本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)》人教A版（2019）第六章《平面向量及其應(yīng)用》的第二節(jié)《平面向量的運(yùn)算》。以下是本節(jié)的課時(shí)安排：
在學(xué)生掌握平面向量加法、減法的基礎(chǔ)上，再讓學(xué)生了解向量的數(shù)乘運(yùn)算，理解向量共線定理的意義，能用向量語言和方法，表述和解決數(shù)學(xué)和物理中的一些問題。
1.理解向量數(shù)乘的定義及幾何意義，掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)。
2.掌握向量共線定理，會(huì)判斷或證明兩個(gè)向量共線，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理的核心素養(yǎng)。
重點(diǎn)：理解并掌握兩向量共線的性質(zhì)和判斷方法
難點(diǎn)：能熟練地運(yùn)用向量共線的性質(zhì)和判斷方法處理有關(guān)向量共線問題
（一）新知導(dǎo)入
1. 創(chuàng)設(shè)情境，生成問題
夏季的雷雨天，我們往往先看到閃電，后聽到雷聲，雷閃發(fā)生于同一點(diǎn)而傳到我們這兒為什么有個(gè)時(shí)間差？這說明聲速與光速的大小不同，光速是聲速的88萬倍．
若設(shè)光速為v1，聲速為v2，將向量類比于數(shù)，則有v1＝880 000v2.對(duì)于880 000v2，我們規(guī)定是一個(gè)向量，其方向與v2相同，其長度為v2長度的880 000倍．這樣實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算稱為向量的數(shù)乘．
【想一想】向量數(shù)乘的幾何意義及運(yùn)算律是怎樣規(guī)定的呢？
2.探索交流，解決問題
【問題1】實(shí)數(shù)運(yùn)算,x+x+x=3x,思考能否寫成呢?
[提示]可以,即=.
【問題2】與的方向有什么關(guān)系?與的方向呢?
[提示]與的方向相同,與的方向相反.
【問題3】按照向量加法的三角形法則,若為非零向量,那么的長度與的長度有何關(guān)系.
[提示]的長度是的長度的3倍,即若||=λ,則||=3λ.
【問題4】實(shí)數(shù)a,b滿足3(a+b)=3a+3b,(2+3)a=2a+3a,若把實(shí)數(shù)a,b換成向量,,上式是否仍成立?
[提示]成立,向量同樣滿足分配律、結(jié)合律.
【設(shè)計(jì)意圖】通過設(shè)計(jì)的問題，讓學(xué)生開始認(rèn)識(shí)數(shù)乘運(yùn)算及其運(yùn)算律，和共線向量的定理。
（二）向量的數(shù)乘運(yùn)算
1.向量的數(shù)乘運(yùn)算
1．定義：一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa.
2．規(guī)定：①|(zhì)λa|＝|λ||a|，
②當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ0，∴|a|＝4|b|.∵4b與b的方向相同，∴a與b的方向相同．
答案：C
【做一做2】4(a－b)－3(a＋b)－b等于( )
A．a(chǎn)－2b B．a(chǎn) C．a(chǎn)－6b D．a(chǎn)－8b
答案：D
2.向量共線定理
【探究1】a＝λb?a與b共線，對(duì)嗎？
【提示】正確．
【探究2】若a與b共線，一定有a＝λb嗎？
【提示】不一定．當(dāng)b＝0，a＝0時(shí)，λ有無數(shù)個(gè)值；當(dāng)b＝0，a≠0時(shí)，λ無解；只有當(dāng)b≠0時(shí)，才有a＝λb.
【探究3】若兩個(gè)非零向量,共線,是否一定存在實(shí)數(shù)λ使得=?
[提示]一定存在,且是唯一的.
向量共線定理：向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.
【辯一辯】正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”
答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×
【設(shè)計(jì)意圖】通過探究讓學(xué)生理解向量共線定理，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。
（三）典型例題
1.向量的線性運(yùn)算
例1.計(jì)算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；
(2)eq \f(1,2)[(3a＋2b)－eq \f(2,3)a－b]－eq \f(7,6)[eq \f(1,2)a＋eq \f(3,7)(b＋eq \f(7,6)a)]；
(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．
【解】(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.
(2)eq \f(1,2)[(3a＋2b)－eq \f(2,3)a－b]－eq \f(7,6)[eq \f(1,2)a＋eq \f(3,7)(b＋eq \f(7,6)a)]＝eq \f(1,2)(3a－eq \f(2,3)a＋2b－b)－eq \f(7,6)(eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)a＋eq \f(3,7)b)
＝eq \f(1,2)(eq \f(7,3)a＋b)－eq \f(7,6)(a＋eq \f(3,7)b)＝eq \f(7,6)a＋eq \f(1,2)b－eq \f(7,6)a－eq \f(1,2)b＝0.
(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)
＝6a＋2b.
【類題通法】向量的數(shù)乘運(yùn)算可類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算．例如，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是在這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù).
【鞏固練習(xí)1】計(jì)算：（1）；
（2）.
【解】（1）
=.
（2）
=
2.向量共線定理及其應(yīng)用
例2.已知非零向量e1，e2不共線．
(1)如果eq \(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq \(BC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2，eq \(CD,\s\up6(→))＝3(e1－e2)，求證：A、B、D三點(diǎn)共線；
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共線，試確定實(shí)數(shù)k的值．
(1)證明：因?yàn)閑q \(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5eq \(AB,\s\up6(→)).
所以eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))共線，且有公共點(diǎn)B，所以A、B、D三點(diǎn)共線．
（2）解：因?yàn)閗e1＋e2與e1＋ke2共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
則(k－λ)e1＝(λk－1)e2，
由于e1與e2不共線，只能有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k－λ＝0，,λk－1＝0，))所以k＝±1.
【類題通法】向量共線定理的應(yīng)用：
判斷、證明向量共線問題的思路是根據(jù)向量共線定理尋求唯一的實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb(b≠0)．
（2）一般來說，要判定A，B，C三點(diǎn)是否共線，只需看是否存在實(shí)數(shù)λ，使得 (或等)即可。
(3)若A，B，C三點(diǎn)共線，O為直線外一點(diǎn)?存在實(shí)數(shù)x、y，使且x＋y＝1。
【鞏固練習(xí)2】已知a與b是兩個(gè)不共線向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________．
解析：由題意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝－k，,1＝3k，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝\f(1,3)，,λ＝－\f(1,3).))
答案：－eq \f(1,3)
3.用已知向量表示其他向量
例3.如圖，ABCD是一個(gè)梯形，eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(CD,\s\up6(→))且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2|eq \(CD,\s\up6(→))|，M，N分別是DC，AB的中點(diǎn)，
已知 eq \(AB,\s\up6(→))＝e1，eq \(AD,\s\up6(→))＝e2，試用e1，e2表示向量eq \(AC,\s\up6(→)),eq \(MN,\s\up6(→)).
【解】因?yàn)閑q \(AB,\s\up6(→))∥eq \(CD,\s\up6(→))，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2|eq \(CD,\s\up6(→))|，所以eq \(AB,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→)).
(1)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))＝e2＋eq \f(1,2)e1.
(2)eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AN,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,4)e1－e2＋eq \f(1,2)e1＝eq \f(1,4)e1－e2.
【變式探究】 在本例中，若條件改為eq \(BC,\s\up6(→))＝e1，eq \(AD,\s\up6(→))＝e2，試用e1，e2表示向量eq \(MN,\s\up6(→)).
【解】因?yàn)閑q \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MD,\s\up6(→))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AN,\s\up6(→))，eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))，
所以2eq \(MN,\s\up6(→))＝(eq \(MD,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→)))＋eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＋(eq \(AN,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→)))．
又因?yàn)镸，N分別是DC，AB的中點(diǎn)，
所以eq \(MD,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝0，eq \(AN,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))＝0.所以2eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))，
所以eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(－eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→)))＝－eq \f(1,2)e2－eq \f(1,2)e1.
【類題通法】用已知向量表示其他向量的兩種方法
(1)直接法
(2)方程法
當(dāng)直接表示比較困難時(shí)，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程．
【鞏固練習(xí)3】如圖，四邊形ABCD中，已知.
（1）用，表示；
（2）若，，用，表示.
【解】（1）因?yàn)椋裕?br>（2）因?yàn)椋?br>所以.
（四）操作演練 素養(yǎng)提升
1.(2a－b)－(2a＋b)等于( )
A．a(chǎn)－2b B．－2b C．0 D．b－a
2.如圖，已知AM是△ABC的邊BC上的中線，若eq \(AB,\s\up12(→))＝a，eq \(AC,\s\up12(→))＝b，則eq \(AM,\s\up12(→))等于( )
A.eq \f(1,2)(a－b) B．－eq \f(1,2)(a－b) C.eq \f(1,2)(a＋b) D．－eq \f(1,2)(a＋b)
3.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是DC，BC的中點(diǎn)，那么eq \(EF,\s\up6(→))＝( )
A．eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)) B．－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)) C．－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)) D．eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))
4.已知e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a與b是共線向量，則實(shí)數(shù)k＝________.
答案：1.B 2.C 3.D 4.－2

【設(shè)計(jì)意圖】通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。
（五）課堂小結(jié)，反思感悟
1.知識(shí)總結(jié)：
2.學(xué)生反思：
（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？


（2）在解決問題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？


【設(shè)計(jì)意圖】
通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力。
完成教材：第15頁 練習(xí) 第1，2，3題
第16頁 練習(xí) 第1,2,3題
第23頁 習(xí)題6.2 第8,9,14,15題








第二節(jié) 平面向量的運(yùn)算
課時(shí)內(nèi)容
向量的加法運(yùn)算
向量的減法運(yùn)算
向量的數(shù)乘運(yùn)算
向量的數(shù)量積
所在位置
教材第7頁
教材第11頁
教材第13頁
教材第17頁
新教材內(nèi)容分析
向量的加法是向量的第一運(yùn)算，是向量其他運(yùn)算的基礎(chǔ)。通過本節(jié)課讓學(xué)生知道向量也是一種量，同其他量一樣也有自己的運(yùn)算，學(xué)好本節(jié)課為后面的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，為用“數(shù)”的運(yùn)算解決“形”的問題提供工具和方法。
本節(jié)課先引出相反向量，再類比實(shí)數(shù)的減法運(yùn)算，通過相反向量將減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，體現(xiàn)了減法運(yùn)算和加法運(yùn)算之間的內(nèi)部聯(lián)系。
實(shí)數(shù)與向量的乘積仍然是一個(gè)向量，即有大小又有方向，特別是與已知向量是共線向量，進(jìn)而引出共線向量定理。
教材以物理中力作功為背景引入向量的數(shù)量積，與向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算一樣有明顯的幾何意義，用途廣泛，但與向量的線性運(yùn)算不同的是，數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果是數(shù)量而不是向量。
核心素養(yǎng)培養(yǎng)
通過理解向量加法的概念以及向量加法的幾何意義，掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，會(huì)用它們解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)。
借助相反向量理解向量減法運(yùn)算的幾何意義，掌握平面向量減法運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)。
理解向量數(shù)乘的定義及幾何意義，掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)。掌握向量共線定理，會(huì)判斷或證明兩個(gè)向量共線，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理的核心素養(yǎng)。
會(huì)計(jì)算兩個(gè)向量的數(shù)量積，提升數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).通過探究投影向量的表達(dá)式，進(jìn)而得到數(shù)量積的幾何意義，提升直觀想象，邏輯推理的核心素養(yǎng).
教學(xué)主線
平面向量的運(yùn)算

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

6.2 平面向量的運(yùn)算

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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