19.2.3  一次函數(shù)與方程、不等式一、教學(xué)目標(biāo)【知識與技能】1.使學(xué)生理解并掌握一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式的相互聯(lián)系.2.使學(xué)生能初步運(yùn)用函數(shù)的圖象來解釋一元一次方程、一元一次不等式的解集,并能通過函數(shù)圖象來回答一元一次方程、一元一次不等式的解集.3.使學(xué)生理解二元一次方程組的解是兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo),并能通過圖象法來求二元一次方程組的解.【過程與方法】通過對一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式關(guān)系的探究,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識事物部分與整體的辯證統(tǒng)一關(guān)系,發(fā)展學(xué)生的辯證思維能力.【情感態(tài)度與價(jià)值觀】在探究活動(dòng)中,讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識的融會貫通,發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美,以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和克服困難的信心.二、         課型新授課三、課時(shí)1課時(shí)四、教學(xué)重難點(diǎn)【教學(xué)重點(diǎn)】 1.理解一次方程、一元一次不等式與一次函數(shù)的轉(zhuǎn)化關(guān)系及本質(zhì)聯(lián)系.2.掌握用圖象求解方程、不等式的方法.【教學(xué)難點(diǎn)】 根據(jù)一次函數(shù)的圖象求解方程和不等式.五、課前準(zhǔn)備 教師：課件、三角尺、直尺等.學(xué)生：三角尺、鉛筆、練習(xí)本.六、教學(xué)過程（一）導(dǎo)入新課（出示課件2）今天數(shù)學(xué)王國搞了個(gè)家庭聚會，各個(gè)成員按照自己所在的集合就坐，這時(shí) “x+y=5” 來了.想一想：“x+y=5”屬于二元一次方程還是一次函數(shù)呢？下面我們開始今天的學(xué)習(xí)。（二）探索新知1.出示課件4-6，探究一次函數(shù)與一元一次方程教師問：我們先來看下面兩個(gè)問題：（1）解方程2x+20=0.（2）當(dāng)自變量x為何值時(shí)函數(shù)y=2x+20的值為0？教師追問：對于2x+20=0和y=2x+20，從形式上看，有什么相同和不同？學(xué)生答：2x+20=0是一元一次方程，y=2x+20是一次函數(shù). 教師問：從問題本質(zhì)上看，（1）和（2）有什么關(guān)系？師生一起解答：問題(1)解方程2x+20=0， 得x=-10. 問題(2)就是要考慮當(dāng)函數(shù)y=2x+20的值為（0）時(shí)，所對應(yīng)的（自變量x）為何值？實(shí)質(zhì)上這可以通過解方程2x+20=0,得出x=-10.因此，這兩個(gè)問題實(shí)際上是同一個(gè)問題.教師問：從圖象上看：請作出函數(shù)y=2x+20的圖象. 學(xué)生答：作圖如下：
教師問：函數(shù)圖象哪一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)表示函數(shù)值為0?學(xué)生答：與x軸的交點(diǎn)(-10,0).教師問：方程2x+20=0的解是多少？學(xué)生答：x=-10.教師問：有上面的問題可以得到什么呢？學(xué)生答：即當(dāng)x=-10時(shí)，函數(shù)y=2x+20的值為0，這說明方程2x+20=0的解是x=-10.方程的解是函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).教師問：由上面兩個(gè)問題的關(guān)系，能進(jìn)一步得到解方程ax+b=0（a， b為常數(shù)）與求自變量x為何值時(shí)，一次函數(shù)y=ax+b的值為0有什么關(guān)系？師生一起解答：由上面問題可以得到,一元一次方程的求解與解相應(yīng)的一次函數(shù)問題相一致.由于任何一個(gè)一元一次方程都可轉(zhuǎn)化ax+b=0(a,b為常數(shù),a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)值y為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量x的值.從圖象上看,這相當(dāng)于已知直線y=ax+b,確定它與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值.總結(jié)點(diǎn)撥：（出示課件7）一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系從數(shù)的角度看   從形的角度看
  出示課件8，學(xué)生自主練習(xí)后口答，教師訂正.考點(diǎn)1：利用一次函數(shù)、方程及圖象解答問題一個(gè)物體現(xiàn)在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再過幾秒它的速度為17米/秒？(從方程、函數(shù)解析式及圖象三個(gè)不同方面進(jìn)行解答) （出示課件9）師生共同討論解答如下：學(xué)生1解答：解：設(shè)再過x秒它的速度為17米/秒，由題意得2x+5=17, 解得x=6.答：再過6秒它的速度為17米/秒.學(xué)生2解答：解：速度y（單位：米/秒）是時(shí)間x（單位：秒）的函數(shù)y=2x+5.由2x+5=17,得 2x－12=0.由圖看出直線y=2x－12與x軸的交點(diǎn)為（6，0），得x=6.
學(xué)生3解答：解：速度y（單位：米/秒）是時(shí)間x（單位：秒）的函數(shù)y=2x+5.由圖可以看出當(dāng)y=17時(shí)，x=6.
    出示課件12，學(xué)生自主練習(xí)后口答，教師訂正.2.出示課件13-15，探究一次函數(shù)與一元一次不等式教師問：觀察下面3個(gè)不等式有什么共同點(diǎn)與不同點(diǎn)？（1）3x+2>2;    (2)3x+2<0;    (3)3x+2<-1.學(xué)生答：3個(gè)不等式相同的特點(diǎn)是：不等號左邊都是3x+2；不同點(diǎn)是：不等號及不等號右邊分別是2，0，1.教師問：你能從函數(shù)的角度對以上3個(gè)不等式進(jìn)行解釋嗎？學(xué)生答：這3個(gè)不等式相當(dāng)于在一次函數(shù)y=3x+2的函數(shù)值分別為大于2、小于0、小于-1時(shí)，求自變量x的取值范圍.教師問：結(jié)合函數(shù)圖象如何解釋呢？學(xué)生答：在直線y=3x+2上取縱坐標(biāo)分別滿足條件大于2、小于0、小于-1的點(diǎn)，看它們的橫坐標(biāo)分別滿足什么條件.
   教師總結(jié)點(diǎn)撥：（出示課件16）因?yàn)槿魏我粋€(gè)以x為未知數(shù)的一元一次不等式都可以變形為ax +b＞0或ax +b＜0（a≠0）的形式，所以解一元一次不等式相當(dāng)于在某個(gè)一次函數(shù)y=ax +b的值大于0或小于0時(shí),求自變量x的取值范圍.總結(jié)歸納：（出示課件17）一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系見課件流程圖考點(diǎn)1：利用一次函數(shù)的圖象解一元一次不等式畫出函數(shù)y=-3x+6的圖象，結(jié)合圖象求：（1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集;（2）當(dāng)x取何值時(shí)，y<3? （出示課件18-19）學(xué)生獨(dú)立思考后，師生共同解答.教師依次展示學(xué)生解答過程：學(xué)生1解：作出函數(shù)y=-3x+6的圖象，如圖所示，圖象與x軸交于點(diǎn)B(2，0).學(xué)生2解：（1）由圖象可知，不等式-3x+6>0 的解集是圖象位于x軸上方的x的取值范圍,即x<2；不等式 -3x+6<0的解集是圖象位于 x軸下方的x的取值范圍，即x>2；學(xué)生3解：（2）由圖象可知，當(dāng)x>1時(shí)，y<3.出示課件20-21，學(xué)生自主練習(xí)后口答，教師訂正.3.出示課件22-26，探究一次函數(shù)與二元一次方程組教師出示問題：1號探測氣球從海拔5 m 處出發(fā)，以1 m/min 的速度上升．與此同時(shí)，2號探測氣球從海拔15m處出發(fā)，以0.5 m/min 的速度上升．兩個(gè)氣球都上升了1 h．(1)請用解析式分別表示兩個(gè)氣球所在位置的海拔 y(m)與氣球
上升時(shí)間 x(min)的函數(shù)關(guān)系．
    學(xué)生1答： 氣球1 海拔高度：y=x+5；學(xué)生2答：氣球2 海拔高度：y =0.5x+15．教師問：一次函數(shù)與二元一次方程有什么關(guān)系？師生一起解答：一次函數(shù)y=0.5x+15用方程觀點(diǎn)看：二元一次方程y-0.5x=15用函數(shù)觀點(diǎn)看：二元一次方程y=0.5x+15從式子（數(shù)）角度看：一次函數(shù)二元一次方程教師問：從形的角度看，一次函數(shù)與二元一次方程有什么關(guān)系？學(xué)生答：由函數(shù)圖象的定義可知：直線y=0.5x+15上的每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)都能使等式y(tǒng)=0.5x+15成立，即直線y=0.5x+15上的每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都是二元一次方程y=0.5x+15的解.
    教師問：(2)什么時(shí)刻，1號氣球的高度趕上2 號氣球的高度？這時(shí)的高度是多少？請從數(shù)的方面分別加以研究.學(xué)生答：從數(shù)的角度看：解方程組. 就是求自變量為何值時(shí)，兩個(gè)一次函數(shù)y=x+5，y=0.5x+15的函數(shù)值相等，并求出函數(shù)值．教師問：從形的角度看，二元一次方程組與一次函數(shù)有什么關(guān)系？學(xué)生答：二元一次方程組的解就是相應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)．
    總結(jié)歸納：（出示課件27）一般地，任何一個(gè)二元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)y=kx+b(k、b為常數(shù)，且k≠0)的形式，所以每個(gè)二元一次方程都對應(yīng)一個(gè)一次函數(shù)，也對應(yīng)一條直線．方程組的解 對應(yīng)兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo).出示課件28，學(xué)生繼續(xù)自主練習(xí)，教師給出答案.考點(diǎn)3：一次函數(shù)的圖象與二元一次方程組如圖，求直線l1與l2 的交點(diǎn)坐標(biāo).（出示課件29）
師生共同分析：由函數(shù)圖象可以求直線l1與l2的解析式，進(jìn)而通過方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo).學(xué)生獨(dú)立思考后，師生共同解答.解：因?yàn)橹本€l1過點(diǎn)(-1，0)，(0，2) ，用待定系數(shù)法可求得
直線l1的解析式為y =2x+2.同理可求得直線l2的解析式為y=-x+3.解方程組，得即直線l1與l2 的交點(diǎn)坐標(biāo)為（，）.出示課件31，學(xué)生自主練習(xí)，教師給出答案.教師：學(xué)了前面的知識，接下來做幾道練習(xí)題看看你掌握的怎么樣吧.（三）課堂練習(xí)（出示課件32-39）練習(xí)課件第32-39頁題目，約用時(shí)20分鐘.（四）課堂小結(jié)（出示課件40） 從函數(shù)值看從函數(shù)圖象看一次函數(shù)與一元一次方程解一元一次方程 ax+b =k 就是求當(dāng)函數(shù)（y=ax +b）值為k時(shí)對應(yīng)的自變量的值；解一元一次方程 ax+b =k 就是求函數(shù)（y=ax +b）圖象上縱坐標(biāo)為k的點(diǎn)的橫坐標(biāo)；一次函數(shù)與一元一次不等式求kx+b＞0(或<0)(k≠0)的解集即求函數(shù)y=kx+b的值大于(或小于)0時(shí)，x的取值范圍；求kx+b＞0(或<0)(k≠0)的解集即確定直線y=kx+b在x軸上方(或下方)的圖象所對應(yīng)的橫坐標(biāo)的范圍.一次函數(shù)與二元一次方程組每個(gè)一次函數(shù)都對應(yīng)一個(gè)二元一次方程求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，即求對應(yīng)的二元一次方程組的解.（五）課前預(yù)習(xí)預(yù)習(xí)下節(jié)課（19.3第1課時(shí)）的相關(guān)內(nèi)容.知道方案選擇的方法與步驟.七、課后作業(yè)教材第98頁練習(xí)和第99頁習(xí)題19.2第12題.八、板書設(shè)計(jì)19.2.3　一次函數(shù)與方程、不等式1.一次函數(shù)與一元一次方程考點(diǎn)12.一次函數(shù)與一元一次不等式考點(diǎn)13.一次函數(shù)與二元一次方程組考點(diǎn)14.例題講解九、教學(xué)反思成功之處：本節(jié)內(nèi)容的本質(zhì)是通過研究一次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系解決與一次函數(shù)相關(guān)的實(shí)際問題. 把學(xué)生的探索和驗(yàn)證活動(dòng)放在首位,一方面要求學(xué)生在老師的引導(dǎo)下自主探索,合作交流,另一方面要求學(xué)生對探究過程中用到的數(shù)學(xué)思想方法有一定的領(lǐng)悟和認(rèn)識,達(dá)到培養(yǎng)能力的目的.整節(jié)課以“問題情境——分析探究——總結(jié)升華”為主線,使學(xué)生親身經(jīng)歷一次函數(shù)與方程、不等式的探索,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力,努力做到由傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂向?qū)嶒?yàn)課堂轉(zhuǎn)變.不足之處：在教學(xué)過程中,學(xué)生對與一次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系理解有一定的困難,對用函數(shù)的觀點(diǎn)去解釋一次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系的闡述上不是太清晰,在用圖象解決實(shí)際問題的方法掌握不牢固.補(bǔ)救措施：在問題處理環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)上給學(xué)生一個(gè)充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會,應(yīng)充分體現(xiàn)學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人的理念.讓學(xué)生能充分地參與到探究活動(dòng)中,大膽發(fā)表見解,通過討論交流深入理解一次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系,并掌握解決問題的方法.

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19.2.3 一次函數(shù)與方程、不等式

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