一、選擇題


1.在下列命題中:①矩形是軸對(duì)稱圖形,且有兩條對(duì)稱軸;②兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形;③有兩個(gè)角相等的平行四邊形是矩形;④兩條對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形.其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )


A.4B.3C.2D.1


2.如圖,在△ABC中,AC的中垂線分別交AC,AB于點(diǎn)D,F,BE⊥DF交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.若∠A=30°,BC=2,AF=BF,則四邊形BCDE的面積是( )


A.23B.22


C.33D.32


3.如圖,P是矩形ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn),過點(diǎn)P作EF∥BC,分別交AB,CD于點(diǎn)E,F,連接PB,PD.若AE=3,PF=9,則圖中陰影部分的面積為( )





A.12B.24C.27D.54


4.如圖,矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,CE∥BD,DE∥AC,AD=23,DE=2,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )





A.AB=2


B.∠E=60°


C.四邊形OCED是菱形


D.四邊形OCED的面積是43


5.如圖,四邊形ABCD和四邊形AEFC是兩個(gè)矩形,點(diǎn)B在EF邊上.若矩形ABCD和矩形AEFC的面積分別是S1,S2,則S1,S2的大小關(guān)系是( )


A.S1>S2B.S1=S2


C.S1AD,四個(gè)角的平分線AE,DE,BF,CF的交點(diǎn)分別是E,F,過點(diǎn)E,F分別作DC與AB間的垂線MM'與NN',在DC與AB上的垂足分別是M,N與M',N',連接EF.





(1)求證:四邊形EFNM是矩形;


(2)已知AE=4,DE=3,DC=9,求EF的長(zhǎng).





參考答案


一、選擇題


二、填空題


7. 12


8. 23°


9. 2.4


10. 1.2


三、解答題


11.證明:過點(diǎn)B作BF⊥CE于點(diǎn)F.


∵CE⊥AD,∴∠D+∠DCE=90°.


∵∠BCD=90°,


∴∠BCF+∠DCE=90°,∴∠BCF=∠D.


又∵∠CED=∠BFC=90°,BC=CD,


∴△BCF≌△CDE,∴BF=CE.


∵∠A=90°,CE⊥AD,BF⊥CE,


∴四邊形AEFB是矩形,∴AE=BF,∴AE=CE.


12.解:(1)∵AO=CO,BO=DO,


∴四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠ABC=∠ADC.


∵∠ABC+∠ADC=180°,


∴∠ABC=∠ADC=90°,


∴四邊形ABCD是矩形.


(2)∵∠ADC=90°,∠ADF∶∠FDC=3∶2,


∴∠FDC=36°.


∵DF⊥AC,∴∠DCO=90°-36°=54°.


∵四邊形ABCD是矩形,


∴OC=OD,∴∠ODC=∠DCO=54°,


∴∠BDF=∠ODC-∠FDC=18°.


13.解:(1)∵四邊形ABCD是矩形,


∴AB=CD,∠B=∠D=90°.


由折疊得AB=AF,∠B=∠F,∴AF=CD,∠F=∠D.


又∵∠AEF=∠CED,∴△AFE≌△CDE.


(2)由折疊得AF=AB=4,CF=BC=8.


由(1)得△AFE≌△CDE,∴AE=CE.


設(shè)AE=x,則CE=x,EF=8-x.


在Rt△AEF中,由勾股定理得AE2=AF2+EF2,


即42+(8-x)2=x2,解得x=5,即AE=5.


∴S陰影=12AE·AB=12×5×4=10.


14.解:(1)過點(diǎn)E,F分別作AD,BC的垂線,垂足分別是G,H.





∵∠3=∠4,∠1=∠2,EG⊥AD,EM⊥CD,EM'⊥AB,


∴EG=ME,EG=EM',


∴EG=ME=EM'=12MM'.


同理可證:FH=NF=N'F=12NN'.


∵CD∥AB,MM'⊥CD,NN'⊥CD,


∴MM'=NN',∴ME=NF.


又∵M(jìn)M'∥NN',∴四邊形EFNM是平行四邊形.


∵M(jìn)M'⊥CD,∴平行四邊形EFNM是矩形.


(2)∵DC∥AB,∴∠CDA+∠DAB=180°.


∵∠3=12∠CDA,∠2=12∠DAB,


∴∠3+∠2=90°,∠DEA=90°.


在Rt△DEA中,∵AE=4,DE=3,


∴AD=42+32=5.


∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠DAB=∠DCB.


又∵∠2=12∠DAB,∠5=12∠DCB,∴∠2=∠5.


由(1)知GE=NF.在Rt△GEA和Rt△CNF中,


∵∠2=∠5,∠EGA=∠FNC=90°,GE=NF,


∴△GEA≌△NFC,∴AG=CN.


在Rt△DME和Rt△DGE中,


∵DE=DE,ME=GE,


∴△DME≌△DGE,∴DG=DM,


∴DM+CN=DG+AG=AD=5,


∴MN=CD-DM-CN=9-5=4.


∵四邊形EFNM是矩形,∴EF=MN=4.


題號(hào)
1
2
3
4
5
6
答案
C
A
C
D
B
A

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