本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第一冊》人教A版（2019）第六章《平面向量及其應(yīng)用》的第三節(jié)《平面向量基本定理及坐標(biāo)表示》。以下是本節(jié)的課時安排：
前面學(xué)習(xí)了向量的坐標(biāo)表示，實際是向量的代數(shù)表示，在引入了向量的坐標(biāo)表示后可使向量完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來，這就可以使很多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的數(shù)量運算，學(xué)習(xí)這一節(jié)后后面平面向量數(shù)乘的坐標(biāo)運算和數(shù)量積的坐標(biāo)運算打下基礎(chǔ)。
掌握兩個向量和、差的坐標(biāo)運算法則，提升數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。
1.重點：平面向量加、減的坐標(biāo)運算
2.難點：平面向量加、減的坐標(biāo)運算的應(yīng)用。
（一）新知導(dǎo)入
“三坐標(biāo)雷達”亦稱一維電掃描雷達，可獲得目標(biāo)的距離、方向和高度信息，比其他二坐標(biāo)雷達(僅提供方位和距離信息的雷達)多提供了一維高度信息.這使其成為對飛機引導(dǎo)作戰(zhàn)的關(guān)鍵設(shè)備.此類雷達主要用于引導(dǎo)飛機進行截?fù)糇鲬?zhàn)和給武器系統(tǒng)提供目標(biāo)指示數(shù)據(jù)，正如向量，也可以利用平面或空間中的坐標(biāo)來表示.平面向量的坐標(biāo)有何運算規(guī)律呢？
【思考】已知作用在坐標(biāo)原點的三個力分別是F1=（3,4），F(xiàn)2=（3,1），F(xiàn)3=（2，-5），這個力的合力坐標(biāo)是多少？
【設(shè)計意圖】從物理知識引入本課，從而理解向量加法。
（二）平面向量的加減運算的坐標(biāo)表示
【探究1】設(shè)i、j是與x軸、y軸同向的兩個單位向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根據(jù)向量的線性運算性質(zhì)，向量a＋b，a－b，如何分別用基底i、j表示？
[提示] a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j.
【探究2】已知點A(x1,y1),B(x2,y2),那么向量的坐標(biāo)是什么?一般地,一個任意向量的坐標(biāo)如何計算?
【提示】 =(x2-x1,y2-y1),任意一個向量的坐標(biāo)等于表示該向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去始點坐標(biāo).
平面向量的坐標(biāo)運算法則：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
【做一做】1.已知A(3，1)，B(2，－1)，則eq \(BA,\s\up6(→))的坐標(biāo)是( )
A．(－2，－1) B．(2，1) C．(1，2) D．(－1，－2)
答案：C
2.設(shè)i＝(1，0)，j＝(0，1)，a＝3i＋4j，b＝－i＋j，則a＋b與a－b的坐標(biāo)分別為____________．
答案：(2，5)，(4，3)
【設(shè)計意圖】通過探究讓學(xué)生理解向量加法減法的坐標(biāo)運算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。
（三）典型例題
1.向量加法運算的坐標(biāo)表示
例1.設(shè)向量a、b的坐標(biāo)分別是(－1,2)，(3，－5)，則a＋b＝______。
解析：a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(－1＋3,2－5)＝(2，－3)。
【類題通法】向量加法運算的坐標(biāo)表示主要是利用加法運算法則進行。
【鞏固練習(xí)1】若向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,2)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(3,4)，則eq \(AC,\s\up6(→))＝( )
A．(4,6) B．(－4，－6) C．(－2，－2) D．(2,2)
解析：eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．
答案：A
2.向量減法運算的坐標(biāo)表示
例2.已知平面上三個點A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)，求eq \(AB,\s\up6(→))、eq \(AC,\s\up6(→))、eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)).
解析：∵A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)；
eq \(AC,\s\up6(→))＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)；
eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)．
【類題通法】向量減法運算的坐標(biāo)表示主要是利用減法運算法則進行。
【鞏固練習(xí)2】（1）設(shè)平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，則a－b等于( )
(5,4) B．(－5，－4) C．(1,6) D．(1,3)
（2）已知M(2,3)、N(3,1)，則eq \(NM,\s\up6(→))的坐標(biāo)是( )
A．(2，－1) B．(－1,2) C．(－2,1) D．(1，－2)
解析：（1）a－b＝(3,5)－(－2,1)＝(5,4)．
（2）eq \(NM,\s\up6(→))＝(2,3)－(3,1)＝(－1,2)．
3.向量坐標(biāo)運算的綜合應(yīng)用
例3. 已知點O(0,0)，A(1，t)，B(4t,5)及eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，試求t為何值時：
(1)點P在x軸上；(2)點P在y軸上；(3)點P在第四象限．
解析：設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)，則eq \(OP,\s\up6(→))＝(x，y)，
∵eq \(AB,\s\up6(→))＝(4t,5)－(1，t)＝(4t－1,5－t)，
∴eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，t)－(4t－1,5－t)＝(2－4t,2t－5)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2－4t，,y＝2t－5.))
(1)若點P在x軸上，則y＝2t－5＝0，t＝eq \f(5,2)；
(2)若點P在y軸上，則x＝2－4t＝0，t＝eq \f(1,2)；
(3)若點P在第四象限，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－4t>0，,2t－5

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

6.3 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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