一、選擇題


1.如圖,要使平行四邊形ABCD成為矩形,需添加的條件是( )





A.AB=BCB.AC⊥BD


C.∠ABC=90°D.∠1=∠2


2.如圖,在平行四邊形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,OA=2,若要使平行四邊形ABCD是矩形,則OB的長應該為( )





A.4B.3C.2D.1


3.如圖,要使?ABCD成為矩形,需添加的條件是( )





A.AB=BCB.AC⊥BD


C.∠ABC=90°D.∠1=∠2


4.如圖,有下列四個條件:①AB=BC;②∠ABC=90°;③AC=BD;④∠ADC=∠BAD.從中選取一個作為補充條件,使?ABCD為矩形,其中錯誤的是( )





A.①B.②


C.③D.④


5.在△ABC中,D是邊BC上的點(與B,C兩點不重合),過點D作DE∥AC,DF∥AB,分別交AB,AC于E,F兩點,下列說法正確的是( )


A.若AD⊥BC,則四邊形AEDF是矩形


B.若AD垂直平分BC,則四邊形AEDF是矩形


C.若BD=CD,則四邊形AEDF是菱形


D.若AD平分∠BAC,則四邊形AEDF是菱形





6.在數學活動課上,老師要求同學們判斷一個四邊形的小黑板是否為矩形,下面是某合作學習小組的四位同學擬定的方案,其中正確的是( )


A.測量其中三個角是否都為直角


B.測量對角線是否相等


C.測量兩組對邊是否分別相等


D.測量對角線是否相互平分


二、填空題


7.如圖,直角∠AOB內的一點P到這個角的兩邊的距離之和為10,則圖中四邊形的周長為 .


8.如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AB=4 cm,AD>AB,CD=5 cm,點P從點C出發(fā)沿邊CB以每秒1 cm的速度向點B運動, 秒后四邊形ABPD是矩形.





9.如圖,連接四邊形ABCD各邊中點,得到四邊形EFGH,AC與BD還要滿足 ,才能保證四邊形EFGH是矩形.


三、解答題


10.如圖,在△ABC中,D是AC的中點,E是線段BC延長線上一點,過點A作BE的平行線與線段ED的延長線交于點F,連接AE,CF.若AC=EF,試判斷四邊形AFCE是什么特殊的四邊形,并說明理由.














11.如圖,在△ABC中,BD是AC的垂直平分線.過點D作AB的平行線交BC于點F,過點B作AC的平行線,兩平行線相交于點E,連接CE.求證:四邊形BECD是矩形.





12.如圖,在?ABCD中,AE,BF,CN,DM分別是∠DAB,∠ABC,∠BCD,∠CDA的平分線,且相交于點O,K,H,G.求證:四邊形HGOK是矩形.





























13.如圖,在△ABC中,∠C=90°,BC>AC,點D,E,F分別是△ABC三邊的中點,求證:四邊形DCEF是矩形.























14.如圖,直線AB∥CD,EF和AB,CD分別相交于M,N兩點,射線MP,MQ,NP,NQ分別是


∠AMN,∠BMN,∠MNC,∠MND的平分線,MP,NP相交于點P,MQ和NQ相交于點Q.


求證:四邊形MPNQ是矩形.





























15.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,分別以AC,BC為底邊,向△ABC外部作等腰△ADC和△CEB,M為AB的中點,連接MD,ME,分別與AC,BC交于點F和點G.


求證:四邊形MFCG是矩形.
































16.如圖,D,E分別是不等邊△ABC的邊AB,AC的中點.O是△ABC內的動點,連接OB,OC,G,F分別是OB,OC的中點,順次連接點D,G,F,E.





(1)求證:四邊形DGFE是平行四邊形.


(2)當OA與BC滿足什么關系時,四邊形DGFE是矩形?請說明理由.
























































17.如圖,在△ABC中,O是邊AC上一個動點,過點O作直線EF∥BC,分別交∠ACB,∠ACD的平分線于點E,F.





(1)若CE=8,CF=6,求OC的長.


(2)連接AE,AF.問:當點O在邊AC上運動到什么位置時,四邊形AECF是矩形?并說明理由.





參考答案


一、選擇題


二、填空題


7. 20 .


8. 3


9. AC⊥BD


三、解答題


10.解:四邊形AFCE是矩形.


理由:略.


11.證明:∵BD是AC的垂直平分線,


∴AD=DC,BD⊥CA,∴∠BDC=90°.


由題意知AB∥DE,AD∥BE,∴四邊形ABED是平行四邊形,∴AD=BE,∴DC=BE,


又DC∥BE,∴四邊形BECD是平行四邊形.


∵∠BDC=90°,∴四邊形BECD是矩形.


12.證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,


∴∠DAB+∠ABC=180°.


∵AE,BF分別平分∠DAB,∠ABC,


∴∠OAB+∠OBA=12(∠DAB+∠ABC)=12×180°=90°,∴∠GOK=90°,


同理,∠OKH=90°,∠KHG=90°,


∴四邊形HGOK是矩形.


13.因為點D,E,F分別是△ABC三邊的中點,


所以DF∥AC,EF∥BC.


因為∠C=90°,


所以∠CEF=∠CDF=90°,


所以四邊形DCEF是矩形.


14.∵MP平分∠AMN,


∴∠1=12∠AMN.同理∠2=12∠MND,∠4=12∠BMN.


∵∠1+∠4=12(∠AMN+∠BMN)=90°,


即∠PMQ=90°.


同理∠PNQ=90°.


∵AB∥CD,


∴∠BMN+∠MND=180°,


∴∠4+∠2=12(∠BMN+∠MND)=90°,


∴∠MQN=90°,


∴四邊形MPNQ是矩形.


15.證明:連接CM,


∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,M為AB的中點,


∴CM=AM=BM=12AB,


∴點M在線段AC的垂直平分線上.


∵在等腰△ADC中,AC為底邊,AD=CD,


∴點D在線段AC的垂直平分線上,


∴MD垂直平分AC,∴∠MFC=90°.


同理,∠MGC=90°,


∴四邊形MFCG是矩形.


16.解:(1)∵D,E分別是邊AB,AC的中點,


∴DE∥BC,DE=12BC,


同理,GF∥BC,GF=12BC,


∴DE∥GF,DE=GF,


∴四邊形DGFE是平行四邊形.


(2)當OA⊥BC時,四邊形DGFE是矩形.


理由:連接AO,由(1)知四邊形DGFE是平行四邊形.


當OA⊥BC時,DG⊥GF,∴平行四邊形DGFE是矩形.


∴當OA⊥BC時,四邊形DGFE是矩形.


17.解:(1)由題意得∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠DCF,


∵EF∥BC,∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠DCF,


∴∠OEC=∠OCE,∠OFC=∠OCF,


∴OE=OC,OF=OC,∴OE=OF.


∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°,


∴∠ECF=90°.


在Rt△CEF中,EF=CE2+CF2=10,


∴OC=12EF=5.


(2)當點O在邊AC上運動到AC的中點時,四邊形AECF是矩形.


理由:連接AE,AF,當O為AC的中點時,AO=CO,


∵EO=FO,∴四邊形AECF是平行四邊形.


∵∠ECF=90°,∴平行四邊形AECF是矩形.


題號
1
2
3
4
5
6
答案
C
C
C
A
D
A

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2 矩形的性質與判定

版本： 北師大版

年級： 九年級上冊

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