本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)》人教A版（2019）第六章《平面向量及其應(yīng)用》的第四節(jié)《平面向量的應(yīng)用》。以下是本節(jié)的課時(shí)安排：
1.能借助向量的運(yùn)算，探索三角形邊長(zhǎng)與角度的關(guān)系并掌握正弦定理，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；2.能運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解決簡(jiǎn)單的解三角形問題，培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。
1.重點(diǎn)：能運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解決簡(jiǎn)單的解三角形問題。2.難點(diǎn)：通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明。
1. 創(chuàng)設(shè)情境，生成問題
古埃及時(shí)代，尼羅河經(jīng)常泛濫，古埃及人為了研究尼羅河水運(yùn)行的規(guī)律，準(zhǔn)備測(cè)量各種數(shù)據(jù).當(dāng)尼羅河漲水時(shí)，古埃及人想測(cè)量某處河面的寬度(如圖)，如果古埃及人通過(guò)測(cè)量得到了AB的長(zhǎng)度，∠BAC，∠ABC的大小，那么就可以求解出河面的寬度CD.古埃及人是如何利用這些數(shù)據(jù)計(jì)算的呢？
2.探索交流，解決問題
1.正弦定理的表示(1)文字語(yǔ)言：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì) 的 相等，即 。
1.正弦定理的主要功能是什么？
提示　實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化.
2.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，那么a∶b∶c＝A∶B∶C對(duì)嗎？
提示　不對(duì).根據(jù)正弦定理，a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
拓展：該比值為該三角形外接圓的直徑.
【做一做】1.在△ABC中，下列等式總能成立的是(　　)A.acs C＝ccs A B.bsin C＝csin AC.absin C＝bcsin B D.asin C＝csin A
3.已知△ABC外接圓半徑是2，A＝60°，則BC的長(zhǎng)為________.
1.已知兩角及一邊解三角形
【例1】　已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B.
【鞏固練習(xí)1】　在△ABC中，已知B＝45°，C＝60°，c＝1，求最短邊的邊長(zhǎng).
2.已知兩邊及一邊的對(duì)角解三角形
【類題通法】已知三角形兩邊及一邊的對(duì)角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一邊對(duì)角的正弦值.(2)如果已知的角為大邊所對(duì)的角時(shí)，由三角形中大邊對(duì)大角、大角對(duì)大邊的法則能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，由正弦值可求銳角唯一.(3)如果已知的角為小邊所對(duì)的角時(shí)，則不能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，這時(shí)由正弦值可求兩個(gè)角，要分類討論.
【例3】　已知在△ABC中，bsin B＝csin C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，試判斷△ABC的形狀．
【類題通法】利用正弦定理判斷三角形形狀的方法：(1)化邊為角.將題目中的所有條件，利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)得到三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，進(jìn)而確定三角形的形狀；(2)化角為邊.將題目中的所有條件，利用正弦定理化角為邊，再根據(jù)代數(shù)恒等變換得到邊的關(guān)系，進(jìn)而確定三角形的形狀.
【鞏固練習(xí)3】(1)若acs B＝bcs A，則△ABC是________三角形；(2)若acs A＝bcs B，則△ABC是________三角形.
答案　(1)等腰　(2)等腰或直角
（四）操作演練 素養(yǎng)提升
3.在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶4∶5，則△ABC是(　　)A.直角三角形 B.等腰三角形C.銳角三角形 D.鈍角三角形
答案 1.B 2.B 3. 　A 4.　60°或120°
（1）通過(guò)這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？ （2）在解決問題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？

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6.4 平面向量的應(yīng)用

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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