(1)； (2) .
設(shè)a＝(2,4)，b＝(1,1)，若b⊥(a＋mb)，則實(shí)數(shù)m＝________.
3.已知向量a＝(2,1)，b＝(1，k)，且a與b的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )
A．(－2，＋∞) B．（-2，）∪ C．(－∞，－2) D．(－2,2)
4．已知向量a，b滿足|a|＝，b＝(1，－3)，且(2a＋b)⊥b.
(1)求向量a的坐標(biāo)． (2)求向量a與b的夾角．
二、鞏固提高
5．已知三個(gè)點(diǎn)A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
(1)求證：AB⊥AD；
(2)要使四邊形ABCD為矩形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)并求矩形ABCD兩對(duì)角線所成的銳角的余弦值.
6．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x軸上存在一點(diǎn)P使·有最小值，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________.
【選做】
7．已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則|＋3|的最小值為( )
A．3 B．5 C．7 D．8
三、尖子突破
8.如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若·＝，則·的值是________．
9.已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD為BC邊上的高，求||與點(diǎn)D的坐標(biāo).

例4 已知向量a＝(－2,1)，b＝(1，k)，且a與b的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【解析】當(dāng)a與b共線時(shí)，－2k－1＝0，k＝－，此時(shí)a與b方向相反，夾角為180°，
所以要使a與b的夾角為鈍角，則有a·b＜0 且a與b不反向．
由a·b＝－2＋k＜0得k＜2. 由a與b不反向得k≠－，所以k的取值范圍是∪(-,2).
2．設(shè)a＝(2,4)，b＝(1,1)，若b⊥(a＋mb)，則實(shí)數(shù)m＝________. 【答案】－3.
3.【解析】(1)當(dāng)a與b共線時(shí)，2k－1＝0，k＝，此時(shí)a，b方向相同，夾角為0°，所以要使a與b的夾角為銳角，則有a·b>0且a，b不同向．由a·b＝2＋k>0得k>－2，且k≠，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-2，）∪，選B.
4．【解析】(1)a＝(1,2)或a＝(－2,1)．(2)向量a與b的夾角θ＝.
5．已知三個(gè)點(diǎn)A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
(1)求證：AB⊥AD；
(2)要使四邊形ABCD為矩形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)并求矩形ABCD兩對(duì)角線所成的銳角的余弦值.
【解析】(1)∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，∴＝(1,1)，＝(－3,3)，
又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0 ∴⊥，即AB⊥AD.
(2)⊥，四邊形ABCD為矩形，∴＝.
設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)，
∴得∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(0,5)．
由于＝(－2,4)，＝(－4,2)，所以·＝8＋8＝16＞0，
||＝2，||＝2.設(shè)與夾角為θ，則
cs θ＝＝＝＞0，解得矩形的兩條對(duì)角線所成的銳角的余弦值為.
6．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x軸上存在一點(diǎn)P使·有最小值，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________.
【解析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x,0)，則＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，
所以·＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，當(dāng)x＝3時(shí)·取得最小值，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,0)． 【答案】(3,0)
【選做】7．已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則|＋3|的最小值為( )
A．3 B．5 C．7 D．8
【解析】以D為原點(diǎn)，DA，DC分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(2,0)，B(1，a)，C(0，a)，D(0,0)，設(shè)P(0，x)(0≤x≤a)，則＋3＝(2，－x)＋3(1，a－x)＝(5,3a4x)，
所以|＋3|＝≥5. 【答案】B
8.如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若·＝，則·的值是________．
【解析】(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸、AD為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則B(，0)，D(0,2)，C(，2)，E(，1)．
可設(shè)F(x,2)，因?yàn)椤ぃ?，0)·(x,2)＝x＝eq \r(2)，
所以x＝1，所以·＝(，1)·(1－，2)＝. 【答案】
9.已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD為BC邊上的高，求||與點(diǎn)D的坐標(biāo).
(2)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則＝(x－2，y＋1)，＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2)．
∵D在直線BC上，即與共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ，
即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)，∴ ∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.①
又∵AD⊥BC，∴·＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，②
即2x＋y－3＝0.由①②可得x=1,y=1.即D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，＝(－1,2)，
∴||＝＝，綜上，||＝，D(1,1)．
2024—2025學(xué)年下學(xué)期高一數(shù)學(xué)分層作業(yè)（11）
6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

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6.3 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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