A 組·素養(yǎng)自測(cè)
一、選擇題
1．已知點(diǎn)A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，則eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))等于( B )
A．－1 B．0
C．1 D．2
[解析] ∵eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,3)－(1,2)＝(1,1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2,5)－(1,2)＝(－3,3)，∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝1×(－3)＋1×3＝0.
2．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,0)，c＝a＋kb.若a⊥c，則k＝( B )
A．eq \f(10,3) B．－eq \f(10,3)
C．eq \f(\r(10),3) D．－eq \f(\r(10),3)
[解析] c＝(3＋k,1)，a·c＝0?3(3＋k)＋1＝0.
所以k＝－eq \f(10,3).
3．已知a＝(1，n)，b＝(－1，n)．若2a－b與b垂直，則|a|＝( C )
A．1 B．eq \r(2)
C．2 D．4
[解析] 由2a－b與b垂直，得(2a－b)·b＝0，
即2a·b－b2＝0.
故2(－1＋n2)－(1＋n2)＝0，解得n2＝3.
所以，|a|＝eq \r(1＋n2)＝eq \r(1＋3)＝2.
4．已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，且ka－b與a＋b的夾角為120°，則k等于( C )
A．－1＋eq \r(3) B．－1－eq \r(3)
C．－1±eq \r(3) D．1
[解析] ∵|ka－b|＝eq \r(k2＋?k＋2?2)，
|a＋b|＝eq \r(12＋?－1?2)＝eq \r(2)，
∴(ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)＝k－k－2＝－2，
又ka－b與a＋b的夾角為120°，
∴cs 120°＝eq \f(?ka－b?·?a＋b?,|ka－b||a＋b|)，
即－eq \f(1,2)＝eq \f(－2,\r(2)×\r(k2＋?k＋2?2))，
化簡(jiǎn)并整理，得k2＋2k－2＝0，解得k＝－1±eq \r(3).
5．(2023·浙江溫州)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb(t∈R)，若eq \f(a·c,|a|)＝eq \f(b·c,|b|)，則實(shí)數(shù)t＝( C )
A．－6 B．－5
C．5 D．6
[解析] a＝(3,4)，b＝(1,0)，
所以c＝a＋tb＝(3,4)＋t(1,0)＝(3＋t,4)，|a|＝eq \r(32＋42)＝5，|b|＝1，
因?yàn)閑q \f(a·c,|a|)＝eq \f(b·c,|b|)，
所以eq \f(3·?3＋t?＋4×4,5)＝eq \f(1·?3＋t?＋0×4,1)，解得t＝5.
故選C．
二、填空題
6．已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，則cs〈a，b〉＝ －eq \f(\r(2),10) .
[解析] ∵a＝(2,2)，b＝(－8,6)，
∴a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，
|a|＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)，|b|＝eq \r(?－8?2＋62)＝10.
∴cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－4,2\r(2)×10)＝－eq \f(\r(2),10).
7．(2023·云南昆明)已知向量a＝(1,3)，b＝(2，y)，(a＋b)⊥a，則a在b方向上的投影向量是_(－1,2)__.(用坐標(biāo)表示)
[解析] 由(a＋b)⊥a得(a＋b)·a＝a2＋a·b＝10＋2＋3y＝0，y＝－4，即b＝(2，－4)，
∴a·b＝2－12＝－10，又|b|＝eq \r(22＋?－4?2)＝2eq \r(5)，
∴a在b方向上的投影向量是eq \f(a·b,|b|)·eq \f(b,|b|)＝eq \f(－10,2\r(5))·eq \f(1,2\r(5))(2，－4)＝(－1,2)．
故答案為(－1,2)．
8．(2020·北京卷)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P滿足eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，則|eq \(PD,\s\up6(→))|＝ eq \r(5) ；eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))＝_－1__.
[解析] 以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD所在直線分別為x、y軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則點(diǎn)A(0,0)、B(2,0)、C(2,2)、D(0,2)，
eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(2,0)＋eq \f(1,2)(2,2)＝(2,1)，
則點(diǎn)P(2,1)，∴eq \(PD,\s\up6(→))＝(－2,1)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(0，－1)，
因此，|eq \(PD,\s\up6(→))|＝eq \r(?－2?2＋12)＝eq \r(5)，eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))＝0×(－2)＋1×(－1)＝－1.
三、解答題
9．(2023·山東濰坊)在如圖的方格紙(每個(gè)小方格邊長(zhǎng)為1)上有A，B，C三點(diǎn)，已知向量a以A為始點(diǎn)．
(1)試以B為始點(diǎn)畫出向量b，使b·a＝2，且|b|＝eq \r(2)，并求向量b的坐標(biāo)；
(2)在(1)的條件下，求(a＋b)·eq \(BC,\s\up6(→)).
[解析] (1)向量b滿足b·a＝2，且|b|＝eq \r(2)，則如圖，這兩個(gè)向量均滿足題意，證明如下：
向量a＝(2,0)，b＝(x，y)，則2x＝2，得x＝1，
因?yàn)閨b|＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(2)，解得y＝±1，所以b＝(1，±1)．
(2)若b＝(1,1)，a＋b＝(3,1)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(3，－1)，所以(a＋b)·eq \(BC,\s\up6(→))＝3×3＋1×(－1)＝8.
若b＝(1，－1)，a＋b＝(3，－1)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(3，－1)．
所以(a＋b)·eq \(BC,\s\up6(→))＝3×3＋(－1)×(－1)＝10.
10．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，求|eq \(PA,\s\up6(→))＋3eq \(PB,\s\up6(→))|的最小值．
[解析] 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)DC＝h，則A(2,0)，B(1，h)，設(shè)P(0，y)，(0≤y≤h)，則eq \(PA,\s\up6(→))＝(2，－y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(1，h－y)，
則eq \(PA,\s\up6(→))＋3eq \(PB,\s\up6(→))＝(5,3h－4y)，
所以|eq \(PA,\s\up6(→))＋3eq \(PB,\s\up6(→))|＝eq \r(25＋?3h－4y?2)≥eq \r(25)＝5，當(dāng)且僅當(dāng)3h＝4y，即DP＝eq \f(3,4)DC時(shí)，等號(hào)成立，故|eq \(PA,\s\up6(→))＋3eq \(PB,\s\up6(→))|的最小值為5.
B 組·素養(yǎng)提升
一、選擇題
1．已知向量a＝(5,12)，b＝(2,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，則t＝( C )
A．－eq \f(11,2) B．－eq \f(13,2)
C．eq \f(13,2) D．eq \f(11,2)
[解析] 因?yàn)閍＝(5,12)，b＝(2,0)，c＝a＋tb，
則c＝(5,12)＋t(2,0)＝(5＋2t,12)，
所以a·c＝5(5＋2t)＋122，b·c＝2(5＋2t)，|a|＝eq \r(52＋122)＝13，|b|＝2，
|c|＝eq \r(?5＋2t?2＋122)≠0，
因?yàn)椤碼，c〉＝〈b，c〉，所以cs 〈a，c〉＝cs 〈b，c〉，
所以eq \f(a·c,|a||c|)＝eq \f(b·c,|b||c|)，即eq \f(5?5＋2t?＋122,13|c|)＝eq \f(2?5＋2t?,2|c|)，解得t＝eq \f(13,2).
故選C．
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c滿足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，則c＝( D )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,9)，\f(7,3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,3)，－\f(7,9)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,3)，\f(7,9))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,9)，－\f(7,3)))
[解析] 不妨設(shè)c＝(m，n)，則a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，對(duì)于(c＋a)∥b，則有－3(1＋m)＝2(2＋n)．又c⊥(a＋b)，則有3m－n＝0，∴m＝－eq \f(7,9)，n＝－eq \f(7,3)，故選D．
3．(2023·湖南長(zhǎng)沙)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1,3)，則向量a在b方向上的投影向量為( C )
A．eq \f(1,\r(10))b B．－eq \f(1,\r(10))b
C．eq \f(1,10)b D．－eq \f(1,10)b
[解析] 因?yàn)橄蛄縜＝(2,1)，b＝(－1,3)，
所以向量a在b方向上的投影向量為eq \f(a·b,|b|)·eq \f(b,|b|)＝eq \f(－2＋3,1＋9)b＝eq \f(1,10)b，故選C．
二、填空題
4．已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，則
(1)與2a＋b同向的單位向量的坐標(biāo)表示為 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(10),10)，\f(\r(10),10))) ；
(2)向量b－3a與向量a夾角的余弦值為 －eq \f(2\r(5),5) .
[解析] (1)∵2a＋b＝(3,1)，
∴|2a＋b|＝eq \r(32＋12)＝eq \r(10).
∴與2a＋b同向的單位向量的坐標(biāo)表示為eq \f(2a＋b,|2a＋b|)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(10),10)，\f(\r(10),10))).
(2)∵b－3a＝(－2,1)，∴|b－3a|＝eq \r(5)，|a|＝1，
(b－3a)·a＝(－2,1)·(1,0)，＝－2，
∴cs＝eq \f(?b－3a?·a,|b－3a||a|)＝eq \f(－2,\r(5))＝eq \f(－2\r(5),5).
5．已知點(diǎn)A(0,2)，B(2,3)，C(3,3)，D(6,7)，則eq \(AB,\s\up6(→))在eq \(CD,\s\up6(→))上的投影向量為 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，\f(8,5))) .(用坐標(biāo)表示)
[解析] eq \(AB,\s\up6(→))在eq \(CD,\s\up6(→))上的投影向量為|eq \(AB,\s\up6(→))|cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉e，其中e＝eq \f(\(CD,\s\up6(→)),|\(CD,\s\up6(→))|)為與eq \(CD,\s\up6(→))同向的單位向量，
則|eq \(AB,\s\up6(→))|cs 〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉e＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(CD,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|·|\(CD,\s\up6(→))|)·eq \f(\(CD,\s\up6(→)),|\(CD,\s\up6(→))|)＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(CD,\s\up6(→)),|\(CD,\s\up6(→))|2)·eq \(CD,\s\up6(→)).
又eq \(AB,\s\up6(→))＝(2,1)，eq \(CD,\s\up6(→))＝(3,4)，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝10，|eq \(CD,\s\up6(→))|2＝25，
則eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(CD,\s\up6(→)),|\(CD,\s\up6(→))|2)·eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(2,5)eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，\f(8,5))).
故答案為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，\f(8,5))).
三、解答題
6．已知a，b，c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2eq \r(5)，且c∥a，求c的坐標(biāo)；
(2)若|b|＝eq \f(\r(5),2)，且a＋2b與2a－b垂直，求a與b的夾角θ.
[解析] (1)設(shè)c＝(x，y)，∵|c|＝2eq \r(5)，
∴eq \r(x2＋y2)＝2eq \r(5)，
∴x2＋y2＝20.
由c∥a和|c|＝2eq \r(5)，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1·y－2·x＝0，,x2＋y2＝20，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝－4.))
故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，
即2a2＋3a·b－2b2＝0，
∴2×5＋3a·b－2×eq \f(5,4)＝0，整理得a·b＝－eq \f(5,2)，
∴cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝－1.
又θ∈[0，π]，∴θ＝π.
C 組·探索創(chuàng)新
已知eq \(OP,\s\up6(→))＝(2,1)，eq \(OA,\s\up6(→))＝(1,7)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(5,1)，設(shè)C是直線OP上的一點(diǎn)(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))．
(1)求eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))取得最小值時(shí)eq \(OC,\s\up6(→))的坐標(biāo)；
(2)對(duì)(1)中求出的點(diǎn)C，求cs∠ACB．
[解析] (1)∵點(diǎn)C是直線OP上的一點(diǎn)，
∴向量eq \(OC,\s\up6(→))與eq \(OP,\s\up6(→))共線，
設(shè)eq \(OC,\s\up6(→))＝teq \(OP,\s\up6(→))(t∈R)，因?yàn)閑q \(OC,\s\up6(→))＝(2t，t)．
∵eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝(1－2t,7－t)，
eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝(5－2t,1－t)，
∴eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)
＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8，
當(dāng)t＝2時(shí)，eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))取得最小值，此時(shí)eq \(OC,\s\up6(→))＝(4,2)．
(2)當(dāng)eq \(OC,\s\up6(→))＝(4,2)時(shí)，eq \(CA,\s\up6(→))＝(－3,5)，eq \(CB,\s\up6(→))＝(1，－1)，
∴|eq \(CA,\s\up6(→))|＝eq \r(34)，|eq \(CB,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝－8.
∴cs∠ACB＝eq \f(\(CA,\s\up6(→))·\(CB,\s\up6(→)),|\(CA,\s\up6(→))||\(CB,\s\up6(→))|)＝－eq \f(4\r(17),17).

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6.3 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

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