2.投影向量:我們可以在平面內(nèi)任取一點(diǎn),作.過點(diǎn)作直線的垂線,垂足為,則 就是向量 在向量 上的投影向量.
3.設(shè)與方向相同的單位向量為,與的夾角為,對(duì)于任意的 都有上題表述中的 = ;
4.設(shè),是非零向量,它們的夾角是,是與方向相同的單位向量
則(1)= = .
(2) .
(3)當(dāng)與同向時(shí),= .
當(dāng)與反向時(shí),= .
特別地,= (常常記作)或= .
(4)此外,由還可以得到 .
如果有 或 .
二、學(xué)習(xí)過程
問題1:探究類比數(shù)的乘法運(yùn)算律,結(jié)合向量的線性運(yùn)算的運(yùn)算律,你能得到數(shù)量積運(yùn)算的哪些運(yùn)算律?你能證明嗎?
由向量數(shù)量積的定義,可以發(fā)現(xiàn)下列運(yùn)算律成立:對(duì)于向量和實(shí)數(shù),有
(1)= ;
(2) = = ;
(3) = .
證明分配律(3):如圖6. 2-22,任取一點(diǎn),作
設(shè)向量,,與的夾角分別為,它們?cè)谙蛄可系耐队跋蛄糠謩e為,與方向相同的單位向量為.則
= ,
= ,
= .
圖6. 2-22
因?yàn)?所以 .
于是= = ,
即=
整理得:=
所以:=
即:=
所以:=
因此:= .
問題2:設(shè),,是向量,,一定成立嗎?為什么?
例1.我們知道對(duì)任意,恒有
.
請(qǐng)問對(duì)任意向量,是否也有下面類似的結(jié)論?
例2.已知,,與的夾角是,求.
三、課堂練習(xí)
已知,,,向量與的夾角是,向量與的夾角是.
計(jì)算;.
已知已知,,向量與互相垂直,求證.
已知,,且與不共線.當(dāng)為何值時(shí),向量與互相垂直?
求證
四、課堂總結(jié)
(1)理解數(shù)量積的運(yùn)算律有些同于數(shù)的運(yùn)算律,有些不同于數(shù)的運(yùn)算律;
(2)運(yùn)算律中還有哪些結(jié)論?
2024—2025學(xué)年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案(7)
6.2.4向量的數(shù)量積(二)

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6.2 平面向量的運(yùn)算

版本: 人教A版 (2019)

年級(jí): 必修 第二冊(cè)

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