?6.2.4平面向量的數量積教案
課題
6.2.4向量的數量積
單元
第六單元
學科
數學
年級
高一
教材分析
本節(jié)內容是平面向量的數量積運算運算，由功的概念導入，學習平面向量的數量積運算以及運算律這些知識點，同時根據將向量的線性運算與向量的數量積運算進行對比分析。
教學目標與核心素養(yǎng)
1.數學抽象：利用功的定義將平面向量的數量積運算具體化；
2.邏輯推理：通過課堂探究逐步培養(yǎng)學生的邏輯思維能力；
3.數學建模：掌握平面向量數量積運算及其運算律；
4.直觀想象：利用數的運算及運算律推導平面向量的數量積運算及運算律；
5.數學運算:能夠正確計算和判斷向量的數量積；
6.數據分析:通過經歷提出問題—推導過程—得出結論—例題講解—練習鞏固的過程，讓學生認識到數學知識的邏輯性和嚴密性。
重點
向量的夾角、投影定義，數量積定義、性質以及運算律
難點
數量積定義、性質以及運算律

教學過程
教學環(huán)節(jié)
教師活動
學生活動
設計意圖
導入新課
情境導入：
我們一起來看一下物理中功的概念：如果一個物體在力F的作用下產生位移s，那么力F所做的功

思考1：前面我們學習了向量的加、減運算。類比數的運算，那么向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法該怎樣定義？
由功的概念可知，功是一個標量，它由力和位移兩個向量來確定。由此，我們引入“數量積”的概念。
學生思考問題，引出本節(jié)新課內容。
設置問題情境，激發(fā)學生學習興趣，并引出本節(jié)新課。
講授新課
知識探究（一）：向量的夾角
已知

特殊情況1

特殊情況2

特殊情況3

注意：
計算向量的夾角時，要將兩個向量起點放在一起.
小試牛刀

知識探究（二）：數量積的定義
思考：根據功的定義，你能推導出數量積的定義嗎？它和向量的加、減以及數乘運算有什么區(qū)別？
數量積定義：

規(guī)定：零向量與任一向量的數量積為0.
對比向量的線性運算，我們發(fā)現，向量線性運算的結果是一個向量，而兩個向量的數量積是一個數量，這個數量的大小與兩個向量的長度及其夾角有關。
例題講解
例1：

例2：

知識探究（三）：投影(或射影)的定義




思考：

由此可得數量積的幾何意義：

小試牛刀
如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，D為BC的中點．
(1)求在上的投影向量；
(2)求在上的投影向量．


總結:求一個向量在另一個向量上的投影向量時，關鍵是作出恰當的垂線，根據題意確定向量的模及兩向量的夾角．
知識探究（四）：數量積的性質
思考：







思考：




思考：

知識探究（五）：數量積的運算律
思考：數的乘法有相應的運算律，你能根據向量的線性運算的運算律得到數量積運算的運算律嗎？你能證明嗎？


以此類推，可得數量積運算的運算律如下：
數乘運算的運算律

思考：
不一定。
左右兩邊不一定相等，所以不一定成立。
例題講解
例3：





例4：

向量數量積的求法
(1)求兩個向量的數量積，首先確定兩個向量的模及兩個向量的夾角，其中準確求出兩個向量的夾角是求數量積的關鍵．
(2)根據數量積的運算律，向量的加、減與數量積的混合運算類似于多項式的乘法運算．
知識拓展：向量的模的計算


方法總結：

例題講解
例5：

求向量的模的常見思路及方法
(1)求模問題一般轉化為求模的平方，與向量數量積聯系，并靈活應用a2＝|a|2，勿忘記開方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以實現實數運算與向量運算的相互轉化．
提升訓練
1、判斷下列各題是否正確

2、如圖,邊長為1的等邊三角形ABC中,求：


學生根據功的定義探究平面向量的夾角以及數量積運算。



















































學生根據環(huán)環(huán)相扣的思考題，探究平面向量的數量積的性質。






























學生利用向量的投影推導并證明向量數量積的運算律。
















學生例題，鞏固向量的數量積運算以及運算律，并能夠靈活運用.




























學生和教師共同探究完成3個練習題。
利用功的定義探究得出平面向量的夾角以及數量積運算,培養(yǎng)學生探索的精神.



















































通過思考，培養(yǎng)學生探索新知的精神和能力.
































鞏固向量的投影，同時，培養(yǎng)學生嚴謹的數學態(tài)度和嚴密的邏輯思維。















利用例題，化抽象為具體，提高學生的抽象能力和邏輯思維能力。




























通過這3個題，鞏固基礎知識，發(fā)散學生思維，培養(yǎng)學生思維的嚴謹性和對數學的探索精神。
課堂小結
1. 向量的夾角
2. 數量積運算的定義
3. 投影的定義
4. 數量積運算性質
5. 數量積運算運算律
學生回顧本節(jié)課知識點，教師補充。
讓學生掌握本節(jié)課知識點，并能夠靈活運用。
板書
§6.2.4 向量的數量積運算
一、情境導入 2.定義 三、課堂小結
二、探索新知 3.投影的定義 四、作業(yè)布置
1.向量夾角定義 4.性質
5.運算律
例1、2、3、4、5


教學反思








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6.2 平面向量的運算

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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