本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)》人教A版（2019）第六章《平面向量及其應(yīng)用》的第三節(jié)《平面向量基本定理及坐標(biāo)表示》。以下是本節(jié)的課時(shí)安排：
利用平面向量的坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合平面向量與平面向量數(shù)量積的關(guān)系來(lái)推導(dǎo)出平面向量數(shù)量積以及向量的模、向量的夾角的坐標(biāo)表示。
1.能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；
2.會(huì)用坐標(biāo)表示兩個(gè)平面向量的夾角，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)；
3.能用坐標(biāo)表示平面向量垂直的條件，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。
1.重點(diǎn)：掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算
2.難點(diǎn)：會(huì)運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解向量垂直、夾角等相關(guān)問(wèn)題。
（一）新知導(dǎo)入
1. 創(chuàng)設(shè)情境，生成問(wèn)題
“我知道我一直有雙隱形的翅膀，帶我飛飛過(guò)絕望，不去想他們擁有美麗的太陽(yáng)，我看見(jiàn)每天的夕陽(yáng)也會(huì)有變化，我知道我一直有雙隱形的翅膀，帶我飛給我希望……”如果能為平面向量的數(shù)量積插上“翅膀”，它又能飛多遠(yuǎn)呢？本節(jié)講解平面向量數(shù)量積的“翅膀”——坐標(biāo)表示，它能使平面向量的數(shù)量積同時(shí)具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，從而可以使幾何問(wèn)題數(shù)量化，把“定性”研究推向“定量”研究.
2.探索交流，解決問(wèn)題
【思考1】在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)i，j分別是x軸和y軸方向上的單位向量，a＝(3，2)，b＝(2，1)，則a·b的值為多少？
【提示】由題意知，a＝3i＋2j，b＝2i＋j，則a·b＝(3i＋2j)·(2i＋j)＝6i2＋7i·j＋2j2.
由于i2＝i·i＝1，j2＝j(luò)·j＝1，i·j＝0，故a·b＝8.
【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)復(fù)習(xí)向量的坐標(biāo)表示、數(shù)量積的運(yùn)算引入本節(jié)新課。建立知識(shí)間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括、類(lèi)比推理的能力。
（二）數(shù)量積的坐標(biāo)表示
【探究1】通過(guò)對(duì)平面向量的數(shù)量積及向量線性坐標(biāo)運(yùn)算的學(xué)習(xí)，能否已根據(jù)兩個(gè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，用a和b的坐標(biāo)表示a·b ?
【提示】記a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
∴a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j
∴a·b＝(x1i＋y1j)(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y1j2＝x1x2＋y1y2
【探究2】若a＝（x，y），如何計(jì)算向量的模|a| ？
【提示】|a|=
【探究3】若點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），如何計(jì)算向量的模？
【提示】 （兩點(diǎn)間的距離公式）
【探究4】已知兩個(gè)非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），怎樣用坐標(biāo)表示a⊥b ？
【提示】設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0
【探究5】已知兩個(gè)非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），怎樣用坐標(biāo)表示a， b的夾角呢？
【提示】設(shè)θ是a與b的夾角，則cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示：
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2．即兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和．
平面向量的模與夾角的坐標(biāo)表示：
(1)向量的模長(zhǎng)公式：若a＝(x，y)，則|a|＝eq \r(x2＋y2)．
（2）兩點(diǎn)間的距離公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).
(3)向量的夾角公式：設(shè)a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a與b的夾角，則cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)))．
(4)兩個(gè)向量垂直的充要條件：設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0．
注意區(qū)分兩向量平行與垂直的坐標(biāo)形式，
二者不能混淆，可以對(duì)比學(xué)習(xí)、記憶.
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
則a∥b?x1y2－x2y1＝0，a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
【做一做】1.已知a＝(－1，3)，b＝(2，4)，則a·b的值是________.
解析：a·b＝(－1)×2＋3×4＝10.
答案：10
2.已知a＝(2，－1)，b＝(1，x)，且a⊥b，則x＝________.
解析：由題意知a·b＝2×1＋(－1)×x＝0，得x＝2.
答案：2
3.已知向量a＝(4，－1)，b＝(x，3)，若|a|＝|b|，則x＝________.
解析：由|a|＝|b|得eq \r(42＋（－1）2)＝eq \r(x2＋32)，解得x＝±2eq \r(2).
答案：±2eq \r(2)
4.已知a＝(eq \r(3)，1)，b＝(－eq \r(3)，1)，則向量a，b的夾角θ＝______.
答案：120°
【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)探究讓學(xué)生理解數(shù)量積的坐標(biāo)表示，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。
（三）典型例題
1.數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算
例1. （1）已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，則(a＋2b)·(a－3b)＝( )
A.10 B.－10 C.3 D.－3
（2）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，點(diǎn)M，N分別在DC，BC上，且DM＝eq \f(1,2)MC，BN＝eq \f(1,2)BC，則eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))＝________.
解析：（1） a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.
（2）法一：eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))＝(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)))＝0＋eq \f(1,2)·22＋eq \f(1,3)·32＋eq \f(1,3)·0＝5.
法二：以A為原點(diǎn)，AB，AD分別為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，M(1,2)，N(3,1)，于是eq \(AM,\s\up6(→))＝(1,2)，eq \(AN,\s\up6(→))＝(3,1)，故eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))＝5.
答案：（1）B （2）5
【類(lèi)題通法】數(shù)量積運(yùn)算的途徑及注意點(diǎn)
(1)進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算，前提是牢記有關(guān)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)．解題時(shí)通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標(biāo)表示，直接進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算；二是先利用數(shù)量積的運(yùn)算律將原式展開(kāi)，再依據(jù)已知計(jì)算．
(2)對(duì)于以圖形為背景的向量數(shù)量積運(yùn)算的題目，只需把握?qǐng)D形的特征，建立平面直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)即可求解．
（3）進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算時(shí)，要正確使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能靈活運(yùn)用以下幾個(gè)關(guān)系：
①|(zhì)a|2＝a·a；②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
【鞏固練習(xí)1】（1）設(shè)向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3，4)，向量c＝(3，2)，則向量(a＋2b)·c＝( )
A．(－15，12) B．0 C．－3 D．－11
（2）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AD上，eq \(AF,\s\up6(→))＝2eq \(FD,\s\up6(→))，則eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(CF,\s\up6(→))＝________．
解析：（1）依題意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，
所以(a＋2b)·c＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3.
（2）建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則A(0，2)，E(2，1)，D(2，2)，B(0，0)，C(2，0)，
因?yàn)閑q \(AF,\s\up6(→))＝2eq \(FD,\s\up6(→))，所以F(eq \f(4,3)，2)．
所以eq \(BE,\s\up6(→))＝(2，1)，eq \(CF,\s\up6(→))＝(eq \f(4,3)，2)－(2，0)＝(－eq \f(2,3)，2)，
所以eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(CF,\s\up6(→))＝(2，1)·(－eq \f(2,3)，2)＝2×(－eq \f(2,3))＋1×2＝eq \f(2,3).
答案：（1）C （2）eq \f(2,3)
2.求向量的模
例2.(1)設(shè)平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b則|3a＋b|等于( )
A.eq \r(5) B.eq \r(6) C.eq \r(17) D.eq \r(26)
(2)已知|a|＝2eq \r(13)，b＝(2，－3)，若a⊥b，求a＋b的坐標(biāo)及|a＋b|.
解析：(1)選A.因?yàn)閍∥b，所以1×y－2×(－2)＝0，
解得y＝－4，從而3a＋b＝(1，2)，|3a＋b|＝eq \r(5).
(2)設(shè)a＝(x，y)，則由|a|＝2eq \r(13)，得x2＋y2＝52.①
由a⊥b，解得2x－3y＝0.②
聯(lián)立①②，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝6，,y＝4))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－6，,y＝－4.))
所以 a＝(6，4)或a＝(－6，－4)．
所以a＋b＝(8，1)或a＋b＝(－4，－7)，
所以|a＋b|＝eq \r(65).
【類(lèi)題通法】求向量的模的兩種基本策略
(1)利用|a|2＝a2，將向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量與向量的數(shù)量積的問(wèn)題．
(2)若a＝(x，y)，則a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝ eq \r(x2＋y2).
【鞏固練習(xí)2】已知點(diǎn)A(0，1)，B(1，－2)，向量eq \(AC,\s\up6(→))＝(4，－1)，則|eq \(BC,\s\up6(→))|＝________．
解析：設(shè)C(x，y)，因?yàn)辄c(diǎn)A(0，1)，向量eq \(AC,\s\up6(→))＝(4，－1)，所以eq \(AC,\s\up6(→))＝(x，y－1)＝(4，－1)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y－1＝－1，))解得x＝4，y＝0，所以C(4，0)，
所以eq \(BC,\s\up6(→))＝(3，2)，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(9＋4)＝eq \r(13).
答案：eq \r(13)
3.求向量的夾角
例3.已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1，0)，e2＝(0，1).
(1)試計(jì)算a·b及|a＋b|的值；
(2)求向量a與b夾角的余弦值.
解：(1)a＝e1－e2＝(1，0)－(0，1)＝(1，－1)，
b＝4e1＋3e2＝4(1，0)＋3(0，1)＝(4，3)，
∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，
|a＋b|＝eq \r(（4＋1）2＋（3－1）2)＝eq \r(25＋4)＝eq \r(29).
(2)設(shè)a，b的夾角為θ，由a·b＝|a||b|cs θ，
∴cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(1,\r(2)×5)＝eq \f(\r(2),10).
【類(lèi)題通法】應(yīng)用向量的夾角公式求夾角時(shí)，應(yīng)先分別求出兩個(gè)向量的模，再求出它們的數(shù)量積，最后代入公式求出夾角的余弦值，進(jìn)而求出夾角.
【鞏固練習(xí)3】已知向量a＝(1，eq \r(3))，b＝(3，m)．若向量a，b的夾角為eq \f(π,6)，則實(shí)數(shù)m＝( )
A．2eq \r(3) B.eq \r(3) C．0 D．－eq \r(3)
解析：因?yàn)閍＝(1，eq \r(3))，b＝(3，m)．
所以|a|＝2，|b|＝eq \r(9＋m2)，a·b＝3＋eq \r(3)m，
又a，b的夾角為eq \f(π,6)，所以eq \f(a·b,|a|·|b|)＝cs eq \f(π,6)，即eq \f(3＋\r(3)m,2\r(9＋m2))＝eq \f(\r(3),2)，
所以eq \r(3)＋m＝eq \r(9＋m2)，解得m＝eq \r(3).
答案：eq \r(3)
4.向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算
例4. 已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3，2)，C(－3，－1)，AD為BC邊上的高，求|eq \(AD,\s\up6(→))|與點(diǎn)D的坐標(biāo).
解：設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則eq \(AD,\s\up6(→))＝(x－2，y＋1)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－6，－3)，eq \(BD,\s\up6(→))＝(x－3，y－2).
∵D在直線BC上，即eq \(BD,\s\up6(→))與eq \(BC,\s\up6(→))共線，∴－6(y－2)＋3(x－3)＝0，即x－2y＋1＝0.①
又∵AD⊥BC，∴eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.即2x＋y－3＝0.②
由①②可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))∴|eq \(AD,\s\up6(→))|＝eq \r(（1－2）2＋（1＋1）2)＝eq \r(5)，
即|eq \(AD,\s\up6(→))|＝eq \r(5)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，1).
【類(lèi)題通法】將題目中的隱含條件挖掘出來(lái)，然后坐標(biāo)化，運(yùn)用方程的思想進(jìn)行求解是解向量題常用的方法.
【鞏固練習(xí)4】已知a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq \(OA,\s\up6(→))＝a－b，eq \(OB,\s\up6(→))＝a＋b，若△AOB是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求向量b.
解：設(shè)向量b＝(x，y).根據(jù)題意，得eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|.
∴(a－b)·(a＋b)＝0，|a－b|＝|a＋b|，∴|a|＝|b|，a·b＝0.
又∵a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，即eq \b\lc\((\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝1，,－\f(1,2)x＋\f(\r(3),2)y＝0.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(3),2)，,y＝\f(1,2)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(\r(3),2)，,y＝－\f(1,2).))
∴b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))或b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2))).
（四）操作演練 素養(yǎng)提升
1.若向量a＝(x，2)，b＝(－1，3)，a·b＝3，則x＝( )
A.3 B.－3 C.eq \f(5,3) D.－eq \f(5,3)
解析：a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.
答案：A
2.已知a＝(－eq \r(3)，－1)，b＝(1，eq \r(3))，那么a，b的夾角θ＝( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
解析：cs θ＝eq \f(－\r(3)－\r(3),2×2)＝－eq \f(\r(3),2)，又因?yàn)棣取蔥0，π]，所以θ＝eq \f(5π,6).
答案：D
3.已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b與b垂直，則|a|等于( )
A.1 B.eq \r(2) C.2 D.4
解析：∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，∴n＝±eq \r(3).
∴|a|＝eq \r(12＋n2)＝2.
答案：C
4.已知向量b與向量a＝(1，－2)的夾角是180°，且|b|＝3eq \r(5)，則b＝( )
A.(－3，6) B.(3，－6)
C.(6，－3) D.(－6，3)
解析：由題意，設(shè)b＝λa＝(λ，－2λ)(λ

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

6.3 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

版本： 人教A版 (2019)

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