第六章　6.2　6.2.2、3A組·素養(yǎng)自測一、選擇題1．已知向量a，b滿足a＋b＝(1,3)，a－b＝(3，－3)，則a，b的坐標分別為(　C　)A．(4,0)，(－2,6) B．(－2,6)，(4,0)C．(2,0)，(－1,3) D．(－1,3)，(2,0)[解析]　2a＝(a＋b)＋(a－b)＝(4,0)，于是a＝(2,0)，所以b＝(－1,3)．2．下列各式正確的是(　B　)A．若a＝(－2,4)，b＝(3,4)，則a－b＝(1,0)B．若a＝(5,2)，b＝(2,4)，則b－a＝(－3,2)C．若a＝(1,0)，b＝(0,1)，則a＋b＝(0,1)D．若a＝(1,1)，b＝(1，－2)，則a＋b＝(2,1)[解析]　選項A錯誤，a－b＝(－5,0)；選項B正確；選項C錯誤，a＋b＝(1,1)；選項D錯誤，a＋b＝(2，－1)．3．已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，則向量的坐標是(　C　)A． B．C．(－8,1) D．(8,1)[解析]　＝－＝(－5，－1)－(3，－2)＝(－8，1)．4．已知點A(0,1)，B(4,0)，向量＝(－2，－2)，則向量等于(　A　)A．(－6，－1) B．(6,1)C．(2，－1) D．(－2，－1)[解析]　設(shè)C(x，y)，則＝－＝(x，y－1)＝(－2，－2)，即x＝－2，y＝－1，故C(－2，－1)，則＝－＝(－6，－1)．5．(多選題)給出下面幾種說法，其中正確的是(　ABD　)A．相等向量的坐標相同B．平面上一個向量對應于平面上唯一的坐標C．一個坐標對應于唯一的一個向量D．平面上一個點與以原點為始點、該點為終點的向量一一對應[解析]　由向量坐標的定義不難看出一個坐標可對應無數(shù)個相等的向量，故③錯誤．二、填空題6．已知點A(1，－2)，若向量＝(6,9)，則點B的坐標為(7,7)__．[解析]　由＝(6,9)，所以＝＋＝(1，－2)＋(6,9)＝(7,7)．7．如圖，向量a，b，c的坐標分別是__(－4,0)__，__(0,6)__，__(－2，－5)__．[解析]　將各向量分別向基底i，j所在直線分解，則a＝－4i＋0·j，∴a＝(－4,0)，b＝0·i＋6j，∴b＝(0,6)，c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．8．在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若＝(2,4)，＝(1,3)，則＝__(－3，－5)__．[解析]　∵＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．三、解答題9．已知邊長為1的正方形ABCD中，AB與x軸正半軸成30°角．求點B和點D的坐標和與的坐標．[解析]　由題知B，D分別是30°角，120°角的終邊與單位圓的交點．設(shè)B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函數(shù)的定義，得x1＝cos 30°＝，y1＝sin 30°＝，所以B．x2＝cos 120°＝－，y2＝sin 120°＝，所以D．所以＝，＝．10．已知點O(0,0)，A(1,2)，B(1＋3t,2＋3t)，及＝＋，問t為何值時，(1)點P在x軸上？(2)點P在y軸上？(3)點P在第二象限？[解析]　由題意＝(1,2)＋(1＋3t,2＋3t)＝(2＋3t，4＋3t)．(1)當點P在x軸上時，4＋3t＝0，得t＝－．(2)當點P在y軸上時，2＋3t＝0，得t＝－．(3)當點P在第二象限時，解得－＜t＜－．B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，則向量a＋b(　C　)A．平行于x軸B．平行于第一、三象限的角平分線C．平行于y軸D．平行于第二、四象限的角平分線[解析]　a＋b＝(0,1＋x2)，與y軸平行．2．對于向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，定義m?n＝(x1x2，y1y2)．已知a＝(2，－4)，且a＋b＝a?b，那么向量b等于(　A　)A． B．C． D．[解析]　設(shè)b＝(x，y)，由新定義及a＋b＝a?b，可得(2＋x，y－4)＝(2x，－4y)，所以2＋x＝2x，y－4＝－4y，解得x＝2，y＝，所以向量b＝．3．已知四邊形ABCD的三個頂點A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝，則頂點D的坐標為(　A　)A．(4,5) B．(5，－4)C．(3,2) D．(1,3)[解析]　設(shè)D點坐標為(x，y)，則＝(4,3)，＝(x，y－2)，由＝，得∴∴D(4,5)．4．(多選題)在平面直角坐標系中，點A(2,3)，B(－3,4)，如圖所示，x軸、y軸同方向上的兩個單位向量分別為i和j，則下列說法正確的是(　AC　)A．＝2i＋3j B．＝3i＋4jC．＝－5i＋j D．＝5i＋j[解析]　A，C正確，＝－3i＋4j，故B錯，＝－＝2i＋3j－(－3i＋4j)＝5i－j．故D錯，故選AC．二、填空題5．已知O是坐標原點，點A在第二象限，||＝6，∠xOA＝150°，則向量的坐標為__(－3，3)__．[解析]　設(shè)點A(x，y)，則x＝||cos 150°＝6cos 150°＝－3，y＝||sin 150°＝6sin 150°＝3，即A(－3，3)，所以＝(－3，3)．6．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，關(guān)于坐標平面內(nèi)的任一向量a，給出下列四個結(jié)論：①存在唯一的一對實數(shù)x，y，使得a＝(x，y)；②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，則x1≠x2，且y1≠y2；③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，則a的起點是原點O；④若x，y∈R，a≠0，且a的終點坐標是(x，y)，則a＝(x，y)．其中，正確結(jié)論有__1__個．[解析]　由平面向量基本定理，可知①正確；例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②錯誤；因為向量可以平移，所以a＝(x，y)與a的起點是不是原點無關(guān)，故③錯誤；當a的終點坐標是(x，y)時，a＝(x，y)是以a的起點是原點為前提的，故④錯誤．三、解答題7．如圖所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，過點C作CE⊥AB于點E，用向量的方法證明：DE∥BC．[解析]　如圖，以E為原點，AB所在直線為x軸，EC所在直線為y軸建立直角坐標系，設(shè)||＝1，則||＝1，||＝2．因為CE⊥AB，而AD＝DC，所以四邊形AECD為正方形，所以可求得各點坐標分別為E(0,0)，B(1,0)，C(0，1)，D(－1,1)．因為＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，所以＝B，所以∥，即DE∥BC．8．已知點A(2,3)，B(5,4)，C(5λ＋2,7λ＋3)，若第四象限的點P滿足＝＋，求實數(shù)λ的取值范圍．[解析]　設(shè)P(x，y)，則＝(x－2，y－3)，又＝＋＝(3,1)＋(5λ，7λ)＝(3＋5λ，1＋7λ)，于是由＝＋，可得(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，所以即因為點P在第四象限，所以解得－1＜λ＜－．故所求實數(shù)λ的取值范圍是． 

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6.3 平面向量基本定理及坐標表示

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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