高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修第二冊(cè)6.3 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示精練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

目標(biāo)導(dǎo)航
知識(shí)精講
知識(shí)點(diǎn) 平面向量基本定理
1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè) 向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的向量a，實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2．基底：若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi) 向量的一個(gè)基底．
【即學(xué)即練】（多選）下列結(jié)論正確的是（）
A．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為銳角，則 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 有兩解
C．向量 SKIPIF 1 < 0 能作為所在平面內(nèi)的一組基底
D．已知平面內(nèi)任意四點(diǎn)O，A，B，P滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則A，B，P三點(diǎn)共線
反思感悟平面向量基本定理的作用以及注意點(diǎn)
(1)根據(jù)平面向量基本定理可知，同一平面內(nèi)的任何一個(gè)基底都可以表示該平面內(nèi)的任意向量．用基底表示向量，實(shí)質(zhì)上是利用三角形法則或平行四邊形法則，進(jìn)行向量的線性運(yùn)算．
(2)基底的選取要靈活，必要時(shí)可以建立方程或方程組，通過方程或方程組求出要表示的向量．
能力拓展
考法01 平面向量基本定理的理解
【典例1】已知G是 SKIPIF 1 < 0 的重心，點(diǎn)D滿足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【變式訓(xùn)練】我國(guó)東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示．在“趙爽弦圖”中，已知 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
考法02 用基底表示向量
【典例2】如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【變式訓(xùn)練】《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬(wàn)象變化的古老經(jīng)典，其中八卦深邃的哲理解釋了自然、社會(huì)現(xiàn)象.如圖1所示的是八卦模型圖，其平面圖形 SKIPIF 1 < 0 圖 SKIPIF 1 < 0 中的正八邊形 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 為正八邊形的中心，則下列說法不正確的是（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 能構(gòu)成一組基底
考法03 平面向量基本定理的應(yīng)用
【典例3】在平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．6
【變式訓(xùn)練】銳角三角形ABC中，D為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），點(diǎn)O滿足 SKIPIF 1 < 0 ，且滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3D． SKIPIF 1 < 0
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1．在 SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在邊 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 .記 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．在四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B．3C． SKIPIF 1 < 0 D．2
3．如圖，已知 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．若向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 是平面上的兩個(gè)不平行向量，下列向量不能作為一組基的是（）
A． SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0
5．如果 SKIPIF 1 < 0 表示平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底，那么下列四組向量，不能作為一個(gè)基底的是（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（多選）已知 SKIPIF 1 < 0 是平面內(nèi)的一組基底，則下列說法中正確的是（）
A．若實(shí)數(shù)m，n使 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
B．平面內(nèi)任意一個(gè)向量 SKIPIF 1 < 0 都可以表示成 SKIPIF 1 < 0 ，其中m，n為實(shí)數(shù)
C．對(duì)于m， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不一定在該平面內(nèi)
D．對(duì)平面內(nèi)的某一個(gè)向量 SKIPIF 1 < 0 ，存在兩對(duì)以上實(shí)數(shù)m，n，使 SKIPIF 1 < 0
7．（多選）在下列向量組中，可以把向量 SKIPIF 1 < 0 表示出來(lái)的是（）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
8．（多選）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是兩個(gè)不共線的向量，且向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 共線，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的可能取值為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．4D．3
9．（多選）下列各組向量中，不能作為基底的是（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．在平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ________.
11．如果 SKIPIF 1 < 0 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量 SKIPIF 1 < 0 ，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使 SKIPIF 1 < 0 ＝________.我們把 SKIPIF 1 < 0 叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.
12．已知下列四個(gè)命題：
①若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ；
②設(shè) SKIPIF 1 < 0 是已知的平面向量，則給定向量 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，總存在實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ；
③第一象限角小于第二象限角；
④函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最小正周期為 SKIPIF 1 < 0 .
正確的有________.
題組B 能力提升練
1．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是不共線向量，則下列各組向量中，是共線向量的有（）
① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
③ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
2．若 SKIPIF 1 < 0 是平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下列四組向量能作為平面向量的基底的是（）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
3．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是平面內(nèi)的一組基底，則下面的四組向量中不能作為一組基底的是（）．
A． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
4．如果 SKIPIF 1 < 0 是平面內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是（）
A． SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0
5．在給出的下列命題中，錯(cuò)誤的是（）
A．設(shè) SKIPIF 1 < 0 是同一平面上的四個(gè)點(diǎn)，若 SKIPIF 1 < 0 ，則點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 必共線
B．若向量 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 上的兩個(gè)向量，則平面 SKIPIF 1 < 0 上的任一向量 SKIPIF 1 < 0 都可以表示為 SKIPIF 1 < 0 ，且表示方法是唯一的
C．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為等腰三角形
D．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形
6．（多選）設(shè) SKIPIF 1 < 0 是已知的平面向量，向量 SKIPIF 1 < 0 在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，下列說法正確的是（）
A．給定向量 SKIPIF 1 < 0 ，總存在向量 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ；
B．給定向量 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，總存在實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ；
C．給定單位向量 SKIPIF 1 < 0 和正數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，總存在單位向量 SKIPIF 1 < 0 和實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ；
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，存在單位向量 SKIPIF 1 < 0 和正實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
7．（多選）下列說法中正確的為（）
A．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為銳角，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 < 0
B．向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底
C．非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，滿足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 同向，則 SKIPIF 1 < 0
D．非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角為30°
8．（多選）下列命題正確的是（）
A． SKIPIF 1 < 0
B．已知向量 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的夾角是鈍角，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 < 0
C．若向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量為 SKIPIF 1 < 0
9．（多選）古代典籍《周易》中的“八卦”思想對(duì)我國(guó)建筑中有一定影響．下圖是受“八卦”的啟示，設(shè)計(jì)的正八邊形的八角窗，若 SKIPIF 1 < 0 是正八邊形 SKIPIF 1 < 0 的中心，且 SKIPIF 1 < 0 ，則（）
A． SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 能構(gòu)成一組基底B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．設(shè) SKIPIF 1 < 0 是兩個(gè)不共線的非零向量，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）證明： SKIPIF 1 < 0 可以作為一個(gè)基底；
（2）以 SKIPIF 1 < 0 為基底，求向量 SKIPIF 1 < 0 的分解式．
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 上靠近點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的三等分點(diǎn)，兩條直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 =（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．如圖， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．在平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 分別在邊 SKIPIF 1 < 0 ? SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，記 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)且 SKIPIF 1 < 0 ，E是邊BC的中點(diǎn)，直線AE和直線CD交于點(diǎn)F，若BF是 SKIPIF 1 < 0 的平分線，則 SKIPIF 1 < 0 （）
A．4B．3C．2D． SKIPIF 1 < 0
5．在平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是邊 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．在三角形ABC中，已知D，E分別為CA，CB上的點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，AE與BD交于O點(diǎn)，若 SKIPIF 1 < 0 ，則mn的值為___________.
7．如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)用向量 SKIPIF 1 < 0 分別表示 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)證明： SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)共線.
8．如圖，在梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 .
(1)試用 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 滿足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的值.
課程標(biāo)準(zhǔn)
課標(biāo)解讀
理解平面向量基本定理及其意義，了解向量基底的含義.
.掌握平面向量基本定理，會(huì)用基底表示平面向量.
會(huì)應(yīng)用平面向量基本定理解決有關(guān)平面向量的綜合問題．
1.在課本知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，加上初中階段對(duì)數(shù)軸的理解，以及物理知識(shí)中里的分解的知識(shí)，進(jìn)一步理解平面向量基本定理及其意義，了解向量基底的含義.
2.掌握平面向量基本定理，不僅僅局限在直角坐標(biāo)系，更應(yīng)該學(xué)會(huì)用基底表示平面向量.
3.在掌握基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)致用，會(huì)應(yīng)用平面向量基本定理解決有關(guān)平面向量的綜合問題．

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