E′F=AB=5，即PE+PF的最小值為5.
故答案為：C.

10.如圖，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC與BD交于點O，E為CD延長線上的一點，且CD＝DE，連接BE分別交AC，AD于點F、G，連接OG，則下列結(jié)論正確的是（　?。?br /> ①OG=12AB；②與△EGD全等的三角形共有2個；③S四邊形ODEG＝S四邊形ABOG；④由點A、B、D、E構(gòu)成的四邊形是菱形；

A．①③④ B．①④ C．①②③ D．②③④
【答案】A
【知識點】三角形全等的判定；等邊三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)；三角形的中位線定理
【解析】【解答】解：∵ABCD為菱形，
∴AB=BC=AD=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，AC⊥BD，
∴∠BAG=∠EDG，
∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，
∴CD=DE，
∴AB=DE.
∵∠BAG=∠EDG，∠AGB=∠DGE，AB=DE，
∴△ABG≌△DEG，
∴AG=DG，
∴OG為△ACD的中位線，
∴OG=12CD=12AB，故①正確；
∵AB∥CE，AB=DE，
∴四邊形ABDE為平行四邊形.
∵∠BCD=∠BAD=60°，
∴△BCD、△ABD為等邊三角形，
∴AB=BD=AD，∠ODC=60°，
∴四邊形ABDE為菱形，故④正確；
∴AD⊥BE.
∵四邊形ABDE為菱形，
∴△BGA≌△BGD≌△EGD（SSS）.
∵AG=DO，∠BAG=∠CDO，AB=CD，
∴△BGA≌△COD，
∴△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，故②錯誤；
∵OB=OD，
∴S△BOG=S△DOG.
∵四邊形ABDE為菱形，
∴S△ADG=S△DGE，
∴四邊形ODEG與四邊形OBAG的面積相等，故③正確.
故答案為：A.

二．填空題（共24分）
11.如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，E，F(xiàn)分別是邊BC和對角線BD上的動點，且BE=DF，則AE+AF的最小值為　 　.

【答案】42
【知識點】線段的性質(zhì)：兩點之間線段最短；勾股定理；菱形的性質(zhì)；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如圖，在BC的下方作∠CBT=30°，在BT上截取BT，使得BT=AD，連接ET，AT.

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴∠ADC=∠ABC=60°，∠ADF=12∠ADC=30°，
∵AD=BT，∠ADF=∠TBE=30°，DF=BE，
∴△ADF≌△TBE(SAS)，
∴AF=ET，
∵∠ABT=∠ABC+∠CBT=60°+30°=90°，AB=AD=BT=4，
∴AT=AB2+BT2=42+42=42，
∴AE+AF=AE+ET，
∵AE+ET≥AT，
∴AE+AF≥42，
∴AE+AF的最小值為42，
故答案為：42.

12.如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，按下列步驟作圖：
①分別以點C，D為圓心，大于12CD的長為半徑畫弧，兩弧的交點分別為點E，F(xiàn)；
②過點E，F(xiàn)作直線EF，交CD于點P；
③連接OP.若OP=1.5，則菱形ABCD的周長為　 　.

【答案】12
【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)
【解析】【解答】解：根據(jù)作圖可知EF是CD的垂直平分線，
∴P是CD的中點，
∵菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，
∴BO=OD，
∴EP=12BC，
∵OP=1.5，
∴BC=3，
∴菱形ABCD的周長為12.
故答案為：12.

13.如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD的交點為O，AC=6，CD=5.若點E在BC上，且AE⊥BC，則AE的長為　 　.

【答案】245
【知識點】勾股定理；菱形的性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD為菱形，AC=6，CD=5，
∴AC⊥BD，OB=OD，OC=12AC=3，BC=CD=5，
∴在Rt△OCD中，由勾股定理可得OD=CD2?OC2=52?32=4，
∴BD=2OD=8，
∴S菱形ABCD=12AC?BD=12×6×8=24，
∵AE⊥BC，
∴S菱形ABCD=BC?AE=24，
∴AE=24BC=245.
故答案為：245.

14.如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點D作DH⊥BC于點H，連接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，則OH的長為 　 　．

【答案】3
【知識點】菱形的性質(zhì)
【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，DO＝BO，AO＝OC，
∵OA＝4，
∴AC＝2OA＝8，
∵S菱形ABCD＝24，
∴12×8×BD＝24，
解得：BD＝6，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
∵DO＝BO，
∴OH＝12BD＝12×6＝3，
故答案為：3．
15.如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠ABC=60°，對角線AC與BD交于點O，E為OB中點，F(xiàn)為AD中點，連接EF，則EF的長為　 ?。?br />
【答案】132
【知識點】勾股定理；菱形的性質(zhì)
【解析】【解答】解：如圖，取OD的中點H，連接FH，

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝AD＝2，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，
∴AO＝12AB＝1，BO＝22?12=3＝DO，
∵點H是OD的中點，點F是AD的中點，
∴FH＝12AO＝12，F(xiàn)H∥AO，
∴FH⊥BD，
∵點E是BO的中點，點H是OD的中點，
∴OE＝32，OH＝32，
∴EH＝3，
∴EF＝EH2+FH2=3+14=132，
故答案為：132．
16.如圖，在菱形ABCD中， BC=2 ， ∠C=120° ，Q為AB的中點，P為對角線BD上的任意一點，則 AP+PQ 的最小值為　 　.

【答案】3
【知識點】菱形的性質(zhì)；軸對稱的應(yīng)用-最短距離問題
【解析】【解答】解：連接AC，CQ，

∵四邊形ABCD是菱形，
∴A、C關(guān)于直線BD對稱，
∴CQ的長即為AP+PQ的最小值，
∵∠BCD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∵Q是AB的中點，
∴CQ⊥AB，BQ= 12 BC= 12 ×2=1，
∴CQ= BC2?BQ2=22?12=3 .
故答案為： 3 .
三、 解答題（共46分）
17.（8分）如圖，已知△ABC中，D是AC的中點，過點D作DE⊥AC交BC于點E，過點A作AF∥BC交DE于點F，連接AE，CF.求證：四邊形AECF是菱形.

【答案】證明：在△ABC中，點D是AC的中點，
∴AD＝DC，
∵AF∥BC，
∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED，
∴△AFD≌△CED（AAS），
∴AF＝EC，
又∵AF∥BC，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
又∵DE⊥AC，
∴EF⊥AC
∴平行四邊形AECF是菱形.

18.（8分）如圖，在?ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，DE=DF．求證：?ABCD是菱形．

【答案】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A=∠C
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEA=∠DFC=90°．
又∵DE=DF，
∴△DAE≌△DCF(AAS)，
∴DA=DC，
∴?ABCD是菱形．

19.（10分）已知：如圖，菱形 ABCD 中，點 E ， F 分別在 AB ， AD 邊上， AE=AF ，連接 CE ， CF .求證： ∠AEC=∠AFC .

【答案】證明：連接 AC ，如圖，

∵ 四邊形 ABCD 是菱形，
∴∠BAC=∠DAC ，
在 ΔAEC 和 ΔAFC 中， AE=AF∠EAC=∠FACAC=AC ，
∴ΔAEC?ΔAFC (SAS)，
∴∠AEC=∠AFC .

20.（10分）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交AC于點F．求證：AD⊥EF．

【答案】證明：∵DE∥AC ， DF∥AB ，
∴四邊形 AEDF 為平行四邊形，
∵AD 平分 ∠BAC ，
∴∠EAD=∠FAD ，
∵DE∥AC ，
∴∠ADE=∠FAD ，
∴∠EAD=∠ADE ，
∴AE=DE ，
∴四邊形 AEDF 為菱形，
∴AD⊥EF ．

21.（10分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射線BD上一動點，以AP為邊向右側(cè)作等邊△APE，點E的位置隨著點P的位置變化而變化．

（1）問題提出
如圖1，當點E在菱形ABCD內(nèi)部或邊上時，連接CE，BP與CE的數(shù)量關(guān)系是　 　，CE與CB的位置關(guān)系是　 ?。?br /> （2）如圖2，當點E在菱形ABCD外部時，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由．
（3）問題解決
如圖3，連湖公園有一塊觀賞園林區(qū)，其形狀是一個邊長為20m的菱形ABCD，其中∠ABC＝60°，對角線BD是一條花間小徑，現(xiàn)計劃在BD延長線上（包括D點）取點P，以AP為邊長修建一個等邊△APE的娛樂區(qū)，放置各類運動娛樂設(shè)施，從娛樂區(qū)頂點E再修一條直直的小路BE，為了讓游客們更輕松愉快地游玩，園區(qū)還計劃在BE中點處設(shè)置一個直飲水點F，求飲水點F到C點的最短距離．
【答案】（1）PB=EC；CE⊥CB
（2）解：結(jié)論仍然成立.
理由：如圖2，連接AC交BD于O，設(shè)CE交AD于H.

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，∠ABD=∠CBD=30°，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△APE是等邊三角形，
∴AP=AE，∠PAE=60°，
∵∠BAC=∠PAE，
∴∠BAP=∠CAE，
AB=AC∠BAP=∠CAEAP=AE，
∴△BAP≌△CAE，
∴BP=CE，∠BAP=∠CAE=30°，
∵∠CAH=60°，
∴∠CAH+∠ACH=90°，
∴∠AHC=90°，即CE⊥AD
∵AD∥CB
∴CE⊥CB
（3）解：根據(jù)題目，為了使F到C點的距離最短，在BC固定的情況下，∠CBE越小，CF越短，∠CBE越小，點E距離點P越小，即△APE邊長越小，即當點P位于點D時，CF最小，如圖所示：

∵∠ABC=60°且四邊形ABCD為菱形
∴∠BAD=120°，∠DAE=60°
∵∠BAD+∠DAE=180°
∴點A位于線段BE上
∵AB=20，AE=20，則點A為BE的中點
∴點F與點A重合
∴FC=AC
∵AB=BC，∠ABC=60°
∴△ABC為等邊三角形
∴FC=AC=AB=20
∴點F到C點的最短距離為20m．

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