A 組·素養(yǎng)自測
一、選擇題
1．如圖，向量a－b等于( C )
A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
2．在△ABC中，eq \(AB,\s\up6(→))＝c，eq \(AC,\s\up6(→))＝b.若點D滿足eq \(BD,\s\up6(→))＝2eq \(DC,\s\up6(→))，則eq \(AD,\s\up6(→))＝( A )
A．eq \f(2,3)b＋eq \f(1,3)c B．eq \f(5,3)c－eq \f(2,3)b
C．eq \f(2,3)b－eq \f(1,3)c D．eq \f(1,3)b＋eq \f(2,3)c
[解析] 由eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝2(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→)))，
所以3eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(AC,\s\up6(→))＝c＋2b，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)c＋eq \f(2,3)b.
3．設(shè)點D為△ABC中BC邊上的中點，O為AD邊上靠近點A的三等分點，則( D )
A．eq \(BO,\s\up6(→))＝－eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))
B．eq \(BO,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))
C．eq \(BO,\s\up6(→))＝eq \f(5,6)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,6)eq \(AC,\s\up6(→))
D．eq \(BO,\s\up6(→))＝－eq \f(5,6)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(AC,\s\up6(→))
[解析] ∵D為BC的中點，∴eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，
又O為靠近A的三等分點，
∴eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，
∴eq \(BO,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(5,6)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(AC,\s\up6(→)).
4．如圖，已知E，F(xiàn)分別是矩形ABCD的邊BC，CD的中點，EF與AC交于點G，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，用a，b表示eq \(AG,\s\up6(→))＝( D )
A．eq \f(1,4)a＋eq \f(1,4)b B．eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b
C．eq \f(3,4)a－eq \f(1,4)b D．eq \f(3,4)a＋eq \f(3,4)b
[解析] 由平面幾何知識可得，eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))，又eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋b，所以eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)a＋eq \f(3,4)b.
5．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是BC中點，G為AC與DE的交點，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，則用a，b表示eq \(BG,\s\up6(→))＝( B )
A．eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b B．eq \f(2,3)b－eq \f(1,3)a
C．eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b D．eq \f(1,3)b－eq \f(2,3)a
[解析] 在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，
故△ADG∽△CEG，所以eq \f(AG,CG)＝eq \f(AD,CE)＝2，
即eq \(AG,\s\up6(→))＝2eq \(GC,\s\up6(→))， eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
故eq \(BG,\s\up6(→))＝eq \(AG,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)(a＋b)－a＝－eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b ，故選B．
二、填空題
6.如圖，平行四邊形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，M是DC的中點，以a、b為基底表示向量eq \(AM,\s\up6(→))＝ b＋eq \f(1,2)a .
[解析] eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DM,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝b＋eq \f(1,2)a.
7．設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋3b平行，則實數(shù)λ＝ eq \f(1,3) .
[解析] 依據(jù)平行向量基本定理列方程組求解．
∵λa＋b與a＋3b平行，
∴可設(shè)λa＋b＝t(a＋3b)，
即λa＋b＝ta＋3tb，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝t，,1＝3t，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(1,3)，,t＝\f(1,3).))
8．設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，則向量e1＋e2可以表示為以a，b為基向量的線性組合，即e1＋e2＝ eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b .
[解析] 設(shè)e1＋e2＝ma＋nb(m，n∈R)，
∵a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，
∴e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.
∵e1與e2不共線，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－n＝1，,2m＋n＝1，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(2,3)，,n＝－\f(1,3).))∴e1＋e2＝eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b.
三、解答題
9．(2023·山東濰坊期中)設(shè)e1，e2是平面內(nèi)不平行的非零向量，a＝e1＋e2，b＝e1－2e2.
(1)證明：a，b組成平面上向量的一組基底；
(2)請?zhí)骄渴欠翊嬖趯崝?shù)k，使得ke1＋e2和3e1＋ke2平行？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．
[解析] (1)證明：假設(shè)a，b共線，設(shè)a＝λb，
則e1＋e2＝λ(e1－2e2)＝λe1－2λe2，
因為e1，e2是平面內(nèi)不平行的非零向量，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝λ，,1＝－2λ，))無解，
所以a，b不共線，所以a，b組成平面上向量的一組基底．
(2)假設(shè)存在實數(shù)k，使得ke1＋e2和3e1＋ke2平行，
設(shè)ke1＋e2＝μ(3e1＋ke2)，則ke1＋e2＝3μe1＋μke2，
因為e1，e2是平面內(nèi)不平行的非零向量，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝3μ，,1＝μk，))解得k＝±eq \r(3)，
所以存在實數(shù)k，使得ke1＋e2和3e1＋ke2平行，k＝±eq \r(3).
10．(2023·安徽皖北)如圖所示，在?ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，BM＝eq \f(2,3)BC，AN＝eq \f(1,3)AB．
(1)試用向量a，b來表示eq \(DN,\s\up6(→))，eq \(AM,\s\up6(→))；
(2)若eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(3,8)eq \(OM,\s\up6(→))，求證：D，O，N三點共線．
[解析] (1)因為AN＝eq \f(1,3)AB，
所以eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)a，
所以eq \(DN,\s\up6(→))＝eq \(AN,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)a－b.
因為BM＝eq \f(2,3)BC，
所以eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)b，
所以eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→))＝a＋eq \f(2,3)b.
(2)證明：因為eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(3,8)eq \(OM,\s\up6(→))，所以eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(3,11)eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(3,11)(a＋eq \f(2,3)b)＝eq \f(3,11)a＋eq \f(2,11)b，
則eq \(DO,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(3,11)a＋eq \f(2,11)b－b＝eq \f(3,11)a－eq \f(9,11)b，
eq \(DN,\s\up6(→))＝eq \(AN,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)a－b，
所以eq \(DO,\s\up6(→))＝eq \f(9,11)eq \(DN,\s\up6(→))，即證D，O，N三點共線．
B 組·素養(yǎng)提升
一、選擇題
1．(多選題)如果e1、e2是平面α內(nèi)所有向量的一組基底，那么下列命題中錯誤的是( ABD )
A．已知實數(shù)λ1、λ2，則向量λ1e1＋λ2e2不一定在平面α內(nèi)
B．對平面α內(nèi)任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的實數(shù)λ1，λ2可以不唯一
C．若有實數(shù)λ1、λ2使λ1e1＝λ2e2，則λ1＝λ2＝0
D．對平面α內(nèi)任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的實數(shù)λ1、λ2不一定存在
[解析] 選項A中，由平面向量基本定理知λ1e1＋λ2e2與e1、e2共面，所以A項不正確；選項B中，實數(shù)λ1、λ2有且僅有一對，所以B項不正確；選項D中，實數(shù)λ1、λ2一定存在，所以D項不正確；很明顯C項正確．
2．向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則eq \f(λ,μ)＝( B )
A．2 B．4
C．5 D．7
[解析] 以如圖所示的兩互相垂直的單位向量e1，e2為基底，
則a＝－e1＋e2，b＝6e1＋2e2，c＝－e1－3e2，
因為c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，所以－e1－3e2＝λ(－e1＋e2)＋μ(6e1＋2e2)＝(－λ＋6μ)e1＋(λ＋2μ)e2，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－λ＋6μ＝－1，,λ＋2μ＝－3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－2，,μ＝－\f(1,2)，))所以eq \f(λ,μ)＝4.故選B．
3．(2023·山西大同)在△ABC中，D為BC中點，M為AD中點，eq \(BM,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AC,\s\up6(→))，則m＋n＝( A )
A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2)
C．1 D．－1
[解析] 因為D是BC的中點，所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)×(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→)).
又因為M是AD的中點，
所以，eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝－eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，
又eq \(BM,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AC,\s\up6(→))，所以m＝－eq \f(3,4)，n＝eq \f(1,4)，所以m＋n＝－eq \f(1,2).故選A．
二、填空題
4．已知O為△ABC內(nèi)一點，且eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝2eq \(AO,\s\up6(→))，且λeq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))，若B，O，D三點共線，則實數(shù)λ的值為_3__.
[解析] 設(shè)點E為邊BC的中點，則eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＝eq \(OE,\s\up6(→))，
由題意，得eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(OE,\s\up6(→))，
所以eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(λ,4)eq \(AD,\s\up6(→))，因此若B，O，D三點共線，則eq \f(1,4)＋eq \f(λ,4)＝1，即λ＝3.
5．如圖，經(jīng)過△OAB的重心G的直線與OA，OB分別交于點P，Q，設(shè)eq \(OP,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OQ,\s\up6(→))＝neq \(OB,\s\up6(→))，m，n∈R，則eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的值為_3__.
[解析] 解法一：設(shè)eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，由題意知eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)(a＋b)，eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \(OQ,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→))＝nb－ma，eq \(PG,\s\up6(→))＝eq \(OG,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－m))a＋eq \f(1,3)b，
由P，G，Q三點共線得，存在實數(shù)λ，使得eq \(PQ,\s\up6(→))＝λeq \(PG,\s\up6(→))，即nb－ma＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－m))a＋eq \f(1,3)λb，
從而eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－m＝λ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－m))，,n＝\f(1,3)λ，))消去λ，得eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝3.
解法二：由題意知eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))＝
eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)\(OP,\s\up6(→))＋\f(1,n)\(OQ,\s\up6(→))))＝eq \f(1,3m)eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \f(1,3n)eq \(OQ,\s\up6(→))，
又P，G，Q三點共線，由三點共線性質(zhì)定理可知eq \f(1,3m)＋eq \f(1,3n)＝1，即eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝3.
解法三：(特例)當(dāng)PQ∥AB時，m＝n＝eq \f(2,3)，∴eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝3.
三、解答題
6．設(shè)e1，e2是不共線的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)證明：a，b可以作為一組基底；
(2)以a，b為基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
[解析] (1)證明：若a，b共線，則存在λ∈R，使a＝λb，則e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共線，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝1，,3λ＝－2))?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝1，,λ＝－\f(2,3).))
∴λ不存在，故a與b不共線，可以作為一組基底．
(2)設(shè)c＝ma＋nb(m，n∈R)，
則3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋n＝3，,－2m＋3n＝－1))?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2，,n＝1.))∴c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＋μ＝4，,－2λ＋3μ＝－3))?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝3，,μ＝1.))
故所求λ，μ的值分別為3和1.
C 組·探索創(chuàng)新
如圖所示，在△ABC中，M是AB的中點，且eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，BN與CM相交于點E，設(shè)eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，試用基底{a，b}表示向量eq \(AE,\s\up6(→)).
[解析] 易得eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)b，eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a，
由N，E，B三點共線可知，存在實數(shù)m使eq \(AE,\s\up6(→))＝meq \(AN,\s\up6(→))＋(1－m)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)mb＋(1－m)a.
由C，E，M三點共線可知，存在實數(shù)n使eq \(AE,\s\up6(→))＝neq \(AM,\s\up6(→))＋(1－n)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)na＋(1－n)b.
所以eq \f(1,3)mb＋(1－m)a＝eq \f(1,2)na＋(1－n)b，由于{a，b}為基底，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m＝\f(1,2)n，,\f(1,3)m＝1－n，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(4,5)，))所以eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)a＋eq \f(1,5)b.

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

6.3 平面向量基本定理及坐標表示

版本： 人教A版 (2019)

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